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El enfoque de mi documento es profundizado en unos de los primeros temas base del calculo diferencial.
Tipo: Apuntes
1 / 56
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1.1 LÍMITE EN UN PUNTO
1.1.1 DEFINICIÓN INTUITIVA
Aunque son sólo seis valores, por ahora sin ponernos exigentes vamos a concluir diciendo que la función
escribiremos de la siguiente forma:
Lo anterior se puede ilustrar desde la gráfica:
Una función f tiene límite L en un punto x 0 , si f se aproxima a tomar el valor L cada vez que su variable independiente x se aproxima a tomar el valor x 0. Lo que se denota como: 0
lím ( ) x x
f x L →
=
1.1.2 DEFINICIÓN FORMAL
2 lím 2 1 5 x x →
5 6 lím 7 x 1
x x → x
PRIMERO, para un lenguaje formal, decir que x toma valores próximos a un
punto x 0 (que x está en torno a x 0 ), bastará con considerarla perteneciente a
un intervalo o vecindad, centrado en x 0 , de semiamplitud muy pequeña, la
cual denotaremos con la letra griega ∂ (delta). Es decir:
x 0 (^) − ∂ < x < x 0 + ∂
− < δ
−δ< − <δ
0
0
0 0 0 0 0
0 0
x x
x x
x x x x x x
x x x
Empleando la definición de valor absoluto
Y, para que x no sea x 0 , bastará con proponer que 0 < x − x 0 < ∂ ¿POR
SEGUNDO, para decir que f está próxima a L (en torno a L ), podemos
expresar que pertenece a un intervalo o vecindad, centrado en L de semiamplitud muy pequeña, la cual denotaremos con la letra griega ε
L − ε< f (^) ( x (^) )< L + ε
ε
ε ε
ε ε
Sea f una función de variable real y sean ε y ∂ cantidades positivas muy pequeñas.
Suponga que f se aproxima a L cuando x se aproxima a x 0 , denotado por 0
lím ( ) x x
f x L →
= ,
significa que para toda proximidad ε que se desee estar con f en torno a L , deberá poderse definir un intervalo en torno a x 0 en el
cual tomar x , sin que necesariamente x = x 0 , que
nos garantice el acercamiento.
Es decir:
( (^) x lím → x 0 f^ ( ) x^^ =^ L^ )≡ ∀^ ε^ >^ 0,^ ∃δ^ >^0 tal que^^0 <^ x^ −^ x 0^ <^ δ⇒^ f^ ( ) x^ −^ L <ε
deberíamos establecer una relación entre ∂ y ε.
Aplicando la definición de valor absoluto
de 2. Es decir que si tomamos 1. 995 < x < 2. 005 garantiza que 4. 99 < f ( x )< 5. 01.
2 1
Debemos asegurar que 1
x y x x se aproxima a tomar el valor de 7 cada vez que la x esté
próxima de 1. Es decir, que debemos poder estar tan cerca de 7 con 51 6
2 −
x y x x , tanto como nos
(existe ∂ ) en el cual tomar x que garantice aquello, es decir:
ε δ δ − < ε
Vamos a transformar el antecedente hasta llevarlo a la forma del consecuente. La forma algebraica del consecuente nos guiará:
2
x x x x x x x x x
Debemos garantizar que ∀ε > 0 , ∃δ> 0 talque 0 < x − 2 <δ ⇒ x^2 − 4 < ε
Por lo tanto:
2
x x x x x x x x x
Se suma y resta 7 (debido a que aparece -7 en el consecuente)
(debido a que el primer término del consecuente
Multiplicando por x + 2 (debido a que el consecuente tiene una diferencia de cuadrados perfectos) Propiedades del valor absoluto
Tomamos δ = (^) x +^ ε 2. Pero ahora existe un inconveniente, la relación es función de x. Esto lo podemos
salvar acotando a x. Suponga que a la x se la toma a una distancia no mayor de 1, en torno a 2, entonces 1 ≤ x ≤ 3 , que si tuviéramos que escoger un valor para x , el idóneo sería 3, para que satisfaga el hecho de que δ debe ser una cantidad pequeña.
Debemos garantizar que ∀ε > 0 , ∃δ> 0 talque 0 < x − 4 <δ ⇒ x − 2 < ε entonces:
( )( ) ( )
x x x x x x x
δ δ δ δ
entonces 3 ≤ x ≤ 5 , un valor idóneo sería 3. ¿Por qué?.
que se quiere demostrar.
Debemos garantizar que ∀ ε > 0, ∃δ > 0 tal que 0 < x − 27 < δ ⇒ 3 x − 3 <ε Entonces:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
3 3 3 2 3 3 3 2
3 3 2 3
3 3 2 3
x x x x
x x x
x x x
δ δ
δ δ
Tomamos (^) (( ) ) 3 2 3 δ = ε ⎛⎜^ x + 3 x + 9 ⎞⎟
Factorizando x − 4 para diferencia de cuadrados Propiedades del valor absoluto Despejando
Factorizando x − 27 para diferencia de cubos Propiedades del valor absoluto Despejando
( )( )
( ) ( )
( ) (^) ( )
( ) (^) ( ) ( ) ( ) (^) ( )
( )
( ) ( ) (^) ( )
( ) (^) ( ) ( ) ( )( ) (^) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2
x x x x x x x x x x x x (^) x
x x (^) x x x (^) x x x x (^) x
x (^) x x x x (^) x x x (^) x
δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ < − < < − < < − + < < − <
− < <
< − <
< −^ − <
< − <
< − <
Tomamos δ = ε ⎛⎜⎝^ 2 1( + x )^2 ⎞⎟⎠. Ahora bien, si tomamos a x a una distancia no mayor de 1, entorno a 1,
entonces 0 ≤ x ≤ 2 , un valor idóneo sería 0. Reemplazando tenemos δ = ε⎛⎜⎝^ 2 1( + (^0) ) 2 ⎞⎟⎠=ε( 2 )
Por lo tanto, δ = 2 ε; es decir, si tomamos 1 − 2 ε < x < 1 + 2 ε aseguramos lo que se quiere demostrar.
x 2
x → x
Debemos garantizar que ∀ ε > 0, ∃δ > 0 tal que 0 < x − 4 < δ ⇒^ xx −−^42 − 4 <ε
Igual que en el ejemplo anterior primero vamos a analizar el consecuente :
Factorizando para diferencia de cuadrados
Propiedad del valor absoluto
Despejando
Transformando el 1 en 2 - 1
Agrupando
Separando en dos términos
Simplificando
Multiplicando por la conjugada
( )( )
( )
( )( ) ( )
( )
x x x x x x x x x x x x x x x x
ε ε ε ε ε ε ε ε
Ahora para transformar el antecedente, se sigue una secuencia como la anterior pero desde el final :
( )( ) ( )
( )
( )( ) ( )
( )
x x x (^) x x x x x x x x x x x
x x x x x x x
δ δ δ δ δ δ δ δ < − < < − <
< − <
< − + − <
< + − <
< − − < − +
Tomamos δ = ε( x + (^2) ). Ahora bien, si tomamos a x a una distancia no mayor de 1, entorno a 4,
aseguramos lo que se quiere demostrar.
Podría no ser tan sencillo encontrar un ∂ en función de ε , eso no significa
Dividiendo todos los términos entre (^) ( x + (^2) )
Sumando y restando 4
Agrupando
Multiplicando y dividiendo (^) ( x − (^2) )
Realizando el Producto Notable
diferencia de cuadrados
Simplificando (^) ( x − (^2) ) Restando
Multiplicando y dividiendo por (^) ( x + (^2) )
Realizando el Producto Notable
Aplicando propiedades del valor absoluto
Despejando
Simultáneamente tenemos:
ε
ε ε δ δ
lo cual quiere decir también que: ε 0 , δ 0 0 δ () () 2 ε ()
−
M fx
talque x x f x L f x M
Por la desigualdad triangular a + b ≤ a + b , tenemos: (^) a b a b
f ( x )− L + M − f ( x )≤ f ( x )− L + M − f ( x )
entonces como M − L ≤ f ( x )− L + M − f ( x )< 2 ε podemos decir que M − L < 2 ε
ε 1 se produce una contradicción porque tendríamos M − L < 2 ( 21 M − L )lo cual no es verdad. Por lo tanto, se concluye que L = M. L.Q.Q.D
Sea f ( x )= sen ( )^1 x. Analicemos su comportamiento en la vecindad de “0” ( )
2
(^31) 2
3 2
1
2
1
π
π
π
π
π
π
x y sen x
Se observa que la función en la vecindad de “0” tiene un comportamiento un tanto singular, sus valores son alternantes. Por tanto, se concluye que esta función no tiene límite en cero. Veamos su gráfica.
y = sen ⎜⎝⎛ x^1 ⎟⎠⎞
1.2 LÍMITES LATERALES
1.2.1 LÍMITE POR DERECHA
Cuando (^) x se aproxima a tomar el valor de (^) x 0 ,
aproxima a tomar el valor de L 1 ; significa que f puede estar tan cerca de L 1 , tanto como se pretenda (∀ ε ), para lo cual deberá existir el correspondiente ∂ , que indica el intervalo en el cual tomar x que nos garantice aquello. Es decir:
0 1 0 1
x x
Una función creciente en ( x 0 ,∞)
Una función creciente en ( −∞, x 0 )
1.2.3 TEOREMA DE EXISTENCIA DE LÍMITE
Si f es una función con límite en x 0 entonces se cumple que tanto por izquierda como por derecha f tiende a tomar el mismo valor. Es decir: ( f x L ) f x L f x L x x x x x x = ≡ + = ∧ − = → → → lím ( ) lím ( ) lím ( ) (^000)
Si se da que lím ( ) lím ( ) 0 0
f x f x x → x +^ x → x −
≠ , se dice que lím ( ) 0 x → x f^ x no existe.
Expresando la regla de correspondencia sin valor absoluto, resulta:
( ) (^) ⎩⎨
Esto quiere decir que su gráfica es:
De la gráfica observamos que (^) x lím→ 2 + f ( x ) = 1 y (^) x lím→ 2 − f ( x )= − 1 ; entonces se concluye que
x x
x
x x fx
SOLUCIÓN: Note que la función tiene regla de correspondencia con una definición a la derecha de 3 y otra diferente a la
3
→ f x x
3
→ f x x
PRIMERO , (^) ( lím 2 x → 3 + x = (^6) ) ≡ ∀ ε > 0, ∃∂ > 0 tal que 0 < x − 3 < ∂ ⇒ 2 x − 6 <ε
x x x
Si
∂ =^ ε; es decir, tomando
3 < x < 3 +^ ε garantizamos la afirmación que 2 6 3 +^ = → lím x x
( (^) x lím→ 3 −^ (^3 x^ −^3 )=^6 ) ≡ ∀^ ε^ >^ 0,^ ∃∂ >^0 tal que^^0 <^3 −^ x^ < ∂ ⇒^ (^3 x −^3 )−^6 <ε
x x x x x x < − < ∂ < − < ∂ < − < ∂ < + − < ∂ < − − + < ∂ < − ⎡⎣ − − ⎤ <⎦ ∂
Si ∂ = 3 ε; es decir, tomando 3 − 3 ε^ < x < 3 garantizamos que (^) x lím 3→ 3 −( x − 3 )= 6.
x x fx x x
x x fx x x d. (^) x lím→ 2 − (^) ( 2 x − (^) a x b)= 3 e. (^) x lím→ 3 + (^) ( 3 x − (^) a x b)= 6
x x f x x x
x
x
x
b. (^) ( ) 2
; (^) x lím →− 2 f (^) ( x ) ; lím x → 2 f (^) ( x )
x x
x lím → 2 d. f (^) ( x (^) ) = x − (^) a x b ; f ( x ) x → 0 − lím , (^) x lím→ 0 + f (^) ( x )
e. (^) ( )
a b ( ) ( )
μ x x
; (^) x lím →− 1 f (^) ( x ) 5 ( ) 2
x
→−
1.3 TEOREMAS SOBRE LÍMITES
1.3.1 TEOREMA PRINCIPAL SOBRE LÍMITE
Sean f y g funciones con límite en x 0 ; es decir, suponga que 0
lím ( ) x x
f x L →
= y
0
lím ( ) x x
g x M →
=. Entonces:
0
lím x x k k → = ,^ ∀ k^^ ∈ R
0 0
lím x x x x → =
0 0
lím ( ) lím ( ) x x x x kf x k f x kL → → = = , ∀ k ∈ R
lím ( ) ( ) lím ( ) lím ( ) x x x x x x f x g x f x g x L M → → →
lím ( ) ( ) lím ( ) lím ( ) x x x x x x f x g x f x g x L M → → → − = − = −
lím ( ) ( ) lím ( ) lím ( ) x x x x x x f x g x f x g x LM → → → = =
( ) lím^ ( ) lím ( ) lím ( )
x x x x x x
f x f^ x L g x g x M
→ → →
⎡ ⎤ ⎢ ⎥=^ = ⎣ ⎦
lím ( ) lím ( )
n n n x x x x f x f x L → → = ⎡^ ⎤ = ⎢⎣ ⎥⎦ , ∀ n ∈ N
0 0
lím n^ ( ) (^) n lím ( ) n x x x x f x f x L → → = =
1. (^) ( (^) x lím → x 0 k = k (^) )≡ ∀ ε > 0, ∃∂ > 0 / 0< x − x 0 < ∂ ⇒ k − k < ε El consecuente de la implicación es verdadero porque 0 < ε. Por tanto, la proposición es siempre verdadera. 2. (^) ( (^) x lím → x 0 x = x 0 (^) )≡ ∀ ε > 0, ∃∂ > 0 / 0< x − x 0 (^) < ∂ ⇒ x − x 0 < ε Si∂ = ε la proposición es verdadera siempre.
