Cálculo Integral
Aplicaciones de la integración Área entre
curvas.
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Cálculo Integral: Cálculo de Áreas entre Curvas, Ejercicios de Cálculo diferencial y integral
Documento que presenta el cálculo integral de las áreas entre curvas mediante el método de riemann. Se calculan las áreas de seis regiones diferentes, mostrando el proceso de integración y la obtención de las áreas totalmente. El documento incluye gráficas elaboradas con geogebra.
Tipo: Ejercicios
2019/2020
1 / 16
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Cálculo Integral
Aplicaciones de la integración Área entre
curvas.
Grafique la función sobre el intervalo dado, integre la función sobre el intervalo, encuentre el área de la región entre la gráfica y el eje x.
1. 𝒚 = 𝒙𝟐^ − 𝟔𝒙 + 𝟖 , [𝟎, 𝟑]
Gráfica
2. 𝒚 = −𝒙𝟐^ + 𝟓𝒙 − 𝟒 , [𝟎, 𝟐]
Gráfica
Gráfica elaborada con GeoGebra 5.0.265.0-3D
El área está conformada por dos secciones:
𝐴 1 (𝑥) = ∫(−𝑥^2 + 5𝑥 − 4)𝑑𝑥
1
0
𝐴 2 (𝑥) = ∫(−𝑥^2 + 5𝑥 − 4)𝑑𝑥
2
1
El área total estará dada por 𝐴𝑇(𝑥) = −𝐴 1 (𝑥) + 𝐴 2 (𝑥)
𝐴 1 (𝑥) = ∫(−𝑥^2 + 5𝑥 − 4)𝑑𝑥
1
0
= [−
3 +^5
2 − 4𝑥]
0
1
𝐴 1 (𝑥) = [−
(1)^3 +
(1)^2 − 4(1)] − [−
(0)^3 +
(0)^2 − 4(0)] = [−
2 − 4] − [0]
𝐴 2 (𝑥) = ∫(−𝑥^2 + 5𝑥 − 4)𝑑𝑥
2
1
= [−
3 +^5
2 − 4𝑥]
1
2
𝐴 2 (𝑥) = [−
(2)^3 +^5
(2)^2 − 4(2)] − [−^1
(1)^3 +^5
(1)^2 − 4(1)] = [−^8
3 + 10 − 8] − [−
6 ]
= [−
3 ] − [−
6 ] =
𝐴 2 (𝑥) = ∫(2𝑥 − 𝑥^2 )𝑑𝑥
3
2
= [𝑥^2 −
𝑥^3 ]
2
3
𝐴 2 (𝑥) = [(3)^2 −
3 ] − [(2) 2 −^1
3 ] = [9 − 9] − [^4
3 ] = −
4. 𝒚 = 𝒙𝟐^ − 𝟒𝒙 , [𝟎, 𝟓]
Gráfica
Gráfica elaborada con GeoGebra 5.0.265.0-3D
El área está conformada por dos secciones:
𝐴 1 (𝑥) = ∫(𝑥^2 − 4𝑥)𝑑𝑥
4
0
𝐴 2 (𝑥) = ∫(𝑥^2 − 4𝑥)𝑑𝑥
5
4
El área total estará dada por 𝐴𝑇(𝑥) = −𝐴 1 (𝑥) + 𝐴 2 (𝑥)
𝐴 1 (𝑥) = ∫(𝑥^2 − 4𝑥)𝑑𝑥
4
0
= [
3 − 2𝑥 2 ]
0
4
𝐴 1 (𝑥) = [
3 − 2(4) 2 ] − [^1
3 − 2(0) 2 ] = [^64
3 − 32] − [0] = −
𝐴 2 (𝑥) = ∫(𝑥^2 − 4𝑥)𝑑𝑥
5
4
= [
3 − 2𝑥 2 ]
4
5
𝐴 2 (𝑥) = [
(5)^3 − 2(5)^2 ] − [^1
(4)^3 − 2(4)^2 ] = [^125
3 − 50] − [−
3 ] = [−
3 ] − [−
3 ] =
5. 𝒚 = −𝒙𝟐^ − 𝟐𝒙 , −𝟑 ≤ 𝒙 ≤ 𝟐
Gráfica
𝐴 3 (𝑥) = [−
(2)^3 − (2)^2 ] − [−^1
(0)^3 − (0)^2 ] = [−^8
3 − 4] − [0] = −
6. 𝒚 = 𝟑𝒙𝟐^ − 𝟑 , −𝟐 ≤ 𝒙 ≤ 𝟐
Gráfica
Gráfica elaborada con GeoGebra 5.0.265.0-3D
El área está conformada por tres secciones:
𝐴 1 (𝑥) = ∫ (3𝑥^2 − 3)𝑑𝑥
−
−
𝐴 2 (𝑥) = ∫(3𝑥^2 − 3)𝑑𝑥
1
−
𝐴 3 (𝑥) = ∫(3𝑥^2 − 3)𝑑𝑥
2
1 Sin embargo, debido a que la función 𝑦 = 3𝑥^2 − 3 es par, existe simetría con el eje y; además el intervalo −2 ≤ 𝑥 ≤ 2 permite que se calcule el área total como:
𝐴𝑇 (𝑥) = 2𝐴 1 (𝑥) − 𝐴 2 (𝑥)
𝐴 1 (𝑥) = ∫ (3𝑥^2 − 3)𝑑𝑥
−
−
= [𝑥^3 − 3𝑥]−2−
𝐴 1 (𝑥) = [(−1)^3 − 3(−1)] − [(−2)^3 − 3(−2)] = [−1 + 3] − [−8 + 6] = 4
𝐴 2 (𝑥) = ∫(3𝑥^2 − 3)𝑑𝑥
1
−
= [𝑥^3 − 3𝑥]−1^1
𝐴 2 (𝑥) = [(1)^3 − 3(1)] − [(−1)^3 − 3(−1)] = [1 − 3] − [−1 + 3] = −
7. 𝒚 = 𝒙𝟑^ − 𝟑𝒙𝟐^ + 𝟐 , 𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟐
Gráfica
Gráfica elaborada con GeoGebra 5.0.265.0-3D
El área está conformada por dos secciones:
𝐴 1 (𝑥) = ∫(−𝑥^3 − 4𝑥)𝑑𝑥
0
−
𝐴 2 (𝑥) = ∫(−𝑥^3 − 4𝑥)𝑑𝑥
2
0 Sin embargo, claramente se observa que las dos áreas son iguales, por lo tanto el área total estará dada por: 𝐴𝑇(𝑥) = 2𝐴 1 (𝑥)
𝐴 1 (𝑥) = ∫(−𝑥^3 − 4𝑥)𝑑𝑥
0
−
= [−
4 − 2𝑥 2 ]
−
0
𝐴 1 (𝑥) = [−
4 − 2(0) 2 ] − [−^1
4 − 2(−2) 2 ] = [0] − [−4 − 8] = 12
9. 𝒚 = −𝒙𝟏 𝟑⁄^ , −𝟏 ≤ 𝒙 ≤ 𝟖
Gráfica
Gráfica elaborada con GeoGebra 5.0.265.0-3D
El área está conformada por dos secciones:
𝐴 1 (𝑥) = ∫(−𝑥1 3⁄^ )𝑑𝑥
0
−
𝐴 2 (𝑥) = ∫(−𝑥1 3⁄^ )𝑑𝑥
8
0 El área total está dada por:
𝐴𝑇 (𝑥) = 𝐴 1 (𝑥) − 𝐴 2 (𝑥)
𝐴 1 (𝑥) = ∫(−𝑥1 3⁄^ )𝑑𝑥
0
−
= [−
4 3⁄ ]
−
0
𝐴 1 (𝑥) = [−
4 3⁄ ] − [−^3
4 3⁄ ] = [0] − [−^3
4 ] =
𝐴 2 (𝑥) = ∫(−𝑥1 3⁄^ )𝑑𝑥
8
0
= [−
4 3⁄ ]
0
8
𝐴 2 (𝑥) = [−
4 3⁄ ] − [−^3
4 3⁄ ] = [−12] − [0] = −
𝐴 2 (𝑥) = ∫(−𝑥1 3⁄^ − 𝑥)𝑑𝑥
8
0
= [−
4 3⁄^ −^1
2 ]
0
8