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Apuntes. Análisis Matemático II. Bouzat Máximos y mínimos (Seguimos el Stewart con algunas acotaciones) Def: Utilizaremos el concepto de extremo (local o absoluto), para nombrar máximos o mínimos sin distinción. Obs: la condición fx(a,b)=0 y fy(a,b)=0 que, de acuerdo al teorema 2, vale en todo extremo local en el que existan las derivadas direccionales, implica que, en tales casos, el plano tangente es horizontal. Este es el caso de la función f(x,y)=x²+y² que se grafica abajo y también de los extremos (máximos y mínimos mostrados en la figura 1, arriba). Sin embargo, puede haber extremos locales en los que alguna de las derivadas parciales (o ambas), no existan, y por lo tanto en estos extremos no existirá el plano tangente, como se muestra luego con la función sqrt(x²+y²) f(x,y)= x²+y² Mínimo en (0,0) con derivadas parciales nulas y plano tangente horizontal.
f(x,y)=sqrt(x²+y²) Presenta un mínimo local (y absoluto) en (0,0) en el que las derivadas parciales no existen, y por lo tanto no hay plano tangente definido. Pero observar que la no existencia de derivadas en un punto, tampoco implica necesariamente la existencia de un extremo local en dicho punto. Ejemplo de ello es la función f(x,y)=sqrt(x²+y²)+x+y que se grafica debajo desde dos ángulos diferentes. Obs: El teorema 2 enuncia una implicación “para un solo lado”. Dice que, si f tiene un extremo en el que las derivadas parciales existen, entonces éstas son nulas. Pero la recíproca no es cierta. Puede ocurrir que las derivadas existan y sean nulas en un punto y sin embargo no haya un extremo local en dicho punto. Este es el caso de los puntos de ensilladura, como el de la función f(x,y)=x²-y².
de f(x,y) y luego se estudia cada uno a los efectos de determinar si corresponde a un máximo, un mínimo o a ninguna de estas dos cosas.
Para el caso de puntos críticos con derivadas nulas, existe un teorema (criterio de las derivadas segundas) que nos permite, en muchos casos, identificar si el punto crítico corresponde a un máximo, mínimo o punto silla. d) Si D=0, el criterio no da información relevante. El punto crítico podría ser un mínimo (como en f=x +y , un máximo como⁴ ⁴ en f=-(x +y ), o ni una cosa ni la otra, como en f=x -y⁴ ⁴ ⁴ ⁴) En estos casos en que el criterio no da información, hay que hacer un análisis detallado del comportamiento de la función en el punto considerando diferentes direcciones, trayectorias o métodos diversos. Incluyendo desarrollos de Taylor, etc. Que luego veremos parcialmente.
Extremos en dominios no abiertos. Extremos en las fronteras.
Hasta ahora estudiamos extremos locales en regiones abiertas, o bien consideramos la posibilidad de que los extremos locales sean puntos interiores de un dominio. Sin embargo, en el caso en que el dominio de interé, llamémoslo D, sea cerrado o al menos contenga algunos puntos frontera, una dada función f(x,y) puede alcanzar extremos locales sobre dicha frontera. La extensión de la noción de extremo local en un punto interior a extremo local en la frontera es inmediata. La definición 1 que se dio en la primera página de este apunte cambia sólo en el hecho de que la frase “cuando está cerca de (a,b)” ahora no significa que está en un disco alrededor de (a,b) sino más bien en un disco intersección el dominio D (puesto que todo disco centrado en un punto frontera tendrá puntos que no pertenecen a D.) OBS: un extremo local en la frontera no cumplirá en general con la condición de ser punto crítico (salvo si se interpreta que las derivadas parcial no existen por estar en la frontera). Por ello, las fronteras hay que analizarlas aparte, por métodos que veremos más adelante. Método para estudio de extremos locales y absolutos en un dominio D no abierto. 1ro) Buscar todos los puntos críticos en el interior de D. 2do) Analizar cada punto crítico interior para ver si se trata de máximo, mínimo, punto silla o ninguna de estas cosas. 3ro) Estudiar el comportamiento en las fronteras y la posibilidad de tener extremos locales allí. Esto requiere de un análisis especial que veremos luego. 4to) Para identificar los extremos absolutos, simplemente hay que evaluar la función en todos los extremos locales hallados en el interior y en las fronteras y compararlos a fin de encontrar el más grande y el más chico (si los hubiera). Obs: No toda función tiene extremos absolutos en un dominio D dado. (Puede ni siquiera tener extremos locales. Por ejemplo, la función f(x,y)=x²+y², definida en el círculo abierto x²+y²<1 tiene un mínimo absoluto en (x,y)=0 pero no tiene máximo absoluto. La función x²-y² (cuya gráfica es el paraboloide hiperbólico) definida en todo R², no tiene ningún extremo local ni absoluto (crece indefinidamente en algunas direcciones y decrece indefinidamente en otras). El siguiente teorema asegura condiciones de existencia para extremos absolutos.
Teorema
Si f(x,y) es continua en un dominio D cerrado y acotado, entonces f alcanza al
menos un máximo absoluto y un mínimo absoluto en D.
Ejemplo (Swokowski)
