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UNIDAD 2
INTEGRAL INDEFINIDA Y MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
2.1. LA INTEGRAL INDEFINIDA Y SUS PROPIEDADES.
DEFINICIÓN: Una función se denomina una ANTIDERIVADA o PRIMITIVA de la función en el intervalo si
En otras palabras, es una función que al ser derivada da por resultado. TEOREMA: Si es una anti-derivada particular de en el intervalo , entonces cada anti- derivada de es igual a
donde es una constante real llamada constante de integración. Usualmente se le llama integral indefinida a la función
Esta última representa a todas las anti-derivadas de. Propiedades y fórmulas.
2. Si es una constante real entonces
4. , siempre que
6. A. Si , entonces
B. Para cualquier valor positivo y distinto de 1 de se tiene
EJEMPLOS: Calcule las siguientes integrales indefinidas utilizando las propiedades y fórmulas presentados anteriormente.
Primero convertimos y en una potencia. Para ello debemos recordar que y que Utilizando las fórmulas anteriores se que y. Así
Por lo tanto
EJERCICIOS: Calcule las siguientes integrales indefinidas utilizando las propiedades y fórmulas presentados anteriormente.
2.2 CAMBIO DE VARIABLE (MÉTODO DE SUSTITUCIÓN)
SOLUCIÓN:
Sea. Entonces.
SOLUCIÓN:
Hacemos Derivando. Sustituyendo:
SOLUCIÓN:
Sea entoncesy de aquí. Derivando. Sustituyendo e integrando
EJERCICIOS: Calcule las siguientes integrales aplicando la fórmula cambio de variable.
3. INTEGRACIÓN POR PARTES
Se utiliza la fórmula
Esta fórmula permite calcular la integral de un producto de dos funciones seleccionamos de manera que se simplifique al derivar y que sea fácilmente integral. En caso de reiterar el método, elegimos los mismos tipos de funciones en cada paso. EJEMPLOS: Calcule las integrales indefinidas. Utilice la fórmula de integración por partes.
2.4. INTEGRACIÓN POR IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS.
Se usa para resolver integrales que involucran potencias de Seno y Coseno: y. Las identidades trigonométricas más usadas son:
Para resolverlas consideraremos dos casos:
a. Si es impar, es decir , factorizamos el integrando como por ejemplo:
Utilizamos la identidad y tomamos el cambio de variable como
b. Si es par, es decir , factorizamos el integrando como por ejemplo:
, o, en el caso de coseno. Entonces utilizamos identidades trigonométricas para resolverlos;
Para integrandos de productos de potencias tangentes y secantes de la forma tenemos:
a. Si es par utilizamos y
b. Si es impar utilizamos
c. Si es impar y par se emplea integración por partes
EJEMPLOS: Calcule las siguientes integrales.
Ahora hacemos y. Entonces
Ahora hacemos y. Sustituyendo:
= EJERCICIOS: Calcule las siguientes integrales trigonométricas.
2.5. INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA.
Utilice la sustitución que se indica en el caso correspondiente.
Si aparece Hacer
EJEMPLO: Utilice una sustitución de las anteriores para calcular. SOLUCIÓN: Hacemos y derivando tenemos. Sustituyendo tenemos:
Como entonces. Así
EJERCICIOS: Calcule las integrales indefinidas.
2.6. INTEGRACIÓN POR FRACCIONES PARCIALES
Utiliza la descomposición de una función racional en fracciones parciales para simplificar el cálculo de la integral de la funció.
SOLUCIÓN:
Utilizando fracciones parciales tenemos que. Integrando tenemos
SOLUCIÓN:
Utilizando fracciones parciales se obtiene que Integrando tenemos
EJERCICIOS: Utilice fracciones parciales para calcular las integrales siguientes.
