Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Prepara tus exámenes
Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Prepara tus exámenes con los documentos que comparten otros estudiantes como tú en Docsity
Los mejores documentos en venta realizados por estudiantes que han terminado sus estudios
Estudia con lecciones y exámenes resueltos basados en los programas académicos de las mejores universidades
Responde a preguntas de exámenes reales y pon a prueba tu preparación
Consigue puntos base para descargar
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Comunidad
Pide ayuda a la comunidad y resuelve tus dudas de estudio
Descubre las mejores universidades de tu país según los usuarios de Docsity
Ebooks gratuitos
Descarga nuestras guías gratuitas sobre técnicas de estudio, métodos para controlar la ansiedad y consejos para la tesis preparadas por los tutores de Docsity
Un compendio de apuntes extraidos de varios libros que abordan este tema
Tipo: Apuntes
1 / 49
Esta página no es visible en la vista previa
¡No te pierdas las partes importantes!
Elaborados por: MC. ROMÁN MENDOZA GONZÁLEZ. Docente de tiempo completo del Departamento de Ciencias Básicas.
................................................................................................................................... ...................................................................................................................................
Los conceptos presentados en estos apuntes y la simbología empleada se consultaron en distintos libros de la bibliografía especializada para las materias de Estadística que contemplan los distintos programas de estudio y son actualizados; por lo que existe la confianza para usarse con los estudiantes en el aula de clases para el proceso de enseñanza y aprendizaje.
La exposición de ideas y la teoría Estadística que aparecen a lo largo de todas las unidades de estudio de estos apuntes, se redactaron siguiendo en todo momento la perspectiva y el enfoque de los autores de la bibliografía consultada que utilizan los maestros que impartimos estas materias en los Institutos Tecnológicos del país en esta época..
La experiencia del autor está inmersa en los distintos desarrollos y en los ejemplos resueltos que se presentan, pero está ajustada y a fin con la literatura consultada para la construcción de estos apuntes; misma que aparece al final de este trabajo..
La estructura de estos apuntes realizados bajo estos criterios constituyen solo una propuesta mas y son perfectibles y se acepta de antemano todo comentario, sugerencia o critica académica, que tienda a su utilización; tanto por los alumnos, como maestros del área y todas las personas relacionadas que tengan que ver con la Ciencia Estadística.
Estos apuntes de probabilidad y estadística son finalmente un material de apoyo didáctico. No pretenden ser un libro de texto ni mucho menos, que requiere otra metodología y una mayor investigación, ejemplos inéditos, prácticas y problemas por resolver, etc. Objetivos que están lejos del alcance de unos apuntes escritos que solo desarrollan los contenidos específicos de las unidades y subtemas de un programa de estudio particular del plan de estudios de esta carrera en un Instituto Tecnológico.
La Estadística es la ciencia que tiene que ver con los procesos de recolección, organización, presentación, análisis e interpretación de los datos.
La palabra Estadística proviene del vocablo italiano “statista” que significa estadísta. Fue utilizada por primera vez por Gottfried A. Chenwall (1719-1772) un profesor de Marl borough de la ciudad de Gottingen. El doctor E.A.W. Zimerman introdujo el termino statistics a Inglaterra. Su uso fue popularizado por Sir John Sinclair en su obra Statistical Account of Scotland ( Informe Estadístico sobre Escocia) en los años 1791-1799. Sin embargo mucho antes del siglo XVIII, la gente ya utilizaba y registraba datos.
La Estadística está constituida por un conjunto de técnicas útiles para tomar decisiones acerca de un proceso o población con base en el análisis de la información contenida en una muestra aleatoria de datos de esa población.
Las técnicas estadísticas pueden constituir una poderosa ayuda para diseñar nuevos productos y sistemas, mejorar diseños existentes, así como para desarrollar y mejorar procesos de manufacturas.
Los métodos estadísticos juegan un papel determinante en el mejoramiento de la calidad. Proporcionan los medios principales para llevar a cabo el muestreo, prueba y evaluación de un producto. Además, la Estadística es el lenguaje en que los ingenieros de desarrollo, manufactura, compras, administración y otros componentes de una empresa se comunican acerca de la calidad.
Los métodos estadísticos se utilizan como ayuda para describir y entender la variabilidad. Por variabilidad se entiende que observaciones sucesivas de un sistema o fenómeno no producen exactamente el mismo resultado. Los principios del pensamiento estadístico pueden ofrecernos un recurso conveniente para incorporar esta variabilidad en los procesos de toma de decisiones de ingeniería.
Para un mejor estudio, la Estadística como ciencia se ha dividido en varias armas o areas más o menos diferenciadas; tanto en literatura existente como en los programas de estudio de nivel superior y en las carreras de Ingeniería Industrial y Logística.
En estas carreras se proponen en el plan de estudios tres cursos de estadística, a saber: Probabilidad y Estadística, Estadística Inferencial I y Estadística Inferencial II.
La estadística descriptiva es la rama que trata de la organización el resumen y la presentación de datos.
En el curso nombrado como “Estadística Inferencia I” se estudian las Distribuciones fundamentales para el muestreo, la estimación y las pruebas de hipótesis de parámetros tanto para una como para dos poblaciones, las pruebas de bondad de ajuste las pruebas no para métricas
La mayoría de los procedimientos de pruebas de hipótesis se basan en la suposición de que las muestras se seleccionan de poblaciones normales o cuando existen ligeras desviaciones de la normalidad.
Estos procedimientos de prueba se les podría denominar como métodos para métricos. Sin embargo existen procedimientos de prueba alternativos llamados métodos no para métricos o de distribución libre, que a menudo no suponen conocimiento de ninguna clase acerca de las distribuciones de probabilidad de las poblaciones de interés, excepto, quizá que estas sean continuas.
Estas pruebas llamadas así son las que se estudian en esta parte del programa de estudio.
El subtema llamado pruebas de bondad de ajuste, hace referencia también a pruebas en donde la hipótesis a verificar es el supuesto de que la muestra de datos obtenida puede ajustarse a un tipo de distribución teórica de probabilidad discreta o continua con cierto nivel de significancia.
El programa de estudio llamado “Estadística Inferencial II” cierra la serie de asignaturas en el plan de estudios de la materia de Estadística para estas dos carreras.
El contenido de este programa contempla las unidades de Regresión Lineal Simple y Múltiple y el Diseño de Experimentos de un factor, de bloques y conceptos básicos del diseño factorial. Finalmente el programa concluye en una unidad destinada al estudio de las series de tiempo.
La Regresión Lineal Simple y Múltiple tiene por objetivo resolver problemas que implican conjuntos de variables de las cuales se sabe que tienen alguna relación inherente entre sí.
Si la relación es exacta y no contiene ningún componente aleatorio o probabilístico entonces se trata de una relación determinista entre dos variables científicas. Sin embargo esto no siempre es así. Entonces el análisis de regresión es aplicable y se enfoca a encontrar la mejor relación entre la variable Y (o variable de respuesta) y la variable X o variable regresora (una o varias), cuantificando la fuerza de esta relación y empleando métodos que permitan predecir los valores de la respuesta dados los valores del regresor X.
Con esta unidad finalizan los contenidos que se enseñan a los estudiantes de Ingeniería Industrial y de Logística en la materia de Estadística, constituida por tres asignaturas que cubren estas aéreas de la ciencia estadística.
En estadística de Ingeniería se trabaja principalmente con conjuntos pequeños de datos o muestras seleccionadas aleatoriamente de conjuntos finitos o infinitos llamados poblaciones. Estas muestras entre más pequeñas mejor por razones de tiempo y costo para su organización, análisis e interpretación según el objetivo que se tenga fijado. A la lista de datos recolectados o registrados se les denomina no agrupados pues provienen de manera natural o datos brutos y están desorganizados. in importar el tamaño de la muestra que se va a trabajar si esta ha sido seleccionada mediante un procedimiento aleatorio las conclusiones o generalizaciones que se hagan tendrán validez estadístico pues son representativas de la población. En estadística se habla de muestras pequeñas si estas son menores a 30 datos y grandes si son de 30 o más. En el tipo de industria metal mecánica o del tipo de producción en serie o continuo, las partes o productos fabricados son de gran volumen. La cantidad producida por ejemplo en una semana tal vez sería la población a considerar. Elegir observaciones en forma sistemática en un tamaño de 100 o un poco más en este tiempo es necesario y suficiente para aplicar algunas herramientas de estadística descriptiva como el diagrama de tallo y hojas o el de cajas para emitir buenas conclusiones. El tipo de muestreo o procedimiento para seleccionar las piezas u observaciones que contendrá la muestra también es importante. Según los objetivos de los estudios estadísticos y las características de las poblaciones a muestrear se recurre a métodos como el estratificado, por conglomerados y el sistemático. La base y el fundamento de estos es el muestreo aleatorio simple.
Este método permite elegir una muestra de tamaño (n) de entre un sin número de muestras del mismo tamaño que son posibles. En otras palabras una muestra aleatoria simple es aquella muestra cuya probabilidad de elegirse es la misma que cualquier otra del mismo tamaño y para esto debe empezarse un procedimiento aleatorio como una tabla de números “random”. El método de muestro sistemático es el más adecuado cuando se tiene una producción continua o en serie, el cual consiste en elegir un cierto número de piezas (por ejemplo 5), cada hora de producción durante varios días ( tal vez tres o cuatro ), hasta completar el tamaño de muestras deseado. La elección de las primeras cinco se eligen en forma aleatoria, en cuanto a la hora de inicio.
1.1.2 Medidas de Tendencia central: Media x , Media Geométrica (MG), Mediana (x) y Moda.
Los estadísticos que más se utilizan para medir el centro de un conjunto de datos son la media, la mediana y la moda.
Media (X).
Una medida obvia y de mucha utilidad es la media (X) (equis barra o equis testada) de la muestra. La media es simplemente un promedio numérico. Si n es el tamaño de la muestra, entonces:
xi x 1 +x 2 +…….. +xn x =∑n^ = y para una población con N elementos i=1 (^) n n
xi x 1 +x 2 +…….. +xn μ = ∑N^ = i=1 (^) N N
La media de la muestra x y la media de la población es uno de los conceptos más importantes de la estadística. A partir del estadístico x se puede estimar en forma puntual o por intervalo, la media poblacional (parámetro) μ. También se pueden realizar pruebas de hipótesis acerca de la μ de un proceso de manufactura.
Cuando se hace trabajo estadístico y se obtiene la media x de los datos esta debe de ir acompañada de las medidas de variabilidad, varianza y desviación estándar. En otras palabras, la media x por si sola no describe totalmente las características de los datos y siempre debe ir acompañada de las medidas de variabilidad. De tal modo que calculando las medidas de tendencia central y las medidas de variabilidad se tendrá un resumen completo de los datos.
Ejemplo:
El departamento de transporte de chicago cree que el exceso de velocidad de los autobuses que circulan aumenta el costo de mantenimiento. Como parte de esta investigación se levanto la siguiente muestra aleatoria de datos (en minutos) para el tiempo del recorrido del aeropuerto O Hare al centro John Hancock.
Obtener la media de esta muestra. Solución:
Con n = 20. ∑^20 i=1 xi 631 x = = = 31.55 días. n 20
La mediana (x).
La mediana de los datos es el dato central de los mismos si estos se han ordenado de menor a mayor. El propósito de la mediana de la muestra es reflejar la tendencia central de la muestra de manera que no sea influida por los valores extremos. En otras palabras, la mediana hace
Los percentiles (p) son valores que dividen un conjunto en 100 partes iguales. Cualquier percentil deseado ( del 1 al 100)se obtiene en dos pasos: Primero se obtiene el lugar o posición relativa del mismo mediante la fórmula:
Lp = (n+1 ) P/100.
En donde p es el número del percentil buscado y n es el número de datos total o tamaño de la muestra. Una vez que se obtiene Lp se busca el valor correspondiente al mismo dentro del conjunto (ordenado de menor a mayor), pues ya se conoce su lugar.
Cuartiles ( Q).
Los cuartiles (q) dividen la muestra en cuatro partes iguales, el primer cuartil q 1 es el valor debajo del cual clasifica el 25% de las observaciones y sobre el cual se encuentra el 75% restante, el q 2 es el valor debajo del cual está el 50% de las observaciones, etc.
Deciles (d).
Los deciles (d) separan un conjunto de datos en 10 subconjuntos iguales. El primer decil d 1 es la observación debajo de la cual se encuentra el 10% de las observaciones, mientras que el 90% restante se encuentra encima de este. En general se puede decir que el primer percentil es el valor debajo del cual se encuentra el 1% de las observaciones y el resto están encima de este. Así todo conjunto de datos tendrá 9 deciles, 99 percentiles y tres cuartiles.
Por ejemplo, el percentil 15 se podría representar como P 15 y su ubicación en la serie de datos (ordenados de menor a mayor es L 15. Conociendo el valor de ciertos percentiles por simple lógica se pueden identificar los cuartiles o los deciles pues son equivalentes. Por ejemplo P 75 = q3; d 8 =P80, etc.
Ejemplo:
A continuación se presentan las edades en años de una muestra aleatoria de 50 votantes de una lista de posibles electores de un partido político de la cd. de Querétaro, en una futura elección.
51 66 61 82 65 54 56 68 76 68 68 64 51 70 75 66 74 88 80 87 98 67 82 77 79 62 38 83 65 78 47 60 42 66 74 91 71 60 55 84 51 56 73 55 83 69 92 44 99 65
A partir de estos datos determine: el percentil 16 y 60. Así también el cuartil 3 y los deciles 3 y 7.
Solución:
Primero se ordenan los datos de menor a mayor y se numeran.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 38 42 44 47 51 51 51 54 55 55 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 55 56 60 60 61 62 64 65 65 65 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 66 66 66 67 68 68 68 69 70 71 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 73 74 74 75 76 77 78 79 80 82 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 82 83 83 84 87 88 91 92 98 99
Aplicando la formula Lp = (n+1) p/100 con n=50.
Percentil 16. L 16 = (50+1) 16/100 = 8.16 determina el lugar o posición. Luego buscando su valor entre el dato 8 y 9 (que son 54 y 55 ).
P 16 = 54+0.16 (55-54)=54.16 años.
Percentil 60 L 60 = (50+1) 60/100 = 30.6 determina el lugar o posición, luego buscando su valor entre el dato 30 y 31 (71 y 73) , resulta
P 60 = 71+0.6 (73-71)=72.2 años.
Cuartil 3 : Corresponde al percentil 75. Entonces:
L 75 = (50+1) 75/100 = 38. es su posición y su valor se busca entre el dato 38 y 39 (79 y 80). Así que q 3 = 79+0.25(80- 79)=79.25 años.
Decil 3: Corresponde al percentil 30. Entonces P 30 = (50+1 ) 30/100 = 15.3 es su posición relativa y su valor se busca entre el dato 15 y 16 (61y 62), de tal modo que d 3 =61+0.3(62- 61)= 61.3 años.
Decil 7: Le corresponde el percentil 70. Entonces P 70 = (50+1) 70/100 = 35.7 es su posición en el conjunto y su valor se busca entre el dato 35 y 36 (76 y 77). Entonces d 7 =76+0.7 (77- 76)=76.7 años.
números positivos. El resultado es una medida de variabilidad conocida como desviación media (DM), que puede expresarse como:
x 1 - x + x 2 - x +….+ xn- x 1 DM= = = ∑n^ = xi - x n n i=
Varianza (s^2 ).
La varianza de los datos es simplemente la desviación estándar al cuadrado. En otras palabras, la desviación estándar es la raíz cuadrada positiva de la varianza, se obtiene mediante:
n ∑n^ xi^2 - (∑n^ xi)^2 ∑N^ (xi-μ)^2 i=1 i=1 i=
s^2 = para la muestra y σ^2 = para la población. n (n-1) N
Un fabricante de automóviles está investigando el tiempo de ignición en el arranque en frio de un motor de gasolina. Se obtuvo una muestra de datos del tiempo (en segundos), para un vehículo de prueba.
1.75 1 .92 2.62 2.35 3.09 3.15 2.53 1.
Determinar el rango, la varianza y desviación estándar de la muestra.
Solución:
Con n= Rango = Dato mayor - Dato menor = 3.09-1.75= 1.34 seg.
Varianza:
n∑^8 xi^2 - (∑^8 xi)^2 (8)(48.6529)-(19.32)^2 s^2 = i=1^ i=1^ = = 0.28505(seg)^2 n(n-1) 8(8-1)
Desviación estándar:
s= √𝑠^2 = √ 0.28505 = 0.533904 seg.
Ejemplo 2
Se está diseñando un conector de nylon que se usara en un motor de automóvil. Es espesor de pared en pulgadas es una variable crítica y se está buscando un espesor que maximice la fuerza de desconexión (lb/ft) que requiere el conector. Los resultados fueron los siguientes:
12.6 13.4 13.6 12. 12.9 12.3 13.5 13.
Obtenga el valor de la desviación media (DM) de esta muestra.
Solución:
Con n = 8 y x = 13 lb/ft. 1 1 DM= ∑^8 = x 1 -x = -0.4 + - 0.1 + 0.4 + 0.3 + 0.6 + 0.5 + -0.4 + 0. n i=1^8
1 8
Esto indica que la dispersión relativa de los datos (fuerza en lb/) es de 0.35 respecto a la media de la fuerza que produjo el diseño del conector.
Ejemplo 3:
Southeastern Stereos, un distribuidor, deseaba convertirse en el proveedor de 3 tiendas, pero los faltantes en el inventario lo forzaron a seleccionar solo uno. El gerente de crédito de South Eastern está evaluando los registros de crédito de estas 3 tiendas. En los últimos 5 años, las cuentas por cobrar de las tiendas han sido sobresalientes por los siguientes números de días para ejecutar los cobros.
Esta clasificación del manejo de los datos muéstrales o poblacionales para su análisis se refiere a la organización de un conjunto de datos mediante clases o celdas y su frecuencia relativa al total. Una clase es un intervalo de valores de la variable que se estudia y dentro del cual se agrupan cierto número de datos que aparecen en el conjunto.
1.2.1 Tabla de Frecuencias.
Número de piezas "aceptables" producidas por 110 trabajadores. 21 22 24 29 32 33 34 34 35 35 35 36 37 37 37 38 40 40 40 40 41 41 44 44 44 44 44 44 46 46 46 47 48 48 48 49 50 50 51 51 51 52 52 52 52 52 53 53 53 53 54 54 55 55 55 55 55 56 56 56 57 57 58 58 58 58 59 60 60 61 61 61 61 62 62 62 62 63 63 63 64 65 66 66 66 66 66 66 68 69 69 71 71 73 73 73 74 75 75 76 77 77 77 79 80 81 81 83 84 88
Determinación del número y ancho de clase.
El número de clases debe permitir una representación razonable. Se recomienda en general de 5 a 20 intervalos, aunque puede incrementarse según el tamaño n de datos. El número de clases podría determinarse mediante 2k^ ≥ n donde k es el número de clases a usar. En este ejemplo 2^7 =128 y 128 es mayor que n=110. Así que 7 clases un buen criterio. Hay varios criterios para criterios para elegir el número de clases a usar por ejemplo: Usar 5 clases y usar 6 si está entre 26 y 36. Usar n , si n es mayor que 36. El ancho de clase debe procurarse que sea el mismo a fin de retomar la información visual de la distribución de frecuencias. Si el ancho de clase es el mismo para todas las clases se logra que cada uno de los datos quede registrado en uno solo de ellos, esto es, que los intervalos sean mutuamente excluyentes y exhaustivos. En este ejemplo el valor menor es 21 y el mayor 88, se formaran 7 clases es cuya límite inferior de la primera clase es 21 y como límite superior de la última clase es 90. El ancho de clase considerando se puede obtener mediante:
Ancho de clase(c) = ( Dato mayor – Dato menor )/k = ( 88-21)/7 = 9.
Para asegurarse de que las clases cubran los datos, se pasa siempre el ancho de clase resultante al entero superior o inferior. Aquí se decide dejarlo en c=9. Así la primera clase queda de 21 a 30, sumando al dato menor 9 unidades, el segundo inicia en 31 y termina en 40, el tercero de 41 a 50 etc.
Determinación de los límites de clase y de los límites reales de clase.
Con el procedimiento anterior ya se puede construir la primera columna de la tabla de frecuencias esto es las clases en que se agruparan los datos. Los límites de clase obtenidos no son los límites reales de clase, entonces estos se obtendrán restando 0.5 a los limites inferiores de clase y sumando 0.5 a los limites superiores de clase. Este procedimiento tiene
la ventaja de ver como un solo intervalo el espacio donde se encuentran todos los elementos muéstrales. Dicho intervalo está formado con el límite real inferior de la primera clase y el límite real superior de la última clase. En este caso 20.5, 90.5 , a diferencia de los límites de clase que son más bien una serie de intervalos separados entre 21,30 , 31,40 , 41,50 ,……., 81,. Una aplicación importante de los límites reales de clase, se encontrara en los procedimientos de prueba de bondad de ajuste para hacer la prueba de que las frecuencias observadas en la muestra no se separan mucho de las frecuencias esperadas de la distribución de probabilidad hipotética poblacional. En el caso de la prueba de normalidad utilizando la curva chi cuadrada (χ 2 ); los límites reales de clase se estandarizan mediante:
x - μ z = σ
y estos valores estandarizados se buscan en la tabla de áreas bajo la curva normal para encontrar la probabilidad para el intervalo considerado. De esta manera se encuentra el área total en cada uno, de tal manera se encuentra el área total en cada uno, de tal manera que la suma de estas para todas las clases sea uno.
Marcas de clase o punto medio de clase.
En la segunda columna se registra para cada clase determinada el punto medio, obtenido con los límites de clase respectivos. Estas cantidades suelen emplearse como los valores representativos de los datos comprendidos en las clases, para obtener las medidas de tendencia central y de variabilidad utilizando las tablas de frecuencia. La marca de clase simplemente se obtiene sumando el límite inferior de clase y el límite superior de clase y dividiendo entre dos, para todas las clases determinadas. Este punto medio de clase no varía si en lugar de los límites de clase se emplean los límites reales de clase.
Determinación de las frecuencias.
La tercera columna de la tabla que se va construyendo, es la frecuencia de clase. Esto es contar el número de datos del conjunto analizado cuando este se va ordenando de menor a mayor, que se encuentran dentro del intervalo de cada clase. Con los valores de esta columna se podrían generar una más de frecuencias relativas que representa el porcentaje relativo el total que tiene la frecuencia de cada clase y otras frecuencias absolutas y relativas acumuladas. De acuerdo a este procedimiento descrito se llega a la siguiente tabla de distribución de frecuencia del número de piezas aceptables producidas por 110 trabajadores.
