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MATEMÁTICAS I - SEMANA 6

Logro D Docentes: Xyoby Chávez Pacheco Sergio Quispe Rodríguez Cristina Navarro Flores Naudy López Rodríguez Patricia Reynoso Quispe Cordelia Khouri de Arciniegas

Logro D

4

Aproximar funciones usando los diferenciales. df=f'(x)dx y

aplicar las reglas de la derivación para calcular derivada

de funciones compuestas e implicitas usando la notación

de Leibniz.

MATEMÁTICAS I

ALGUNAS NOTACIONES COMUNES DE LA DERIVADA

DE UNA FUNCIÓN

El símbolo 𝐷 𝑦 𝑑/𝑑𝑥 se llaman operadores de la derivación

El símbolo 𝑑𝑦/𝑑𝑥 es la notación de Leibniz, que es lo mismo que

′

MATEMÁTICAS I Definición:

Una función 𝑓 es derivable en 𝑥 = 𝑎 si 𝑓

′

Es derivable en un intervalo si es derivable en cada punto del

intervalo.

MATEMÁTICAS I Derivadas de funciones polinomiales y exponenciales Derivada de una función constante: 𝑑 𝑑𝑥

Regla de la potencia: 𝑑 𝑑𝑥

𝑛 = 𝑛𝑥 𝑛− 1 En particular 𝑑 𝑑𝑥

Regla del múltiplo constante: 𝑑 𝑑𝑥

𝑑 𝑑𝑥

MATEMÁTICA I Derivada de la función logaritmo: 𝑑 𝑑𝑥

𝑑 𝑑𝑥 𝑓(𝑥) 𝑓(𝑥) Derivada de las funciones trigonométricas: 𝑑 𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑥) = cos 𝑥 ;

cos(𝑥) = −𝑠𝑒𝑛 𝑥 ;

tan 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐 2 (𝑥) en particular 𝑑 𝑑𝑥 Ln(𝑥) = 1 𝑥 𝑑 𝑑𝑥

2 𝑥 ;

sec(𝑥) = 𝑠𝑒𝑐 𝑥 tan 𝑥 ; 𝑑 𝑑𝑥 cs𝑐 𝑥 = − csc 𝑥 cot(𝑥)

MATEMÁTICAS I Derivadas de funciones compuestas y regla de la cadena

Luego su derivada es: 𝐹

′

′

Dada la función compuesta F x = 𝑓𝑜𝑔 𝑥 = 𝑓(𝑔(𝑥)) es derivable si 𝑓 es derivable en 𝑔 𝑥 y 𝑔 es derivable en 𝑥.

Usando diferenciales: 𝑆𝑒𝑎 𝑢 = 𝑔 𝑥 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠

MATEMÁTICAS I Ejercicio 02:

Solución (a)

a) Encuentre 𝐹 ′ 𝑥 𝑠𝑖 𝐹 𝑥 = 𝑥 4 − 3 𝑥 2 − 2 5

Solución (b)

b) Encuentre 𝐹 ′ 𝑥 𝑠𝑖 𝐹 𝑥 = 𝑥𝑒 −𝑘𝑥 Haciendo: 𝑢 = 𝑥 4 − 3 𝑥 2 − 2 Quedando F = 𝑢 5 Entonces por la regla de la cadena 𝑑𝐹 𝑑𝑥

𝑑𝐹 𝑑𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝐹 𝑑𝑥

4 4 𝑥 3 − 6𝑥 Así 𝑑𝐹 𝑑𝑥

4 − 3 𝑥 2 − 2 4 4 𝑥 3 − 6𝑥 Por la derivada del producto: 𝑑𝐹 𝑑𝑥 = 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑒 −𝑘𝑥

• 𝑥 𝑑 𝑒 −𝑘𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝐹 𝑑𝑥 = 1 𝑒 −𝑘𝑥
• 𝑥 −𝑘 𝑒 −𝑘𝑥 𝑑𝐹 𝑑𝑥

−𝑘𝑥 − 𝑘𝑥 𝑒 −𝑘𝑥

MATEMÁTICAS I Ejercicio 03:

Solución (a)

a) Encuentre 𝑦′ 𝑠𝑖 𝑥 3

• 𝑦 3 = 6𝑥𝑦 b) Halle la recta tangente en el punto (3;3) Usando diferenciales : 𝑑 𝑥 3
• 𝑦 3 = 𝑑 6𝑥𝑦 Entonces 𝑑 𝑥 3
• 𝑑 𝑦 3 = 6 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑦 3 𝑥 2 𝑑𝑥 + 3 𝑦 2 𝑑𝑦 = 6 𝑦𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑦 𝑥 2 𝑑𝑥 + 𝑦 2 𝑑𝑦 = 2𝑦𝑑𝑥 + 2𝑥𝑑𝑦 agrupando: 𝑥 2 − 2𝑦 𝑑𝑥 = 2𝑥 − 𝑦 2 𝑑𝑦

′

2 − 2𝑦 2𝑥 − 𝑦 2 Evaluando: 𝑚 = 𝑦 ′ 3 ; 3 = − 1

Solución (b)

Recta L: 𝑦− 3 𝑥− 3

Recta L: 𝑦 = −𝑥 + 6