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Análisis Matemático I (Código 10022)
Derivadas: Proposiciones y Teoremas
Teorema (de Lagrange o del Valor Medio)
Si f es una función continua en el intervalo cerrado [ a , b ] y derivable en el intervalo abierto ( a , b ), entonces,
existe c ( a , b ) para el cual vale ƒ
'
(c) =
f(b)–f(a)
.
b–a
y
ƒ
'
(c) =
ƒ(b) — ƒ(a)
f
b — a
f ( b )
L Recta tangente en c paralela a la recta L
f ( a ) x
por ( a ; f ( a )) y ( b ; f ( b )), con pendiente
a
c
b
m =
ƒ(b) — ƒ(a)
b — a
Estudio de Funciones y otros temas vinculados a Derivadas
Algunos enunciados de interés
Algunos resultados (Proposiciones y Teoremas) que serán de utilidad.
En todos los enunciados en los que se mencionen criterios vinculados a los extremos de una función,
éstos serán extremos relativos. Es importante destacar que todo extremo absoluto es también un
extremo relativo, aunque no vale la afirmación recíproca (los extremos relativos no siempre se
constituyen en extremos absolutos).
Teorema (Fermat)
Si f es una función definida en el intervalo abierto ( a , b ), que en x 0
( a , b ) alcanza un extremo (máximo o
mínimo) y es derivable en x 0
, entonces f ( x 0
) = 0.
Teorema (de Rolle)
Si f es una función continua en el intervalo cerrado [ a , b ] y derivable en el intervalo abierto ( a , b ), que además
verifica f ( a ) = f ( b ), entonces, existe c ( a , b ) para el cual vale f ( c ) = 0.
y
f
f ( c ) = 0
f ( a ) = f ( b )
x
Recta tangente horizontal en c
a
c
b
Análisis Matemático I (Código 10022)
Derivadas: Proposiciones y Teoremas
Propiedad:
Si f una función continua en un intervalo cerrado [a; b] y derivable en el abierto (a; b) vale que:
Si ƒ
′
( x
)
0 para todo x
( a; b
) entonces f es creciente en
[ a; b
] .
Si ƒ
′
(x) < 0 para todo x (a; b) entonces f es decreciente en [a; b].
Si ƒ
′
(x) = 0 para todo x (a; b) entonces f es constante en [a; b].
Propiedad (Determinación de extremos de una función)
Si f es una función creciente en [ a ; x 0
] y decreciente en [ x 0
; b ], entonces f tiene un maximo local en
x = x 0
Si f es una funcion decreciente en [ a ; x 0
] y creciente en [ x
0
; b ], entonces f tiene un minimo local en
x = x 0
Propiedad (Criterio de la derivada primera para determinación de extremos)
Si f es una función definida en todo un intervalo [ a ; b ] con x 0
( a , b ), y es derivable en los
intervalos ( a ; x 0
) y ( x 0
; b ) de modo que ƒ
′
( x
)
0 para todo x ( a ; x 0
) y también
ƒ
′
( x
) < 0 para todo x ( x 0
; b ), entonces f tiene un maximo local en x = x 0
Si f es una función definida en todo un intervalo [ a ; b ] con x 0
( a , b ), y es derivable en los
intervalos ( a ; x 0
) y ( x 0
; b ) de modo que ƒ
′
( x
) < 0 para todo x ( a ; x 0
) y también
ƒ
′
( x
)
0 para todo x ( x 0
; b ), entonces f tiene un mínimo local en x = x 0
(Nota: Este criterio, dice que una función f alcanza extremo en un punto x 0
de su dominio, si en éste la
derivada cambia de signo)
Propiedad (Criterio de la derivada segunda para determinación de extremos)
Sea f : [ a , b ]IR una función que admite por lo menos dos derivadas continuas en ( a , b ) y sea
x 0
( a , b ) tal que f ( x
0
) = 0. Vale que:
Si ƒ ′′ (x O
) > 0 , entonces, f alcanza un mínimo (relativo) en x
0
Si ƒ ′′ (x O
) < 0 , entonces, f alcanza un máximo (relativo) en x
0
Si ƒ ′′
x O
= 0 este criterio no informa sobre la condición de extremo del punto x 0
, por lo que, en
este caso, hay que recurrir al criterio de la derivada primera para definir si en x 0
la función alcanza o no
extremo.
Propiedad (intervalos de concavidad de una función – Punto de inflexión)
Sea f una función dos veces derivable en un intervalo abierto I.
Si ƒ ′′ (x) > 0 para todo x I , entonces la gráfica de f es cóncava hacia arriba en I.
Si f′′
x
< 0 para todo x I , entonces la gráfica de f es cóncava hacia abajo en I.
Si en un punto c I resulta ƒ ′′ (c) = 0 y además ƒ ′′ (x) cambia de signo en c , entonces hay un punto de
inflexión de abscisa c.
