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Revista Ingenieria e Investigación No. 41 Diciembre de 1998
Análisis de Sistemas de Potencia con Matlab
Estrella Parra, Remando Díaz, Andrei Romero, Aldemar Guerra.'
RESUMEN
En este trabajo se presenta una caja de herramientas
para el análisis de sistemas de potencia utilizando
MA TLAB. Las herramientas desarrolladas permiten
realizar análisis de flujo de carga, de cortocircuito, tanto
balanceados como des balanceados y simular el
comportamiento dinámico de un sistema de potencia
durante una perturbación grande. Para esta última
aplicación se consideran modelos simples o complejos para
las máquinas sincrónicas, lo cual permite analizar sistemas
reales. Además, se describen algunas técnicas para adecuar
los métodos de solución a las características del MATLAB.
INTRODUCCIÓN
L
os sistemas de potencia eléctricos se caracterizan por su gran tamaño y llegan a ser algunos de los sistemas de mayor escala construidos por el ser humano. Un sistema relativamente pequeño, como el caso colombiano, puede estar constituido por unos 500 nodos, incluyendo aproximadamente 50 generadores. En ese caso, se requieren unas 1. ecuaciones algebraicas para modelar el comportamiento de estado estacionario y unas 200 ecuaciones diferenciales para analizar su comportamiento dinámico. Un sistema de potencia grande puede tener más de 10.000 nodos y hasta 1. generadores.
Además de su dimensión, hay otra característica básica que comparten todos los sistemas de potencia: existen relativamente pocas interconexiones entre los diferentes elementos del sistema.
Por esta razón, las interacciones entre los diversos elementos del sistema tienden a producirse únicamente a través del sistema de transmisión. La descripción matemática de las diversas interacciones presenta una estructura especial donde los cambios en un punto afectan directamente sólo a los puntos vecinos. Esta interacción local, muy frecuente en modelos
físicos de diversos tipos, produce ecuaciones dispersas; es
decir, ecuaciones donde una variable se ve afectada por unas
pocas de las demás variables. Cuando las ecuaciones se escriben en forma matricial, la mayor parte de los términos de las matrices
son cero. A estas matrices se les llaman matrices dispersas.
Para el análisis de los sistemas de potencia se requieren herramientas computacionales eficientes, capaces de manejar
problemas de gran tamaño en forma eficiente, tanto en términos
de almacenamiento de matrices dispersas de gran escala, como
de los procesos de cálculo. El desarrollo de este tipo de aplicaciones requiere la modificación de los métodos de cálculo para adaptarlos a las características de la programación en
MATLAB.
El paquete fue desarrollado para la enseñanza del análisis de sistemas de potencia, por lo cual en ocasiones se sacrificó la eficiencia en pro de la claridad conceptual. Aún así, se obtuvo un programa muy eficiente, el cual ha sido usado para el análisis de sistemas reales de mediana escala.
Una de las principales cualidades del MA TLAB es su velocidad para realizar cálculos vectoriales y matriciales. Esto significa que una operación efectuada sobre un vector es mucho más eficiente que si se realiza por separado sobre cada una de
sus componentes. Por esta razón es necesario vectorizar las
operaciones, de manera que se ejecuten directamente en forma vectorial.
Por las razones anteriores, los objetos básicos con los cuales se trabaja este programa son vectores reales o complejos; por ejemplo, los voltajes nodales se representan por medio de un vector.
1. ANÁLISIS DEL EsTADO EsTACIONARIO
A. FLUJO DE CARGA
El flujo de carga es la herramienta básica para determinar las condiciones de operación en estado estacionario de un sistema de potencia a partir del conocimiento de los parámetros eléctricos de los diferentes elementos constitutivos del sistema. 'Departamento de Ingeniería Eléctrica Universidad Nacional de Colombia.
Análisis de Sistemas de Potencia con Matlab
Teniendo en cuenta que tanto la red de transmisión como
las cargas se consideran trifásicas balanceadas, se utiliza
únicamente el modelo de secuencia positiva de la red [5].
El punto de operación de un sistema eléctrico queda deftnido
cuando se calculan las tensiones nodales (magnitud y ángulo)
en todos los nodos; a partir de estos resultados puede obtenerse
otro tipo de información sobre las condiciones de operación;
por ejemplo:
- Los flujos de potencia activa y reactiva por los diferentes
elementos de la red de transmisión.
- Los valores de potencia activa y reactiva generada en el.
sistema.
- Las pérdidas de transmisión tanto por cada elemento como
para el sistema total.
Las ecuaciones de flujo de carga representan un balance de
potencia en cada uno de los nodos:
SN¡ =V¡¡;
Donde:
SN¡: potencia neta compleja
Y¡: tensión nodal (compleja).
J¡: corriente neta inyectada al nodo i.
Si se usan las ecuaciones de nodos para la expresión anterior,
es posible hallar unas ecuaciones no lineales en los voltajes:
Tradicionalmente, se hace la separación de los términos de
potencia activa y reactiva, por las restricciones que se tienen
en el manejo numérico de valores complejos, así:
PNi = PG,- PD, =! E¡Ek (GiJ:cos(8¡ -8k)+ BjJ;sin(8¡ -8k» k=
QN, =QG, -QD, = 'IEIEk(GjJ;sin(8 1 -8k)-BiJ: cos(8¡-8k» k=
Donde:
P NIY QN,.· potencias activa y reactiva inyectadas.
P GI Y QGt' potencias generadas
PDi Y QD": potencias demandadas en el nodo i, respectivamente
Ei, (Ji; la magnitud y ángulo de la tensión del nodo i.
Además, Y¡k= GjJ;+ jBjJ; es el elemento i.k de la matriz de
admitancia.
El problema consiste en encontrar aquellos valores de
tensión, Y¡ o sus componentes E¡ y B¡, que satisfacen la ecuación
Como es bien conocido, las ecuaciones conforman un sistema
no lineal, para cuya solución se deben usar métodos numéricos;
por ejemplo, el de Newton- Raphson [2]. En este trabajo se utilizó
el método desacoplado rápido [6] el cual utiliza la dependencia,
por un lado entre la potencia activa y el ángulo de tensión nodal,
p~ 9; y por otro, entre la potencia reactiva y la magnitud de
la tensión nodal, Q ~ E. Usando lo anterior y otras
simpliftcaciones físicamente justiftcadas, este algoritmo reduce
el tiempo y el número de iteraciones necesarias para la
convergencia de la solución de las ecuaciones sin pérdidas de
exactitud en los resultados. El modelo básico está dado por
las ecuaciones [lO]:
[AP]= - [B'] [dO]
[dQ]= - [B'1 [M']
Los términos de estas ecuaciones son bien conocidos; las
matrices B'y B" se obtienen a partir de la matriz de admitancia
haciendo varios tipos de simpliftcaciones como se discute a
continuación. Estas simpliftcaciones afectan la convergencia,
especialmente en sistemas en los cuales la relación resistencia!
reactancia (RIX) es grande.
Con el fin de obtener un programa robusto que dé soluciones
aun en casos mal condicionados, se trató de seleccionar la
mejor alternativa de representación de las resistencias en la
formación de matrices B'y B". Se consideraron cuatro
posibles variantes con el objetivo de demostrar cuál opción
registraba el mayor beneftcio para los casos normales y casos
donde la relación RIX fuera grande [6]. Las alternativas
consideradas son:
BB: Las resistencias se incluyen en la formación de ambas
matrices B' B"
XB: las resistencias se ignoran en la formación de B'
BX: las resistencias sólo se ignoran en la formación de B".
XX: las resistencias se ignoran en ambas matrices B 'y B".
(1)
Al evaluar todas estas alternativas con el sistema IEEE de
14 nodos con una tolerancia de 0,01 tanto para AP como para
~Q, se obtuvieron los resultados que aparecen en el cuadro 1.
CUADRO 1. REsULTADOS OBTENIDOS.
Factor de Escala Húmem di iteracion OBra la resistencia (^) BB XB BX XX 05 5-5 4-3 (^) 4-3 4- lO 20-~0 4-4 (^) 4-3 7- 1.5 nc 7-5 4-3 11- 2.0 9-6 5-4 16- 2.5 13-9 (^) 5-4 2J~ (^30) 18-11 5-4 nc 4.0 (^) nc 7- 50 nc nc: no converge o convergencia lenta (má~ de 60 iteraciones).
CÁLCuw DE FALLA
Análisis de Sistemas de Potencia con Matlab
Para un análisis corto, los pasos fundamentales corresponden a:
- Determinar las matrices de impedancia de secuencia cero y positiva. Este proceso corresponde a la soluci6n de un sistema de ecuaciones de la forma YV=I, donde la matriz Yes la matriz de admitancia, la cual es dispersa; por tanto,
pueden explotarse adecuadamente sus características con
una herramienta como el MATLAB, disminuyendo sustancialmente el tiempo de cálculo y la memoria requerida para este proceso.
- Calcular la corriente de cortocircuito en el punto de falla. Este cálculo requiere la impedancia Thevenin equivalente del sistema visto desde el nodo falla; este valor se obtiene extrayéndolo de las diagonales de las matrices de impedancia. El MA TLAB posee algoritmos muy eficientes para seleccionar términos de una matriz; por lo tanto, los recursos necesarios para el cálculo de la corriente de falla se simplifican considerablemente.
- Hallar las tensiones nodales después de la falla. Este paso corresponde a una sola ecuaci6n (VI' = va + ZF) que es una relaci6n vectorial y, por tanto, muy apropiada, para resolverse con la ayuda del MATLAB. Al igual que en el ítem anterior, para este proceso se necesitan algunos términos de las matrices de impedancia de secuencia cero y positiva (aquellos donde existe conexi6n física entre los nodos del sistema); por eso se pueden conservar las características de dispersidad y no requiere del cálculo de las matrices completas.
- Calcular las corrientes de falla por los elementos. Este cálculo se realiza a partir de las tensiones nodales de la misma forma que el descrito para el cálculo de carga.
Esta técnica se implement6 directamente en MA TLAB con resultados muy satisfactorios:
III. ESTABILIDAD TRANSITORIA
Durante la operaci6n de los sistemas de potencia se presentan perturbaciones frecuentes, debido a cortocircuitos en los elementos del sistema, a variaciones rápidas de carga o de generaci6n, o a la conexi6n y desconexi6n de líneas de transmisi6n.
Estas perturbaciones originan un proceso dinámico caracterizado por oscilaciones mecánicas de los rotores de las máquinas rotativas. Estas oscilaciones originan variaciones rápidas en la potencia activa y reactiva y en el voltaje de los diferentes nodos. Este proceso dinámico puede ser estable o
inestable. En el caso inestable, el sistema, o partes de él, pueden colapsar con graves consecuencias para los usuarios.
Para asegurar que el sistema sea capaz de sobrevivir a las perturbaciones, es necesario analizar su dinámica por medio de una simulaci6n. Para ello, estudiamos su comportamiento dinámico mediante la soluci6n numérica de un conjunto de ecuaciones diferenciales de la forma:
X =f(x(t),y(t)) (2)
la cual incluye las ecuaciones diferenciales que describen las
máquinas sincr6nicas. El vector x incluye todos los ángulos y
velocidades angulares y tensiones transitorias o enlaces de
flujo; el vector y comprende todas las otras variables, como
voltajes, corrientes, potencias, etcétera. El sistema anterior es lineal, a menos que se consideren saturaciones.
Las variables x y y no son independientes, pues deben
satisfacer varias restricciones, tales como leyes de Kirchoff y transformaci6n de coordenadas de Park. Estas restricciones están descritas por ecuaciones algebraicas:
0= g(x(t), y(t» (3)
Para la simulaci6n es necesario resolver los dos sistemas de ecuaciones simultáneamente. Para ello se us6 un esquema de soluci6n particionada basado en la integración implícita con la regla trapezoidal. En este método las ecuaciones diferenciales se convierten en ecuaciones algebraicas usando la expresi6n siguiente:
1+1lI x(t + Llt) = x(t)+ f ¡(x(r ~ y(r ))d-r I
== x(t )+ Llt [t(x(t + ss ~y(t + Llt) )+ ¡ (x(t ~ y(t ))] 2
La última ecuaci6n, junto con (3) constituyen un sistema
de ecuaciones algebraicas que permite calcular x(t+L1t) e
y(t+L1t) usando métodos iterativos.
Para la soluci6n, es conveniente separar las ecuaciones algebraicas (3) en dos grupos: Ecuaciones de nodos:
1 - YV=O (4)
Que describen el circuito y las ecuaciones de transformación no lineales que relacionan las variables de la red, referidas a un sistema moviéndose a velocidad sincr6nica, con las variables
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internas de cada máquina, referidas a un sistema fijo en el rotor de cada máquina y, por tanto, moviéndose a la velocidad correspondiente a ese rotor.
De esta forma, se tienen dos sistemas de ecuaciones algebraicas lineales, pues todas las no lineales aparecen en las ecuaciones de transformación. Esta estructura sugiere el uso del siguiente método de solución iterativa, equivalente a un Gauss-Seidel por bloques:
Para cada instante de tiempo t, se suponen conocidos x(t) e y( t) Y se deben hallar x(t+Lit) e y(t+Lit) mediante el algoritmo siguiente:
1.Suponer valores tentativos de y(t+Lit).
- Repetir mientras las variables cambien de una iteración a la otra.
a. Con los valores actuales de y{t+Lit) resolver la ecuación
x(t+t:J )-x(t )-- t:J^ f(x(t+ t:Jh(t+t:J »-- t:J f(x(t ~ y(t »=O (5)
b. Usando ecuación de transformación, calcular corrientes nodales 1(t+Lit)
e .Resolver ecuaciones de la red, para hallar voltajes nodales V(t+Lit).
d. Calcular potencias generadas en t+ Lit usando ecuación de transformación inversa. Esto produce un vector mejorado y(t+Lit).
- Avanzar en el tiempo t~t+Lit. Volver al.
0.,2 1).4 ... 0.
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Figura l. Ángulos de los generadores
Esta técnica de solución se escogió porque aprovecha al máximo las características de MA TLAB. En cada instante de tiempo se realiza un procedimiento iterativo que busca reducir el llamado error de interface debido a la solución simultánea
de ecuaciones algebraicas y diferenciales. El uso de integración
implícita empleando la regla trapezoidal garantiza la estabilidad numérica de la solución [9]. Por otra parte, durante la solución solamente se requiere la solución repetida de sistemas de ecuaciones lineales de dimensión pequeña para las máquinas y un sistema disperso de gran dimensión para las ecuaciones de la red [8]. Estas operaciones son muy eficientes en MA TLAB (por ejemplo, la solución de las ecuaciones de la red [8] sólo requiere una instrucción: V=Y\I;) La única operación adicional es la transformación de ejes de referencia, la cual también se puede vectorizar para su implementación.
Las figuras 1 Y 2 muestran los resultados de una simulación para un sistema simple.
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Figura 2. Curvas de variación de la velocidad.
CONCLUSIONES
Se desarrolló una caja de herramientas MATLAB para el análisis de sistemas de potencia El paquete desarrollado utiliza en forma intensa los recursos del programa, aprovechando especialmente los cálculos vectoriales y las matrices con la estructura dispersa, incluidas en la versión 4.2. También se utilizaron las facilidades gráficas del software.
Se pudo comprobar la versatilidad del programa para el desarrollo de aplicaciones complejas como ésta. El tiempo total de desarrollo del paquete es una fracci6n del que se requiere cuando se implementa en lenguajes como C o Pascal. Además, proporciona una mayor claridad conceptual acerca de los algoritmos y de su interpretaci6n física. Esta característica es muy importante en aplicaciones como ésta, destinada de manera especial a la enseñanza de los conceptos de análisis de sistemas de potencia.
Durante el desarrollo del algoritmo de flujo de carga se probaron varias alternativas para la implementación del flujo desacoplado rápido. Se obtuvieron resultados muy interesantes
