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Quiz 1: C ´alculo II
Yachay Tech
Elaborado por Pablo Rosero
16 de junio de 2022
Instrucciones
Duraci ´on: 1 hora y 45 minutos.
Hora de inicio: 16h00.
Hora de entrega: 17h45.
Enumere y firme cada hoja.
Cada ejercicio tiene una ponderaci ´on de 1 punto.
Justifique todas sus respuestas de manera ordena.
¡Que les vaya excelente!
1. Parte Te ´orica
Resuelva los siguientes ejercicios. En cada uno justifiqu ´e su respuesta de mane- ra clara.
Ejercicio 1 (1 punto). Complete el siguiente enunciado: Si dos subsucesiones de una sucesi´on convergen a un l´ımite distinto, podemos decir que la sucesi´on es...
Ejercicio 2 (1 punto). Verdadero o falso. Asumir que la sucesi´on (1, 2 , 3 ,.. .) es convergente ser´ıa una contradicci´on, pues esto implicar´ıa que el conjunto N es acotado superiormente.
Ejercicio 3 (1 punto). Verdadero o falso. El teorema de Bolsano-Weiertrass dice que toda sucesi´on mon´otona y acotada de n ´umeros reales es convergente.
1
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Ejercicio 4 (1 punto). Verdadero o falso. La serie
P 1
n^2 es divergente, puesto que para todo n ∈ N se verifica que 1 n^2
n
2. Parte Pr ´actica
Escoja y resuelva cuatro de los siguientes seis ejercicios. En cada uno justifiqu ´e su respuesta de manera clara.
Ejercicio 5. Encuentre el l´ımite de la serie convergente
X^ ∞
n=
(−3)n−^1 4 n^
Ejercicio 6. Sea (an) la sucesi´on real de t´ermino general
an = ln(2n^2 + 1) − ln(n^2 + 1).
Encuentre el l´ımite de la sucesi´on (an).
Ejercicio 7. Pruebe que si a = l´ım xn y b < a entonces para un n suficientemente grande b < xn.
Ejercicio 8. Pruebe que para a > 1 y k ∈ N,
l´ım
n! nn^
determine con que criterio de convergencia de series lo anterior implica que la serie
X^ ∞
n=
n! nn^
es convergente.
Ejercicio 9. Muestre que la serie
X^ ∞
n=
n^2 + 2n^3 3 n^3 + 1
n
converge.
Ejercicio 10. Enuncie el teorema que permite concluir que
n^ l´→∞ım
sin(n) n
