Historia de la integral indefinida
El cálculo de la integral definida, cuyo estudio iniciamos en este capítulo, se apoya en el
conocimiento de la integral indefinida, herramienta asociada tradicionalmente al cálculo
diferencial.
El origen del cálculo integral se remonta a la época de Arquímedes (287-212 a C.),
matemático griego de la antigüedad, que obtuvo resultados tan importantes como el valor
del área encerrada por un segmento parabólico.
La derivada apareció veinte siglos después para resolver otros problemas que en
principio no tenían nada en común con el cálculo integral. El descubrimiento más
importante del cálculo infinitesimal (creado por Barrow, Newton y Leibniz) es la íntima
relación entre la derivada y la integral definida, a pesar de haber seguido caminos
diferentes durante veinte siglos.
Una vez conocida la conexión entre derivada e integral (Teorema de Barrow), el cálculo
de integrales definidas se hace tan sencillo como el de las derivadas. De este modo se
justifica el tiempo empleado en hallar primitivas.
La idea que vamos a tener en cuenta en esta parte para llegar al concepto de integral
definida es la misma que en esencia utilizó Arquímedes: dada una región del plano, su
área puede calcularse por medio de regiones poligonales inscritas o circunscritas a la
misma, tales que al aumentar el número de lados, el área de estos polígonos tiende a
aproximarse al área de la pedida. La integral definida es una generalización práctica y
sutil de este proceso.
Los griegos ya consiguieron resolver algunos problemas relativos a áreas, actualmente
asociados a las integrales definidas de las funciones afines y cuadráticas. El cálculo
efectivo en cada uno de ellos dependía de algún proceso ingenioso, especialmente
diseñado para ese problema particular.
El método arquimediano de aproximación ha adquirido nuevamente importancia, ya que
el cálculo de las integrales definidas puede hacerse con los ordenadores actuales con
tanta precisión como deseemos.