Prof. Walter Hancco Ttupa ARITMÉTICA: CONJUNTOS
“TU ERES MAS INTELIGENTE DE LO QUE CREES” 1
CONJUNTOS
CONTIENE:
TEORIA
PROBLEMAS PROPUESTOS
Prof. Walter Hancco Ttupa
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Aritemtica para determinar conjuntos de la matematica comercial, Apuntes de Cálculo para Ingenierios
la aritmetica trata de describir diferentes universos de muchas categorias y dentro de ellos se encuentran los elementos que determinan caracteristicas similares.
Tipo: Apuntes
2019/2020
1 / 12
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CONJUNTOS
CONTIENE:
TEORIA
PROBLEMAS PROPUESTOS
Prof. Walter Hancco Ttupa
CONJUNTOS
I.- IDEA DE CONJUNTO
Intuitivamente se entiende por conjunto a una agrupación, colección o reunión de objetos reales o ideales a los cuales se les denomina elementos del conjunto. A los conjuntos generalmente se les representa con letras mayúsculas de nuestro alfabeto y a sus elementos separados por comas y encerrados por signos de agrupación (llaves, corchetes, etc.) Ejemplo : M = {2, 4,6, 8} S = {Los Alumnos de la Academia KCHIMBOS } T = { *, +, 2, , x } II. RELACIÓN DE PERTENENCIA Ejemplo : Dado el conjunto A = {3, {5}, {n, 2}, m} Indicar verdadero (V) o falso(F) según corresponda: m A ( ) (^5) A ( ) 8 A ( ) (^2) A ( ) {5} A ( ) { n } A ( ) III. DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO a) POR EXTENSIÓN O EN FORMA TABULAR : Es cuando se señala a cada uno de los elementos de un conjunto enumerándolos o indicándolos en forma sobre entendida. b) POR COMPRENSIÓN O EN FORMA CONSTRUCTIVA: Es cuando se mencionan una o más características comunes y exclusivas a los elementos del conjunto. ESQUEMA: { f ( x ) / x tiene cierta característica} donde: f ( x ) : Indica la forma del elemento del conjunto. x : Variable que cumple ciertas propiedades. Ejemplo : Determinar por extensión y comprensión las siguientes agrupaciones: (^) Las Estaciones del año. Los números pares^ positivos de dos cifras. Los cuadrados de los números impares. Por Extensión: { Verano, Invierno, Otoño, Primavera} (^) { 10 , 12 , 14 , 16 ,..... ,98 } (^) { 1^2 , 3^2 , 5^2 ,..... } Por Comprensión: {X / X es una estación del año} (^) {2x/x N 5 x 49} (^) {(2n-1)^2 /n N} NUMERO CARDINAL : El número cardinal de un conjunto "A", nos indica la cantidad de elementos que posee, y se denota por n(A).
b) Conjunto Unitario o Singletón: Es aquel conjunto que tiene un sólo elemento. Ejemplo : A = {0} n(A) = 1 B = {} n(B) = 1 C = {x Z +^ / x 0 } n(C) = 1 c) Conjunto Universal: Es un conjunto referencial que se toma convenientemente para el estudio de una situación particular que presentan otros conjuntos incluidos en él. No existe conjunto universal absoluto y se denota generalmente con la letra U. Ejemplo : Para los conjuntos: P = {Los pavos} G = {Las gallinas} Los posibles conjuntos universales que contiene a los anteriores son: U 1 ={los animales} U 2 ={las aves} U 3 ={los aves gallináceas} d) Conjunto de Conjuntos o Familia de Conjuntos: Es aquel conjunto cuyos elementos son todos conjuntos. R = { { 2 } , { 3 } , { 4 , 7 } , } e) Conjunto Potencia: Dado un conjunto A, se denomina conjunto potencia de A, al conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de A. Se denota: P(A) Ejemplo: Dado el conjunto: A = {1,3} n(A) = 2 P(A) = { , { 1 } , { 3 } , { 1 , 3 } } n [P(A)]=2^2 Observaciones:
- Dado un conjunto "A" con n(A) elementos entonces: #subconjuntos de A = n[P( A)]= 2 n ( A )
- Se denomina subconjunto propio de A, a aquel subconjunto diferente al conjunto A. #de Subconjuntos propios de A = 2n ( A )^ – 1 Ejemplo : Dado el conjunto: A = { m , n} VII.- DIAGRAMAS DE VENN - EULER: Ejemplo : Representar gráficamente los conjuntos: U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} A = {2,5,7,10} B = {0,2,3,4,7,8,10} C = {0,1,4,9} NOTA: Además otros diagramas para representar gráficamente a los conjuntos son: , { 1 }, { 3 }, { 1 , 3}
{ m , n}; {m}; { n };
P(A)={x/x A}
i.- Diagrama de Lewis-Carrol: Se utiliza generalmente para representar conjuntos disjuntos. Ejemplo : En una reunión asistieron N personas, de las cuales se sabe que la cantidad de hombres excede a la de mujeres en 6. Si hay 15 mujeres bailando y entre los que no bailan hay 3 hombres por cada 2 mujeres. Cuántos hombres asistieron a la reunión. Solución : H - 6 = M Entonces: 3p – 6 = 2p p = 6 Total de Hombres = 15 + 3p = 33 ii.-Diagrama Lineal : Se utiliza para representar la relación de inclusión entre conjuntos. A = {americanos} B = {bolivianos} P = {peruanos} C = {cusqueños} L = {limeños} Solución : OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS 1.-UNIÓN O REUNIÓN: La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos de "A" como los de "B". Se denota: A B Se lee :" A o B " Se define: A B ={x / x A x B }
Diagramas: A B:
Observación: Si: B A entonces A B = A 2.-INTERSECCIÓN: La intersección de dos conjuntos "A y B" es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a "A y B" a la vez. Se denota: A B Se lee :" A y B " Se define: A B ={x / x A x B}
Diagramas A B:
Observación: Si: B A entonces A B = B 3.-DIFERENCIA: La diferencia de dos conjuntos A y B (en dicho orden) es el conjunto formado por los elementos de "A" pero no de los de "B". Se denota: A - B Se lee : " A pero no B "
A
B
C
P L
A B
U B A U A B U B
A
U A B
U
A B = A B U
PAR ORDENADO
Es un conjunto de sólo dos elementos, no necesariamente diferentes, en el cual interesa el orden de cada uno de ellos. Se denota:
(a ; b)
IGUALDAD DE PARES ORDENADOS
Ejemplo : Determinar x+y Si: (3x+2y ; 1)=(12 ; 2x - y) Por igualdad: 3x +2y =12 x = 2 2x - y =1 y = 3 PRODUCTO CARTESIANO Producto: Dado dos conjuntos A y B no nulos, el conjunto producto "A x B " es aquel conjunto cuyos elementos son todos los pares ordenados, donde las primeras componentes pertenecen al conjunto A y las segundas componentes al conjunto B. Se define: A x B = {(a ,b) /a A b B} EJEMPLO: A = {1, 2, 3} B = {a, b} A x B = {(1;a),(1;b),(2;a),(2;b),(3;a),(3;b)} B x A = {(a;1),(a;2),(a;3),(b;1),(b;2),(b;3)} Observación: Ax B B x A A B Ax B = Bx A A = B n(Ax B)= n(A). n(B) PRBLEMAS PROPUESTOS
1. Determinarlo por comprensión
A = { 7, 12,17, 22, .....,842}
a) {x/ x=5n+2 , nΝ 0 n168} b) {x/ x=n+2 , nZ 0 n168} c) {x/ x=5n nZ 0 n 168} d) {x/ x=5n-2 ,nZ 0 n 168} e) N.A
2. Si A={0, 2,6, 12, 20,30,42,56 }
Determinar este conjunto por comprensión a) {x^2 +1/ xΝ x7} b) {x^2 +x/ xΝ x6} c) {x(x+1)/ xΝ x 7} d) {x^2 +x/ xΝ 1 x 8} e) N.A
3. n(A B) = 13 n(A B) = 1 n(A - B) = 6
Hallar: n(A) – n(B - A) a) 2 b) 3 c) 1 d) 4 e) 5
4. Afirmamos para conjuntos:
I. {x Ν/x+4 = 0} = II. {xΝ/ 3 < x 4} = III. {xΝ/4 x 4} = IV. {xΝ/x^2 – 25 = 0} = {5; - 5} Son verdaderas: a) Sólo I b) Sólo I y IV c) Sólo II d) Sólo I y II e) Todos
5. Dados los conjuntos
A = {x Z - 3 x 10} B = {x/xΝ y = 2x – 3 y A} C = {x/ xB 4 < x + 3 < 7} Primera Componente Segunda Componente
(a ; b)=(c ; d ) (a = c b = d )
Hallar la suma de los elementos del conjunto C. a) 2 b) 5 c) 11 d) 3 e) 8
6. ¿Cuántos de los siguientes conjuntos
son unitarios? I. {x/xZ x^2 = 25 } II. {} III. {x/xΝ x^2 + 7 = 0} IV. {x/xZ 2x^2 + 5x + 2 = 0} a) 2 b) 3 c) 5 d) 8 e) 11
7. ¿Qué alternativa presenta un conjunto
vacío? a) {} b) {x/xΝ x < 0} c) {x/xZ x^2 = 9} d) {x/xQ 2x – 1 = 4} e) N.A.
8. Dado el conjunto:
E = {9, 99, 999, 9999, 99999}
Determinado por comprensión es: a) {(10x^ - 1)/x N x < 6} b) {(10x^ + 9)/x N x 5} c) {(10x^ - 1)/x N+^ x < 6} d) {(10x^ - 1)/x Z+^ x < 6} e) N.A.
9. Si A = {x^2 + 4 / x Z - 4 < x < 6}
Hallar n(A) a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
10. Determinar por extensión el
siguiente conjunto: A = {3x – 3/ x N x < 4} a) {0, 1, 2, 3} b) {-3, 0, 3, 6} c) {0, 3, 6} d) {1, 2, 3} e) No es posible
11. ¿Qué afirmaciones son correctas?
I. x (A B) x (A B) II. x (A B) x (A B) III. x A x A’ IV. x A x (A - B) a) I y II b) I, II y III c) II y IV d) Todas e) I y III
12. Si el conjunto k tiene 127
subconjuntos propios, ¿Cuál de los siguientes puede ser el conjunto k? I. {x Z / - 3 < x 4 } II. {x Ν / x < 8} III. {0, 1, 1^3 , 2, 2^3 , 4, 4^3 , 8, 8^3 } a) Sólo I y II b) Sólo I y III c) Sólo II y III d) Sólo III e) N.A.
13. ¿Qué alternativa presenta un
conjunto unitario? a) { } b) {x/xN x < 2} c) {x/xZ x^2 = 9 } d) {x/xQ/x^3 = - 1} e) {xR x^2 + 1 = 0}
14. Si:
A = {Divisores de 4} B = {Divisores de 6} C = {Divisores de 12}
23. A y B son dos conjuntos tales que:
n(A) + n(B) = 83 n(A B) = 74 Calcular n (A B) a) 70 b) 80 c) 60 d) 65 e) 75
24. Dado los conjuntos:
P = {y/y =n^2 – 1, n Z, - 3 < n 5 } P = {z^2 / (^) z 1 = m, m N, m 4 } Indicar: [n(P) + n(R)] – n(P R) a) 11 b) 12 c) 8 d) 10 e) 9
25. De 80 personas encuestadas sobre
el uso de cigarrillos, se ha obtenido que 20 mujeres no fuman y de los encuestados 44 son varones. ¿Cuántas de las encuestadas fuman cigarrillos? a) 20 b) 24 c) 18 d) 16 e) 12
26. De los 100 estudiantes de un salón,
70 aprobaron matemáticas, 80 aprobaron historia y 78 aprobaron castellano. Si 90 aprobaron exactamente 2 cursos, ¿Cuántos aprobaron en los 3 cursos? a) 19 b) 21 c) 11 d) 13 e) 38
27. Entre los habitantes de un distrito
se ha realizado una encuesta sobre quienes poseen ciertos artefactos y se ha obtenido los siguientes datos: 80% tienen televisor. 90% tienen radio. 60% cocina a gas. 2% no tienen ninguno de los artefactos anteriores. 55% tienen los tres artefactos ¿Cuántos personas tienen solamente un artefacto? a) 20% b) 22% c) 10% d) 21% e) 11%
28. Si:
P Q = {a, b, c, d, e} P – Q = {d, e} P Q = {c} Calcular: n(Q - P) + n(Q) a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
29. Si:
A = {a, b, c, d, e, f, g} B = {f, b, c, h, i, j} C = {a, c, e, i, k, l} D = {a, b, d, f, k, i, j} Hallar: C [D – (A B)] a) {a, i, j} b) {a, b, c} c) {a, i, k} d) {a, j} e) N.A.
30. En una encuesta tomada el verano
pasado a un grupo de 600 bañistas se supo que: 250 usaban tanga, 220 usaban hilo dental, 100 usaban tanga e hilo dental. ¿Cuántas no usaban tanga ni hilo dental? a) 130 b) 230 c) 330 d) 320 e) 302
31. Sean A, B y C, incluidos en “S” tal
que: n(A) = 44 n(S) = 100 n(B) = 41 n[A – (B C)] = 20 n(C) = 45 n[B – (A C)] = 15 n(ABC) = 5 n[C-(AB)] = 20 y n[(A B) – C] = n[(AC) - B] + 1 Hallar: n[(B C) - A] a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11
32. Si el conjunto potencia de T posee
64 elementos, ¿Cuál de los siguientes puede ser el conjunto T? a) {x^3 /x < 6; x N} b) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} c) {x/x es una vocal} d) {xZ/x^4 = 16 x^2 = 1} e) N.A.
33. De un grupo de 100 alumnos, 49 no
llevan el curso básico I y 53 llevan el curso de física I. Si 27 no llevan ninguno de estos cursos, ¿Cuántos llevan uno, y sólo uno de los cursos? a) 42 b) 43 c) 45 d) 40 e) 39
34. De un grupo de turistas:
31 visitaron el Callao. 29 visitaron Trujillo. 34 visitaron el Cusco. 38 visitaron sólo y nada más que 1 lugar. 22 visitaron exactamente 2 lugares. ¿Cuántos visitaron los 3 lugares y cuántos eran en total? a) 4 y 60 b) 3 y 64 c) 64 y 3 d) 4 y 64 e) 64 y 4
35. De 110 personas que leen por lo
menos dos de las tres revistas A, B y C se observa que 40 leen las revistas A, B y C se observa que 40 leen las revistas A y B; 50 leen A y C; 60 leen B y C. ¿Cuántas personas leen las tres revistas? a) 20 b) 19 c) 21 d) 18 e) 22
36. En un colegio hay 58 profesores,
de los cuales 38 enseñan matemática, 15 historia y 20 ciencias naturales, si hay 3 profesores que enseñan los 3 cursos. ¿Cuántos de ellos enseñan por lo menos, 2 de los 3 cursos? a) 4 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
37. En cierta olimpiada participaron
870 deportistas en tres deportes; fútbol, béisbol y natación. De ellos 480 participaron en natación, 680 participaron en futbol o béisbol; 90 participaron en los dos primeros deportes pero no en el tercero. ¿Cuántos participaron exclusivamente en un solo deporte? a) 480 b) 490 c) 500 d) 470 e) 485
38. Una cantidad de 100 señoritas
rindieron tres exámenes para ocupar una vacante en una institución en los puestos de mecanografía, taquigrafía y recepcionista. Según el examen de selección se obtiene que: 68 señoritas aprobaron el primer examen; 80 aprobaron el primero y segundo examen solamente, 16 aprobaron el segundo y tercero únicamente. Si se dio la orden de que se contrate a las señoritas que aprueben los tres exámenes, ¿Cuántas señoritas se puede contratar, si además sólo 10 señoritas aprobaron el primer y tercer examen, y que todas aprobaron al menos un examen? a) 31 b) 32 c) 33 d) 34 e) 35