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Calculo
Teresa Molina
Unidad I: Funciones en más de una variable.
- ¿En qué punto del paraboloide 𝑦 = 𝑥
2
2
el plano tangente es paralelo al plano
𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 1
Si el plano tangente es paralelo al plano dado, entonces sus vectores normales son
paralelos.
La normal del plano tangente será 𝑘𝑛
𝑡𝑔
=
( 1,2,
) 𝑐𝑜𝑛 𝑘 𝑢𝑛 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟
Calculemos ahora las derivadas parciales para hallar el vector gradiente:
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥
2
2
𝑓 x
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑥
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = -
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑧
vector gradiente: ∇𝑓(𝑥 0
; 𝑦 0
; 𝑧
0
) = (2𝑥, −1, 2𝑧)
Reemplazando estos valores en la ecuación del plano,
∇(𝑥 0
; 𝑦 0
; 𝑧 0
) = (2𝑥, −1, 2𝑧)
Igualando:
∇(𝑥 0
; 𝑦 0
; 𝑧 0
) = k 𝑛
𝑡𝑔
= k
2 x
2 z
2= - 𝑘
De donde 𝑘 = −
Con el valor de 𝑘, igualando las primeras componentes y las terceras componentes del
vector, tenemos:
𝑥 0
=
𝑧 0
=
Para hallar 𝑦
0
, reemplazamos los valores de 𝑥 𝑦 𝑧 en el paraboloide:
𝑦 = 𝑥
2
2
2
2
𝑦 =
Luego el punto del paraboloide 𝑦 = 𝑥
2
2
el plano tangente es paralelo al plano 𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧
= 1 es (
;
;
).
Utilizamos la applet creda por la profesora Laura del rio , curvas parametrizadas, vamos evaluando los puntos en
tatraves del recorrido y podemos observar el sentido que indica que “va”.
b) x=t
4
1 , y =t
2
2 t ∈
[
]
De la ecuación 1 despejamos el parámetro t: t=
4
√ x
3
Reemplazamos 3 en 2 y=
(
4
√x
)
2
simplifucamos exponente e indice y obetemos y =√x
En estas dos capturas de la applet se puede ver como el sentido “va y viene”
c)
x=sen ( t) + 1 1
y=cos ( t )− 22
t ∈ ¿
despejamos paremaetro t de 1 x=sen ( t )+ 1
x− 1 =sen t
( x− 1 )
2
=sen
2
t
3
Despejamos el parámetro t de la ecuación 2 y=cos ( t )− 2
y + 2 =cos t
( y + 2 )
2
=cos
2
t
4
De 3 y 4 ( x− 1 )
2
+( y + 2 )
2
= 1 circunferencia de radio 1 centro( 1 ,− 2 )
sen
2
t+cos
2
t= 1
Reemplazamos la ecuación 3 en la ecuación 2
y= 1 +
x + 1
y=
2 +x + 1
y=
x
- a)
y= 2 x + 3
x (t )=ty ( t)= 2 t + 3
Sentido: “va y viene”
b) y=x
2
x
t
=t y
t
=t
2
c) porción de x= y
2
entre los puntos
y (9,3)
y= √
x
x=t y=√ t
d)
x
2
y
2
x (t )=t , y ( t )=
√
t
2
https://youtu.be/PrHvV2itZcI
UNIDAD IV: TEOREMAS DEL CALCULO INTEGRAL
Actividad 2
y
2
t
2
y
2
9 −t
2
y
2
36 − 4 t
2
y=
√
t
2
t
2
t
2
t ≤ √
− 3 ≤ t ≤ 3 t ∈ [−3,3]
Busco intersección de las superficies cilindro elíptico
x
2
y
2
(
)
2
= 1 cilindro eliptico
Parametrizamos
x=u cosv
y=u senv
z=u
0 ≤u ≤ 1
0 ≤ v ≤ 2 π
z= √
u
2
cos
2
v +u
2
sen
2
v= √
u
2
=u
T ( u , v )=( u cosv , u sen v , u)
T u=( cosv , senv , 1 )
T v=(−u senv , u cosv , 0 )
N=
i j k
cosv senv 1
−u senv u cosv 0
−u cosv
i−
+u senv
j+
( u cos
2
v +u sen
2
v
) k=
−u cosv ,−u senv , u
Tercera componente negativa ( u cosv , u senv ,−u)=
N
rot
F=
i j k
∂ x
∂ y
∂ z
z x y
Producto entre rot
F y N=
( u cosv , u senv ,−u) .(1,1,1)
( u cosv , u senv ,−u)
∫
0
1
∫
0
2 π
( u cosv+u senv−u ) dv du=¿ ∫
0
1
∫
0
1
[u ( sen 2 π −sen 0 ) +u (−cos 2 π + cos 0 ) −u ( 2 π− 0 ) ]du=¿ ∫
0
1
− 2 πu du=− 2 π.
u
2
− 2 π
[
2
2
]
=− 2 π.
=−π
