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Modelización matemática y optimización de bioprocesos: Métodos y aplicaciones
Néstor V. Torres Darias
Profesor Titular de Bioquímica y Biología Molecular Departamento de Bioquímica y Biología Molecular Universidad de La Laguna
I. Introducción: El papel de los modelos matemáticos en las biociencias
El objetivo de cualquier disciplina científica es la comprensión y el control del comportamiento de los sistemas objeto de estudio en términos de sus elementos constituyentes. Esta comprensión implica mucho más que la mera descripción fenomenológica de las estructuras o los comportamientos. En el caso de los sistemas biológicos, este objetivo es particularmente ambicioso y por ello difícil, dada la enorme complejidad estructural y de relaciones que éstos presentan. Así planteado un proyecto de investigación cientifica constará necesariamente de dos etapas. La primera fase, etapa reduccionista, estará dirigida a la identificación y estudio individualizado de las estructuras constituyentes. A esta fase le debe seguir la etapa integradora, en la cual la información acumulada sobre esos elementos se integra en descripciones cuantitativas que nos describen el sistema y permiten no sólo comprender sino también controlar dicho sistema. La Historia de la Biología y la de las muchas subdisciplinas que comprende (entre las que no son excepción la Bioquímica, la Biomedicina y la Biotecnología) ha consistido básicamente en el desarrollo de la fase reduccionista. El desarrollo de esta fase previa se reveló desde el primer momento como una herramienta muy eficaz, y así lo prueba el progreso experimentado en los últimos cien años por la biociencias. Pero este desarrollo empieza a ser mucho más lento (cuando no a estancarse) en muchos ámbitos, lo que no es sino una manifestación de la aproximación reduccionista. Y, efectivamente, muy pronto resultó evidente que sólo el conocimiento de las propiedades individuales de los sistemas biológicos (enzimas, proteínas y ácidos nucleicos) no bastaba para comprender el comportamiento del conjunto, sino que se precisaba atender la etapa reconstruccionista, integradora del proyecto científico. Hasta hace muy poco tiempo la integración de información en modelos comprensivos ha estado seriamente limitada por dos hechos, a saber: la falta de información detallada sobre los elementos constitutivos y la escasa disponibilidad de herramientas de cálculo suficientemente potentes, necesarias éstas para la integración y cuantificación del comportamiento de los sistemas. Sin embargo, en su mayor parte estas limitaciones han desaparecido en los últimos años. En algunas áreas de investigación (Bioquímica, Biotecnología o numerosas disciplinas biomédicas) la acumulación de datos sobre las bases moleculares de los sistemas ha experimentado un gran crecimiento. Esta disponibilidad de información unida a la ubicuidad y potencia de los ordenadores ha puesto de manifiesto que se dan las condiciones necesarias para acometer la fase integradora de la empresa científica. Es en este punto en el que un viejo conocido de la comunidad científica, el modelo matemático, adquiere un protagonismo sin precedentes en la Historia de la Biología. El modelo matemático es el único que permite una representación cuantitativa, precisa y absolutamente libre de interpretaciones subjetivas de la
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realidad. Por otra parte, la elaboración de un modelo fuerza a la organización y correcta ordenación de datos e ideas sobre los sistemas objeto de estudio. Finalmente, los modelos permiten predecir la evolución y dinámica de los sistemas frente a perturbaciones o condiciones ambientales cambiantes; es decir, podemos realizar con ellos experimentos que de otra manera no serían posibles. ¿Qué se necesita, pues, para construir modelos matemáticos útiles de los sistemas? Ya hemos indicado que los requerimientos básicos son la disponibilidad de datos sobre los mecanismos y elementos constituyentes y de herramientas de computación eficaces. A estas condiciones necesarias hay que sumarle la disponibilidad de un marco teórico que permita la representación matemática idónea y el análisis de los modelos elaborados. De hecho, la elección del tipo de representación es crítica para el éxito de modelo. Para el caso de los sistemas bioquímicos disponemos de algunas de tales representaciones, cada una con sus ventajas y limitaciones. De entre ellas, una que ha mostrado gran versatilidad y que permite realizar ejercicios de optimización que son prácticamente inabordables con otras formulaciones es la Teoría de los Sistemas Bioquímicos.
II. La Teoría de los Sistemas Bioquímicos: Un marco teórico idóneo para la modelización matemática de los biosistemas
El tipo de representación que conocemos como Teoría de los Sistemas Bioquímicos (TSB) se basa en la posibilidad de expresar las ecuaciones de velocidad de las reacciones y otros procesos bioquímicos como un producto de funciones exponenciales. Matemáticamente este tipo de representación se apoya en el teorema de Taylor, que permite la aproximación de funciones con polinomios.
La representación de potencias. Consideremos el caso sencillo de una reacción enzimática que obedece al mecanismo de Michaelis-Menten:
V (^) max, KM X ---------------Æ P v
La expresión de la velocidad de esta reacción adopta la forma:
K X
V X
v vX
M +
= ( )= max
donde X representa la concentración del sustrato y KM y V (^) max las constantes de Michaelis- Menten y velocidad máxima, respectivamente. En el formalismo de potencias esta ecuación de velocidad se representa:
v ≈α⋅ X^ g
Es decir, la función original se aproxima mediante una función potencial con un exponente real y un factor positivo. El exponente, g , se denomina orden cinético y el
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es posible construir un modelo sustentado en esta representación simbólicamente, sin necesidad de conocer la estructura exacta del proceso.
Los modelos S-system. Basándonos en la representación de potencias podemos desarrollar una descripción general de los sistemas que constituye la base fundamental de la TSB. Para ello consideremos un proceso (ruta metabólica) ramificado con la siguiente estructura:
X 1
X 3
X 2
X 4
En este sistema X 1 se transforma en X 2 y X 3. Además, X 2 ejerce un efecto inhibidor sobre la síntesis de X 1. Un modelo dinámico típico de este sistema consiste en un conjunto de ecuaciones diferenciales en las que cada una representa los cambios que experimenta una variable (positiva) dependiente X (^) i. El sistema incluye también variables independientes ( X 4 en este caso) que no cambian en cada situación pero que pueden adoptar distintos valores de un caso a otro. La representación simbólica S-system de este sistema es de la siguiente forma:
12 14 11 1 1 1 2 4 1 1
1 V V Xg Xg Xh
dt
dX
= +^ − −=α − β X 1 (0) = valor inicial de X 1
21 22 2 2 2 1 2 2
2 V V Xg Xh
dt
dX
= +^ − −=α − β X 2 (0) = valor inicial de X 2
31 33 3 3 3 1 3 3
3 V V Xg^ Xh
dt
dX
= +^ − −α − β X 3 (0) = valor inicial de X 3
X = constante.
En la función positiva V se representan todos los elementos que influyen, aumentando
o disminuyendo, la producción de X i , mientras que la función, también positiva, V representa
los elementos que influyen, aumentando o disminuyendo, la transformación de X (^) i. Una característica destacada de todas estas funciones es que tienen una estructura homogénea. Las variables, ya sean dependientes o independientes, son tratadas formalmente de la misma
manera, a saber, como un factor en el producto V o V , elevado a una potencia. Este tipo de
formulación es muy diferente de las expresiones de velocidad empleadas normalmente, que suelen adoptar la forma de funciones racionales en las que los sustratos y moduladores aparecen en diferentes formas.
i − i
i
i
−
Los S-systems pueden usarse para representar cualquier tipo de no-linealidad. Debido a la estructura rígida de estos modelos y a la flexibilidad que muestran para capturar no- linealidades, los modelos S-systems se denominan modelos canónicos. La ventaja más
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significativa de los modelos canónicos es el hecho de que su estructura homogénea permite la estandarización de los análisis del mismo, que incluyen el diseño del modelo, la estimación de parámetros, el análisis de los estados estacionarios, el análisis de sensibilidades, el estudio de las dinámicas frente a perturbaciones y la optimización.
Optimización basada en modelos S-system. Es en el capítulo de la optimización en el que los modelos presentados en la versión S-system presentan algunas de sus ventajas más significativas.
III. El Método Indirecto de Optimización (MIO)
En su formulación más general, el MIO consiste en 4 pasos.
1. Diseño del modelo, traslación a la versión S-system y evaluación de la calidad del mismo. Tal como se indicó antes los modelos se formulan como un conjunto de ecuaciones diferenciales. Si el modelo no ha sido formulado en la versión S-system debe ser traducido a este formalismo y, basándose en él, sometido a los análisis de calidad correspondientes: estabilidad de estado estacionario, análisis de sensibilidades y dinámica frente a perturbaciones. Este tipo de análisis puede hacerse de manera automática con el programa PLAS , diseñado específicamente para la elaboración y análisis de modelos en el formalismo de potencias. Si el modelo muestra una calidad suficiente estaremos en condiciones de proceder al siguiente paso. 2. Linealización y programa- ción lineal. La ventaja clave de formular un modelo biológico como un S-system radica en que los estados estacionarios en esta representación vienen descritos por un conjunto de ecuaciones algebraicas lineales cuando se expresan en coordenadas logarítmicas. De la misma manera, las funciones susceptibles de optimización (funciones objetivo) y las restricciones a los flujos e intermediarios necesarias para garantizar la viabilidad biológica de los sistemas se pueden expresar también como ecuaciones lineales en escala logarítmica. De este modo, la optimización de un sistema no lineal se transforma en un problema de
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Paso 1. Diseño del modelo, traslación a la versión S-system y evaluación de la calidad del mismo. El esquema adjunto muestra esquemáticamente el diseño experimental empleado para la biotransformación de la crotonobetaína en L- carnitina mediante E. coli O44 K74 en un biorreactor con recirculación celular. Las flechas aparecen junto a los parámetros del modelo. A partir de un modelo previo se obtuvo la versión S-system del mismo con las siguientes equivalencias:
[ ] ( ) dt
X X X X X X dX Kgo Kgo G Yxgo Yxgge
u gG Ki Ki X dG dt QGin QG GoKyg g g h h h h
GoKig 151 ,^561 ,^6111 ,^141 ,^451 ,^581 ,^81 1 2 1 1
max 12. 3 2 = − =
⋅ ⋅^ ⋅ + ⋅ = ⋅ − ⋅ + −
− α β
dt
QCr X X X X X X X X X dX K Cr
QCrin X KA KA CrV K C
dCr dt X KA KA CV g^ g g g g h h h h^2 ,^92 1 2 32 ,^342 ,^452 ,^572 ,^792 ,^9222 ,^242 ,^452 ,^59
1 3 1 2
(^1 32) = − =
(^) + ⋅
− ⋅ + ⋅ ⋅
(^) + ⋅
= ⋅ + ⋅ ⋅ α β
( ) ( ) dt QC X X X X X X X dX K C
X KA KA CV K Cr dC dt X KA KA CrV 3 2 g^^3 ,^24 g^3 ,^49 g^3 ,^933 h^3 ,^3 h 43 ,^45 h^3 ,^5 h 93 ,^93 2
1 3 2 1
(^1 31) = − =
(^) + ⋅
− ⋅ + ⋅ ⋅
= ⋅ + ⋅ ⋅ α β
Kgo Kgo G^ [^ ueX ]^ X X X X dXdt
u gG Ki Ki X dX dt g g g h
GoKig 4 14 ,^144 ,^484 ,^8444 ,^44 1 2
max 12. 3 2 − ⋅ = − =
⋅ ⋅^ ⋅ + ⋅
− α β
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Los órdenes cinéticos y constante de velocidad se calcularon a partir de datos experimentales, obteniéndose los siguientes resultados:
5675 8
4324 5
5675 4
9162 5 6 1
1 X X 1. 0213 · X X X X
dt
dX = −
9292 9
0605 7
0605 5
9394 4
3538 3
2 0. 2438 · X X X X X
dt
dX = − 0. 464 · X 20.^1424 X 40.^9643 X 50.^0356 X 90.^9537
9636 9
0257 5
9742 4
3926 3
989 4 9
1106 2
3 0. 3844 · X X X 0. 2058 · X X X X
dt
dX = −
4 8 4
- 8524 1
4 0. 0053 · X X X 0. 08 · X
dt
dX
Estabilidad del estado estacionario. El estado estacionario mostró ser estable. Éste se recuperaba después de perturbaciones macroscópicas. La observación experimental de este comportamiento fue confirmada por la evaluación de los valores propios (-2.0737; -4.31 · 10-2^ ; -18.2467; -1).
Análisis de sensibilidades. Las sensibilidades del sistema a cambios en los parámetros miden su capacidad para resistir pequeñas fluctuaciones en los mismos. Se definen como:
( X )
X
, )= X
S( X
j
i i
j j
i i j α
α α
α
log
log
( g )
( X )
X
g
g
,g )= X
S(X
jk
i i
jk jk
i
i jk log
log
0
( V )
V
, )= V
S( V
j
i i
j j
i i j α
α α
α
log
log
( g )
( V )
V
g
g
,g )= V
S(V
jk
i i
jk jk
i
i jk log
log
0
En todos los casos, si las sensibilidades son mayores que 1 implica la amplificación de la alteración original, mientras que si es menor que 1 es una atenuación. Un valor positivo indica que los cambios se producen en la misma dirección, ya sea un aumento o una disminución. Un signo negativo indica cambios en la dirección opuesta. En un buen modelo las sensibilidades a los parámetros son pequeñas. Si éstas fueran muy grandes significaría que el modelo está mal determinado, y requeriría la revisión de las partes del modelo afectadas. Lo observado en nuestro modelo se muestra en las dos figuras
siguientes. Las sensibilidades S(V(Xi ), α j ) son pequeñas en general, siendo las únicas
excepciones aquellas asociadas con los flujos a través de la crotonobetaína ( X 2 ) y carnitina ( X 3 ).
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Esta función expresada en coordenadas logarítmicas se transforma en:
y 3 + y 5 donde y (^) i es ln( Xi ) para i = 3, 5.
Restricciones de estado estacionario. La condición de estado estacionario una vez linealizada en coordenadas logarítmicas es:
-0.9162 y 1 - 0.5675 y 4 + 0.5675 y 5 + y 6 - 0.5675 y 8 = 0. -0.1424 y 2 + 0.3538 y 3 - 0.0248 y 4 + 0.0248 y 5 + 0.0605 y 7 - 0.0245 y 9 = 0. 0.1106 y 2 - 0.3926 y 3 + 0.0257 y 4 - 0.0257 y 5 + 0.0254 y 9 = -0. 0.8524 y 1 + y 8 = 2.
donde yi es ln( Xi ) para i = 1,2,3,... 9.
Restricciones a las variables dependientes e independientes. En este punto definimos la magnitud en la que se permite variar a las variables y parámetros del modelo. En general, el rango de variación será entre 0.5 y 1.5 veces los valores basales (excepto para X 4 , la biomasa, a la que se le permite aumentar hasta 2 veces el valor basal). De acuerdo con esto obtenemos:
Paso 3. Transferencia de los resultados al modelo original y análisis de la calidad del modelo. En la Tabla siguiente se muestran los resultados de la búsqueda sistemática, paso a paso, de las mejores soluciones. Junto con la solución obtenida en el modelo S-system se muestran las obtenidas cuando éstas se trasladaron al modelo original (K-M).
( Xi )opt/( Xi )basal Variables 1 2 3 4 5 Dependientes Basal S-s K-M S-s K-M S-s K-M S-s K-M S-s K-M X 1 (G) 43.28 mM 1 1 1 1 1 1 0.68 0.69 0.62 0. X 2 (Cr) 29.49 mM 1 1 1.5 1.49 1.5 1.53 1.5 1.56 1.5 1. X 3 (C) 20.51 mM 1 1 1.12 1.11 1.24 1.18 1.26 1.19 1.26 1. X 4 (X) 12.18 g/L 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 2 1.85 2 1. Independientes X 5 (Q) 1 L/h-1^ 1.5 1.5 1.5 1.5 1. X 6 (Gin) 100 mM 1 1 1 1 0. X 7 (Crin) 50 mM 1 1.33 1.39 1.4 1. X 8 (μmax) 0.603 h-1^1 1 1 1.38 1. X 9 (KA1) 123.3 U h L-1^1 1 5 5 Veloc. Producción 21.1 mM/h-1^ 1.5 1.5 1.68 1.65 1.86 1.77 1.9 1.78 1.9 1.
Tabla 1.
3.0746 ≤ y 1 ≤ 4. 2.6909 ≤ y 2 ≤ 3. 2.3277 ≤ y 3 ≤ 3. 1.8068 ≤ y 4 ≤ 3. -0.6931 ≤ y 5 ≤ 0. 3.9120 ≤ y 6 ≤ 5. 3.2188 ≤ y 7 ≤ 4. -1.1988 ≤ y 8 ≤ -0. 4.1214 ≤ y 9 ≤ 6.
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Se observa que hay un buen acuerdo entre las soluciones S-system y las que rinde el modelo original, y siempre se respetan las restricciones impuestas. Por otra parte, todas las soluciones corresponden a estados estacionarios estables con sensibilidades dentro de rangos aceptables. De acuerdo con los perfiles óptimos que se muestran en la Tabla 1, el primer parámetro que se debe modificar es X 5 (la velocidad de extracción del biorreactor, Q). El aumento de la misma en un 50% causa un aumento similar en la velocidad de la producción de carnitina. El siguiente parámetro a modificar es la concentración de crotonobetaína (Crin ), X 7. Si aumentamos simultáneamente la velocidad de reciclaje en un 50% y la concentración de crotonobetaína en un 40%, la velocidad de producción de carnitina aumenta en un 68%. Estos parámetros son directamente accesibles en el biorreactor. La siguiente mejora se obtiene amplificando la actividad de la carnitina deshidratasa (KA1), X 9 , 5 veces el valor basal. En este caso, la modificación simultánea de las tres parámetros provoca un aumento de la productividad del 86%, pero un incremento en μmax ( X 8 ) no produce efectos apreciables.
Paso 4. Implementación de la solución óptima en el sistema experimental. Los perfiles óptimos mostrados en la Tabla 1 se implementaron en el biorreactor objeto de estudio. La Tabla 2 muestra que los resultados experimentales coincidieron prácticamente con las predicciones teóricas, tanto en lo referente a los estados estacionarios observados experimentalmente como en lo referente a las velocidades de producción de carnitina.
Variables^ ( Xi )^ opt/( Xi )^ basal 1 2 Dependientes Basal K-M Experimental K-M Experimental X 1 (G) 43.28 mM 1 0.96 1 0. X 2 (Cr) 29.49 mM 1 0.97 1.49 1. X 3 (C) 20.51 mM 1 1.01 1.11 1. X 4 (X) 12.18 g/L 1.5 1.53 1.5 1. Independientes X 5 (Q) 1 L/h-1^ 1.5 1. X 7 (Crin) 50 mM 1 1.33 1. Veloc. Producción 21.1 mM/h
-1 (^) 1.5 1.54 1.65 1.
Tabla 2.
V. Conclusiones
A lo largo de esta exposición se ha ilustrado, con un caso de interés biotecnológico, el recorrido completo que va desde la observación de un biosistema, la integración de dichas observaciones en un modelo matemático del sistema, el análisis y evaluación de la calidad de dicho modelo, la predicción, basada en dicho modelo, de los cambios que conducen a la mejora del mismo basados en la optimización del modelo y, finalmente la verificación experimental de las predicciones del mismo.
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Néstor V. Torres Darias Universidad de La Laguna
MODELIZACIÓN MATEMÁTICA Y OPTIMIZACIÓN DE BIOPROCESOS: MÉTODOS Y APLICACIONES
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Bioquímica/Biotecnología/Biomedicina Æ comprensión y control de los procesos biológicos a nivel molecular
Útil, pero insuficiente: “el conocimiento de la propiedades individuales de la enzimas, proteínas y ácidos nucleicos no basta para comprender el comportamiento del conjunto”
Reducionismo : comprensión del comportamiento macroscópico a partir del conocimiento de las estructuras y propiedades de sus constituyentes microscópicos
LA MODELIZACIÓN DE BIOPROCESOS
3
Modelización matemática: herramienta imprescindible en la fase reconstructiva de un proyecto científico
Beneficios de los modelos:
- La representación más precisa de la realidad: interpretación única, objetiva y cuantitativa
- Permiten organizar y almacenar la información e ideas sobre los sistemas objeto de estudio (muchos elementos y complejas interacciones)
- Permite la predicción de la dinámica de los sistema
- Permiten la realización de experimentos “in número” y la exploración de escenarios posibles.
LA MODELIZACIÓN DE BIOPROCESOS
4
LA MODELIZACIÓN DE BIOPROCESOS
Los datos son información si conocemos los procesos implicados. La información es conocimiento cuando podemos ver cómo opera el sistema. Pero el conocimiento sólo llega a ser verdadera comprensión cuando podemos predecir la evolución de cualquier sistema y cómo estos se comportan en la realidad. Peter Allen (1994)
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¿Qué se necesita para construir modelos útiles de biosistemas?
La elección del tipo de representación es crítica
- Herramientas de computación eficaces
- Un marco que permita la representación matemática idónea y el análisis de los modelos
- Datos sobre los mecanismos y elementos constituyentes
LA MODELIZACIÓN DE BIOPROCESOS
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- La Teoría de los Sistemas Bioquímicos: un marco teórico idóneo para la modelización matemática de los biosistemas. 1.1 El formalismo de leyes de potencias 1.2 La representación S-system
- Mejora de la producción de L-(-)-carnitina por E. coli.
- Optimización de la producción de L-(-)-carnitina basada en la representación S-systems. El Método Indirecto de Optimización.
- Conclusiones.
LA MODELIZACIÓN DE BIOPROCESOS
7
1.1 El formalismo de las leyes de potencias
Vmax , K (^) M X P v
K X
v vX V X M +
= ( )= max v ≈α⋅ Xg
8
X 1 + X 2 +...+X (^) n Productos
V ( X 1, X 2, X 3, X 4, ..., Xn )
V = α ⋅ X 1 g^^1 X 2 g^^2 X 3 g^^3 X 4 g^4 ... Xng^ n
g n n
g g
i V^ X X X
= · −^1 −^2 ... −
La estructura de la aproximación es siempre la misma, α X g Permite la formulación simbólica del modelo sin necesidad de conocer la el mecanismo exacto de los procesos cinéticos implicados
9
v ≈α⋅ X^ g
Vmax , K (^) M X P v
g=
g=0. g=
0 < g < 1 ; si X 0 = Km , g = 0.
Calculados en el estado estacionario de referencia
X^ g
vX ( )
0
α =^0
v
X dX
dv d X
g = d v = ⋅ ln
ln
Constante de velocidad
Orden cinético 10
1.2 La representación S-system
X (^) 1 X 3
X 2 X 4
(^1) V 1 V 1 1 X 2 g 12^ X 4 g (^141) X 1 h 11 dt
dX = +−−=α − β
(^2) V 2 V 2 2 X 1 g 21 (^) 2 X 2 h 22 dt
dX = +− −=α − β
(^3) V 3 V 3 3 X 1 g 31 (^) 3 X 3 h 33 dt
dX = +− −α − β
Estructura homogénea pero flexible
Modelos canónicos
11
Modelos Canónicos Estandardización del proceso de modelización
- Diseño del modelo
- Estimación de parámetros y representación numérica
- Evaluación de la calidad del modelo 9 Estabilidad del estado estacionario 9 Análisis de sensibilidades: Robustez y Control 9 Dinámicas
Optimización del modelo 12
Factor esencial para el transporte de ácidos grasos de cadena larga a través de la membrana mitocondrial interna
- Producción de L-(-)-carnitina por E. coli
Aplicaciones médicas:
Aumento de la demanda
Disfunciones del músculo esquelético Hipoglucemia Isquemia cardiaca y otras cardiomiopatías
Hemodialisis crónica
Estimulación del crecimiento de cultivos bacterianos y de levadura
19
Evaluación de la calidad del modelo Robustez Medida de la resistencia a cambios estructurales
( ) =( X) X S( (^) X, )= X j
i i
j j i j i α
α α (^) α log log 0 ∂ ∂
∂
∂
Sensibilidades a las α y órdenes cinéticos
( ) = ( V) S( (^) Vi, α j)= α VjiV α ij log α ij log 0 ∂ ∂
∂
∂
( g ) =( X) X
g S(Xi ,gjk)= gXjki jki log jki log 0 ∂ ∂
∂
∂
( g ) = ( V) V
g g S(V,g)= V jk
i i
jk jk i jk i loglog 0 ∂ ∂
∂
∂
Atenuación ← 1 > Sensibilidad >1 Æ Amplificación Dirección opuesta ← ( -) Sensibilidad ( +) Æ Misma dirección En un buen modelo las sensibilidades son pequeñas 20
Variables y flujos más sensibles: Crotonobetaína ( X 2 ) Carnitina ( X 3 )
Evaluación de la calidad del modelo Robustez
X1X2X3X V(X1)V(X2)V(X3)V(X4)^1
23
(^04)
5
10
15
20
25
|S(Xi/Vi; α )|
Xi / Vi
α
Sensibilidades a las α
21
80% entre 0- Crotonobetaina ( X 2 ) Carnitina ( X 3 ) y carnit. desh. (X 9 ) Precaución con: g (^) 2,4 , g2,9 , g3,4 o g (^) 3, Æ amplificación error experimental
Evaluación de la calidad del modelo Robustez
X 1X 3V ( X 1)
(^0) V ( X 3 )
20
40
60
80
100
120
|S(Xi/Vi; gj/hj)|
Ordenes cinéticos
Sensibilidades a los órdenes cinéticos
22
Evaluación de la calidad del modelo Análisis de la dinámica
Necesario para identificar problemas de consistencia y exactitud del modelo Aumento del 10% en X (^1) (concentración inicial de glicerol)
El sistema retorna rápidamente al estado estacionario con variaciones inferiores al 1% en el valor de las variables, sin oscilaciones
23
Evaluación de la calidad del modelo Valoración global
El comportamiento observado en términos de estabilidad del estado estacionario, robustez y dinámica frente a perturbaciones
Base fiable para estudios de optimización
Descripción realista y aceptable del sistema experimental
24
Optimización en el dominio no-lineal: enormes dificultades Optimización en el dominio lineal: accesible (programación lineal)
Método Indirecto de Optimización Paso 2: Linearización y Programación Lineal
La ventaja clave de los modelos S-system es que los estados estacionarios vienen descritos por un conjunto de ecuaciones lineales cuando se expresan en coordenadas logarítmicas Igualmente las respuestas susceptibles de optimización (funciones objetivo) y las restricciones a los flujos y variables (necesarias para garantizar la viabilidad de los sistemas) se pueden expresar como ecuaciones lineales en escala logarítmica. La optimización de un sistema no lineal se transforma en un problema de optimización lineal
25
Pueden encontrarse los máximos sin salirnos del ámbito lineal
Modelos S-system
Una función (respuesta del sistema) y su logaritmo tienen máximos para los mismos valores de las variables.
Dominio lineal
Método Indirecto de Optimización Paso 2: Linearización y Programación Lineal
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Programación lineal Maximizar ln(flujo) Sometido a las siguientes restricciones
- Condición de estado estacionario expresada en el logaritmo de las variables
- ln(variables) ≤, ≥, =, constante
- ln(flujo) ≤, ≥, =, constante
- Otras
Método Indirecto de Optimización Paso 2: Linearización y Programación Lineal
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Función objetivo: Maximizar la producción de L-carnitina: Vc = Q · C Q ( X 3 ) = Caudal extracción C ( X5) = Concentración carnitina en el caudal de extracción Max Vc = X 3 ·X (^5) En coordenadas logarítmicas: Max y 3 + y (^5) y (^) i = ln( X (^) i ) i =3,
Paso 2: Linearización y Programación Lineal Objetivo: Mejora de la producción de L-(-)-carnitina
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Restricciones de estado estacionario La solución óptima corresponderá a un estado estacionario
-0.9162 y 1 - 0.5675 y 4 + 0.5675 y 5 + y 6 - 0.5675 y 8 = 0. -0.142y 2 +0.353y 3 -0.024y 4 +0.024y 5 +0.06y 7 -0.024y 9 =0. 0.1106y 2 -0.3926y 3 +0.0257y 4 -0.0257y 5 + 0.0254y 9 =-0. 0.8524 y 1 + y 8 = 2. y (^) i = ln( X (^) i ), i =1,2,3...,
Paso 2: Linearización y Programación Lineal Objetivo: Mejora de la producción de L-(-)-carnitina
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Restricciones a las variables Se imponen límites superiores a las concentraciones de los intermediarios Æ garantizar la viabilidad celular (concentraciones intracelulares muy altas o muy bajas Æ soluciones fisiológicamente inviables). El conocimiento del sistema nos informa sobre el valor de estas restricciones.
Paso 2: Linearización y Programación Lineal Objetivo: Mejora de la producción de L-(-)-carnitina
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Crotonobetaina (X 2 ) y carnitina (X 3 ): 0.5-1.5 val. base X 5 , (Q): 1-1. X 7 ,(Crotonobetaína) y X 9 (KA1): 1- 2.6909 ≤ y 2 ≤ 3. 2.3277 ≤ y 3 ≤ 3. -0.6931 ≤ y 5 ≤ 0. 3.2188 ≤ y 7 ≤ 4. y (^) i = ln( X (^) i ); i =2,3,5,
Paso 2: Linearización y Programación Lineal Objetivo: Mejora de la producción de L-(-)-carnitina
