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POLIGONACION
OBJETIVO DE LA POLIGONACIÓN
La poligonación es uno de los procedimientos topográficos más comunes, es un levantamiento planimétrico que trata de definir en el plano topográfico la posición relativa de una serie de puntos convenientemente elegidos sobre el terreno, en función de las necesidades del trabajo propuesto. Las poligonales se usan generalmente para establecer puntos de control y puntos de apoyo para el levantamiento de detalles como ser de apoyos topográficos en obras de ingeniería, por ejemplo caminos de cualquier tipo, canales, diques, obras hidráulicas en general, explotaciones mineras, túneles, etc. y también para la elaboración de planos (trabajos de catastro), para el replanteo de proyectos y para el control de ejecución de obras. Una poligonal es una sucesión de líneas quebradas, que se obtiene por la unión de una serie de puntos tomados sobre el plano: 1, 2, ...., n en un orden prefijado, llamados vértices donde el primero y el último son los extremos de la poligonal Los tramos de rectas determinados por dos vértices sucesivos se llaman lados de la poligonal y ellos junto con los ángulos formados por las direcciones que concurren a cada vértice, constituyen los elementos de la poligonal misma. Para determinar la posición de los vértices de una poligonal en un sistema de coordenadas rectangulares plana, es necesario medir el ángulo horizontal en cada uno de los vértices y la distancia horizontal entre vértices consecutivos, esta posición se puede conseguir de dos modos distintos: a) En forma analítica o numérica determinando las coordenadas X, Y en un sistema de referencia ortogonal, el cual puede ser general, cuando la poligonación se puede vincular a puntos de coordenadas conocidas, o un sistema local cualquiera que en forma especial se adopta en función de las particularidades de nuestra poligonal. b) En forma Gráfica volcando en un plano (representación gráfica) por medio de los elementos de dibujo adecuado los datos obtenidos al realizar la experiencia de campaña, previa adopción de una escala apropiada y realizando la compensación gráfica, si corresponde. Los vértices se eligen en posiciones tales que de ellos sea fácil el relevamiento del terreno adyacente y cuando no son objetos existentes (pilares) que puedan definirlos bien, se individualizan mediante estacas de hierro o madera. Para trabajos de poca duración y de no mucha importancia las estacas se colocan directamente con un martillo. Pero cuando determinan puntos de importancia debiendo permanecer un largo periodo de tiempo ellos deben asegurarse empotrándolos con hormigón. Casi siempre las estacas se distinguen con un orden, y a tal fin se trabaja la cabeza de modo tal que en ella pueda escribirse el número correspondiente al vértice. El punto se puede materializar sobre la estaca por medio de un clavo. En trabajos de mayor precisión y especialmente cuando la parte superior no es una figura regular, el punto exacto se individualiza mediante un clavo con cabeza esférica fijada sobre el piquete mismo o si es un piquete de hierro por medio de dos delgados cortes normales empotrándose la estaca con hormigón previamente de haber soldado un trozo de hierro transversalmente. Para la determinación completa de una poligonal en el terreno necesitamos medir sus elementos, esto es: medir los lados medir los ángulos Ambas operaciones requieren que los vértices sean intervisibles, para este fin se utilizan señales: que pueden ser jalones o bastones con prismas reflectores. Supongamos que un jalón individualice el punto P determinado sobre el terreno por una estaca y que deba ser observado desde otro vértice A. Ya que el jalón no se puede, sin sostén alguno, colocarlo sobre el centro de la estaca (clavo) que fija exactamente el punto P, como debería ser, necesitamos clavarlo
verticalmente de modo tal que observándolo desde A resulte centrado respecto a la dirección AP. Eso se consigue clavando el jalón en C o C'. Esta operación debe ser hecha con precisión cuando los lados de las poligonales son relativamente cortos, pues una pequeña excentricidad o inclinación de la señal puede provocar errores angulares notables y nunca despreciables. Se concluye que el jalón debe ser desplazado según la dirección en que se mida el lado poligonal. Si el vértice P debe ser observado contemporáneamente de más estaciones, es necesario fijar el jalón en el centro del punto exacto sirviéndose de sostenes apropiados. Uno de estos sostenes puede ser un trípode de hierro, cuyos pies son inclinados según las generatrices de una pirámide regular y fijados superiormente con un anillo circular dentro del cual se coloca verticalmente el jalón. La verticalidad de la señal se obtiene con una plomada, controlando según dos direcciones con un nivel esférico o bien en casos de menor importancia a ojo de acuerdo a la experiencia del operador retirándose a unos metros del jalón, en dos direcciones perpendiculares También conviene verticalizar en base a las indicaciones de otro operador que con un teodolito lo ha colimado desde el otro vértice con el hilo vertical del retículo. Al bisectar para medir las direcciones angulares, es conveniente hacerlo en la parte inferior más visible del jalón. Es lógico que cuando se pueda bisectar directamente sobre la estaca el punto que marca la vertical del vértice, se hará de esa manera.
TIPOS DE POLIGONALES Las poligonales pueden ser clasificadas en: a. Poligonales cerradas: Cuando el ultimo vértice coincide con el primero, es decir si los extremos son concurrentes, pudiendo realizarse control de cierre angular y lineal, ofreciendo la ventaja de poder verificar en el terreno la bondad de las mediciones angulares comparando las sumas de los ángulos internos o externos medidos, con aquella teórica establecida por dos conocidos teoremas de la geometría plana:
180 º(n 2)
180 º(n-2) ext.
int.
b. Poligonales abiertas o de enlace con control: en las que son conocidas las coordenadas de los puntos inicial y final y la orientación (rumbo) de las alineaciones inicial y final, siendo entonces posible efectuar también los controles de cierre angular y lineal. Se conocen como poligonales doblemente vinculadas y doblemente orientadas. c. Poligonales abiertas en las cuales no es posible establecer el control de cierre angular, ya que se conocen las coordenadas del punto inicial y final pero no las dos orientaciones de las alineaciones, se podrá efectuar el control de cierre lineal.
d. Poligonales abiertas aisladas (no vinculada) cuando no se han referido a puntos de coordenadas conocidas, es decir el sistema de referencia es arbitrario, haciendo imposible establecer los controles de cierre.
MEDICIÓN DE LOS ÁNGULOS La misma se ejecuta con teodolito o con estación total, siguiendo alguno de los métodos conocidos, un número de veces determinado por la precisión que se persigue en el trabajo y la del aparato usado. Se debe prestar gran atención a la bisección de las señales colocadas en los vértices cuando las longitudes de los lados de la poligonal sean pequeñas. Es de especial importancia, para evitar incertidumbre y errores, establecer previamente cual, de los dos ángulos que formen parte de cada vértice se desea medir. Por ejemplo: en las poligonales abiertas se podrá decidir medir en cada vértice el ángulo que el lado
Se calculan los rumbos ( A 1 P) y ( A (^) nQ):
Q n
Q n n P 1
P 1
1 X -X
Y -Y
; (AQ)
X -X
Y -Y
tg (A P) tg
Los rumbos de los distintos lados se obtienen como:
n n n n n
n n n n n n
AQ R AA
A A R A A
AA R AA
AA R AP
1
1 1 1 2 1
2 3 2 2 1 2
1 2 1 1 1
Recordando la relación entre rumbos recíprocos se puede poner:
An Q Rn n
R AA R
R AA R
R AP
1
3 2 3 3 2 3
2 1 2 2 1 2
1 1 1
Sumando m. a m.
1
AQ AP n
n
i
n^ i
1
AQ AP n
n
i
n^ ^ i (2)
Ecuación de condición angular donde los rumbos (A 1 P) ,(AnQ)son valores conocidos e invariables y
son los ángulos medidos. Debido a los inevitables errores accidentales al realizar las mediciones angulares, la ecuación (2) no es satisfecha dando como resultado:
^ ^ ^ ^
1
AnQ AP n
n
i
Donde es un residuo positivo o negativo al que se le da el nombre de error de cierre angular de la
poligonal (diferencia entre el valor medido y el valor teórico) Se establece un límite al error de cierre angular, dicho límite se llama TOLERANCIA, se debe verificar que el error angular sea menor que ésta. Estos valores dependerán de varios factores. Generalmente cada Instituto ó Repartición tiene sus fórmulas para determinarlas de acuerdo a los fines que persiguen, el terreno, la longitud de los lados, el instrumental usado, precisiones requeridas, etc. A modo ilustrativo a continuación se dan valores que podrían utilizarse: Para la medición de los ángulos internos de una poligonal: llamando n al nº de vértices:
Poligonales cuyos lados tengan una longitud media mayor a 700 mts. T 30" n Cuando los lados tengan una longitud media comprendida entre los 200 y 700 mts. T 60" n Para lados cuya longitud media sea inferior a 200 mts. T 90" n
Cabe aclarar que la tolerancia es mayor cuando los lados son más cortos debido a que los errores de bisección influyen más en este caso. Si el error angular es mayor que la tolerancia permitida, se debe proceder a medir de nuevo los ángulos de la poligonal. Si el error angular es menor que la tolerancia permitida, se procede a la corrección de los ángulos,
repartiendo el residuo por igual entre todos los ángulos, asumiendo que el error es independiente de la
magnitud del ángulo medido.
n
Corrección angular -^
Compensar angularmente una poligonal significa repartir el error o residuo angular, de tal forma que se cumpla la condición (2).
Para corregir los ángulos medidos se suele dividir en n partes iguales (tantas como sean los
ángulos) y después a cada ángulo se resta
n
con su propio signo.
Es decir:
n
* ( *= ángulo compensado)
Una vez calculados los ángulos se calculan los rumbos R 1 * ,R* 2 ,R* 3 ,..........,R*nde los sucesivos lados,
por ej. R i R i 1 180 º*i
Inmediatamente se consideran las siguientes relaciones que dan las coordenadas de los sucesivos vértices:
1 1 *^1 n 1 1 *^1
3 2 2 *^2321 *^2
2 1 1 *^1211 *^1
cos Y
cos Y
cos Y
Xn Xn ln Rn Yn ln senR n
X X l R Y lsenR
X X l R Y lsenR
Sumando m. a m. las igualdades de cada uno de los grupos se obtiene:
n 1
1
Y.
.cos
Y l senR
X n X l R
de donde:
. -(Y ) 0
.cos ( ) 0
n 1
1
l senR Y
l R Xn X
Estas dos nuevas condiciones entre los elementos fijos X 1 ,Y 1 ; Xn ,Yn ya conocidos y los
l cosR*^ ;lsenR^ * no son satisfechas cuando se sustituyan los valores de los lados medidos en el
terreno. Se tendrá entonces:
Y
n X
lsenR Y
l R X X
. -(Y )
.cos -( )
n 1
1
(5)
Estos residuos representan las proyecciones sobre el eje X y sobre el eje Y respectivamente, de la
distancia entre el verdadero extremo A n y aquel obtenido partiendo de A 1 y utilizando (3). Por eso la
expresión: ^2 X ^2 Y se denomina error de cierre lineal de la poligonación.
La compensación se puede realizar si < tolerancia establecida en función del tipo de terreno, el instrumento y el objetivo del trabajo.
n
n
e
i
A 1 (X 1 , Y 1 )
O
l 2 A 2
l (^1)
l 3
A 3
X
An (Xn , Yn)
n-
A (^4) An-
ln-
Y
(^) n
POLIGONAL DOBLEMENTE VINCULADA Y SIMPLEMENTE ORIENTADA Cuando desde A 1 se ha observado un punto conocido P, pero desde A (^) nno se ha observado algún punto
conocido, entonces falta la condición angular (2). En tal caso se calculan directamente las coordenadas con los rumbos provenientes de los medidos y luego se opera como se ha visto en el caso general. En este caso sigue existiendo la ecuación de cierre lineal, por lo tanto es posible calcular, pero si este valor es mayor que la tolerancia establecida, no es posible saber si el error se cometió al medir lados ó ángulos, habrá que medir nuevamente todos los elementos. Resumiendo: No hay ecuación de cierre angular, hay control y compensación lineal.
A 4
O
A 1
(X 1 , Y 1 )
A 2
l 1 l 2 A 3
l 3
(A 1 P)
X
P(XP , YP)
An (Xn , Yn)
An-1 (^) ln-
Y
n-
POLIGONAL DOBLEMENTE VINCULADA Y NO ORIENTADA:
Cuando desde A 1 y A (^) nno se han observado puntos fijos, no es posible calcular directamente los rumbos
de los sucesivos lados ya que falta la orientación del primer lado respecto a una dirección de referencia conocida. Para la determinación de las coordenadas de los vértices se hará lo siguiente: Se asigna un valor arbitrario al rumbo del primer lado, se calculan los rumbos de los lados sucesivos:
R ' 2 , R ' 3 ,........., R 'n 1 y a continuación se obtienen las coordenadas X' 2 Y 2 ', X' 3 Y 3 ',........, X'n Yn' de las
posiciones provisorias A ' 2 , A ' 3 ,........., A 'nde los vértices.
Luego con: 1
' n
1
' 1 'n n n 1
1 n n^1
X -X
; (AA ) Y -Y
X -X
tg (A A ) Y -Y tg
se calculan los rumbos (A 1 A n) y(A 1 A'n), obteniendo
(A 1 An)-(A 1 A'n)
Si se rota la figura provisoria alrededor de A 1 hasta hacer coincidir (A 1 A 'n)con (A 1 A n), todos los
puntos de esa figura girarán alrededor de A 1 el ángulo, entonces los verdaderos rumbos de los lados de la poligonal serán:
' 1
' 2 2
' 1 1
Rn R n
R R
R R
Con estos valores se procede a calcular las coordenadas utilizando el método ya conocido. Si se ha cometido algún error (ya sea en la medida de lados ó ángulos) es imposible saberlo al no existir ningún tipo de control, por lo tanto será necesario extremar las precauciones al realizar las medidas de los elementos poligonales. En cuanto a la compensación, se reduce a la lineal ya vista.
POLIGONAL SIMPLEMENTE VINCULADA
Cuando desde A 1 (de coordenadas conocidas) no se ha observado algún punto conocido y de A n se
desconocen sus coordenadas existirán infinitas posiciones posibles de los vértices de acuerdo a los valores arbitrarios que se le asigne al rumbo de partida R 1 , quedando indeterminada la orientación de la poligonal. Por lo tanto no hay controles ni compensación.
POLIGONAL AISLADA (NO VINCULADA Y NO ORIENTADA) Si la poligonal no está vinculada (no se referencia a puntos de coordenadas conocidas), para el cálculo se asume un sistema arbitrario de ejes rectangulares.
POLIGONAL CERRADA
Cuando la poligonal es cerrada ( A ncoincide con A 1 ) siempre se tiene la condición de cierre angular:
i 180 º ( n 2 ) ó e 180 º ( n 2 )
La corrección de los ángulos se efectúa repartiendo el residuo < tolerancia en partes iguales entre
ellos y de modo que la condición misma venga satisfecha. También se tienen las condiciones de cierre lineal, pero siendo Xn X 1 y YnY 1 se transforman en:
An (Xn,Yn)
A' 3
A 1 (X 1 ,Y 1 )
R(A 1 An)
R' 1
A' 2
A' 1
A'n (X'n,Y'n)
- Marcación: en caso de que los vértices no coincidan con marcas existentes, se deberán colocar en el terreno, estacas, bulones de hierro, mojones, etc.,
- Señalización: según la “topografía” del terreno, la distancia entre vértices, la precisión del trabajo, etc., serán los elementos a usar para la señalización: fichas, jalones con trípodes, etc.
- Medición de los elementos de la Poligonal: ángulos y longitud de lados. Es recomendable organizar en planillas secuenciadas para anotar los resultados de las experiencias de patio o de campo. En estas planillas se anota en campaña los resultados, con lápiz en forma clara y concisa, es preferible borrar ó tachar antes que enmendar los números que provocan confusiones y errores.
- Reducciones de los datos: en las planillas ya elaboradas se calculan los ángulos y distancias (cuando se deban reducir al horizonte). En caso de una poligonal cerrada se controla en el campo la condición de cierre angular, para comprobar si cumplen las tolerancias angulares impuestas.
- Compensación y cálculo de la poligonal: La obtención de las coordenadas de los vértices de la poligonal ya ha sido explicado con detalle en este apunte.
- Representación y compensación gráfica
CRITERIOS PARA LOCALIZAR UN ERROR GROSERO COMETIDO EN LA MEDICIÓN DE UN LADO O DE UN ÁNGULO. Puede ocurrir que en la determinación de los elementos de una poligonal se haya cometido un error en la medida de un lado ó un ángulo. Este hecho se manifiesta por un valor; del respectivo error de cierre; mayor que las tolerancias establecidas. Es útil mencionar dos criterios que pueden ayudar en la búsqueda del elemento errado, antes de estar obligado a repetir la medición de toda la poligonal. Supongamos que partiendo del punto inicial A 1 de coordenadas x 1 , y 1 se hayan calculado las
coordenadas de todos los sucesivos vértices, hasta el último A´ (^) n , y que las coordenadas de éste en vez de
resultar casi coincidentes con las ya conocidas x (^) n , y (^) n sean x’ (^) n y’ (^) n muy diferentes de las verdaderas.
Es evidente que se ha cometido un error y para descubrirlo siempre y cuando sea en un lado ó en un ángulo se puede proceder así:
ERROR GROSERO EN LA MEDIDA DE UN LADO:
Llamando A 'n, el último punto obtenido mediante cálculo, se puede obtener el rumbo (A (^) n A 'n) con la
conocida fórmula: tg (A (^) n A 'n) = n n
n n
x x
y y
'
'
Analizando el valor de los rumbos de los sucesivos lados, se encuentra uno, por ejemplo: R (^) i que
coincide sensiblemente con (A (^) n A 'n), es muy probable que el error cometido en la medida del lado
A r- A r+
A' r+
A n
A' n
A r
A r 1 A r, al cual le corresponde aquel rumbo (ya que resulta el error de cierre paralelo a dicho lado),
podría anularse variando convenientemente la longitud del lado mismo. Por consiguiente es oportuno verificar inmediatamente la distancia A (^) r 1 A (^) rrealizando una nueva medición.
ERROR GROSERO EN LA MEDIDA DE UN ÁNGULO: Para poner en evidencia un eventual error grosero en un ángulo se hace el cálculo de las coordenadas de
los sucesivos vértices, partiendo de A i , y se encuentra A 'n, muy diferente de A n, se vuelve a calcular
las coordenadas de los vértices en el sentido inverso partiendo de las coordenadas conocidas de A (^) n, es
decir, desde A (^) nhacia A (^) i y con el valor de un Rumbo conocido (A (^) n 1 A (^) n). Si el error se ha cometido en
el ángulo del vértice A (^) rocurrirá que las coordenadas de todos los puntos A (^) n hasta Ar (^) 1 resultarán
notablemente diferentes de aquellas calculadas partiendo desde A (^) i , pero de A (^) r a A (^) i las coordenadas del
segundo cálculo coincidirán dentro de los límites de tolerancia, con aquellas del primer cálculo.
Es decir, que si con cálculo inverso, se llega a un vértice, las coordenadas del cual coinciden con aquellas calculadas desde A (^) i , será oportuno verificar inmediatamente el ángulo en aquel vértice.
DIBUJO DE LAS POLIGONALES: REPRESENTACIÓN GRÁFICA POR EL MÉTODO DE LAS CUADRÍCULAS Medidos los elementos de una poligonal, la misma podría dibujarse en una escala adecuada, utilizando círculo graduado y escalímetro. Sin embargo el método de representar una poligonal gráficamente por medio de las longitudes de los lados y las medidas de los ángulos no es el mejor, ya sea que se usen los elementos provenientes directamente de las medidas, o que se adopten los valores provenientes de la compensación. En el primer caso, los errores cometidos al dibujar la poligonal se suman con aquellos relativos a las medidas de los elementos de dicha poligonal, de modo tal que si existe divergencia final no se sabría distinguir la parte debida a los primeros o a los segundos. En el segundo caso debido a la inexactitud del gráfico, se verificará un nuevo error final, por ello necesitaremos proceder a una segunda repartición de este error. El mejor método para dibujar una poligonal haciendo lo más independiente posible los errores del gráfico, es aquel de calcular numéricamente las coordenadas de los vértices, en base a una compensación, si es permitida, y fijar luego los puntos sobre la hoja guiándose por las coordenadas mismas, en base a la construcción del RETICULADO. Para construir una cuadrícula se trazan líneas paralelas a los ejes x e y, separadas generalmente unos 4cm que según la escala elegida tendrán los valores que correspondan, en el terreno. A cada línea se le da un valor adecuado según las coordenadas encontradas de cada vértice. Con tal procedimiento se evita el inconveniente de la acumulación de los errores gráficos, como ocurre cuando la poligonal viene descripta por lados y ángulos, a medida que nos alejamos del punto de partida, determinándose cada vértice, en el dibujo independientemente uno de otro y con la misma precisión.
CÁLCULO DE LA SUPERFICIE DE UNA POLIGONAL Recordando la formula empleada en el cálculo de la superficie de un trapecio:
h
a b
S
donde a y b son las medidas de los lados paralelos del trapecio y h su altura. Sea el polígono 1-2-3-4-5 del cual se conocen las coordenadas de sus vértices, referidas a un sistema cartesiano ortogonal X, Y. La superficie se puede obtener por sumas y restas de sup. de trapecios: S = Sup. polígono (12345) = Sup. (A12B) + Sup. (B23E) – Sup. (A15C) – Sup. (C54D) – Sup. (D43E)
EJEMPLO DE CÁLCULO Y COMPENSACIÓN DE UNA POLIGONAL CERRADA
Supongamos haber medido una poligonal semi-urbana ABCD, los lados y ángulos medidos en campaña son los siguientes: LADOS (mts.) ÁNGULOS AB = 324.99 A = 80º 15’ 00” BC = 301.77 B = 83º 32’ 20” CD = 245.86 C = 90º 05’ 30” DA = 276.67 D = 106º 05’ 30” = 1149.29 = 359º 58’ 20”
Se comprobará primeramente que el error de cierre angular es menor que la tolerancia establecida:
T
T n
60 " 60 " 4 120 " ; (n-2)180º (4-2)180º 360º
Por lo tanto es posible compensar, para ello se efectúa el cociente:
angular
Corrección
Luego, el valor compensado de los ángulos será: Angulo compensado = Angulo observado – Corrección angular Como control: Sumatoria de ángulos compensados = 360º Fijamos un sistema arbitrario de coordenadas dándole rumbo a un lado y coordenadas a un vértice: x (^) A = 1000 ; y (^) A = 1000 ; (AB) = 0º00’00” A continuación se calculan los rumbos de los lados de la poligonal y luego los x ,y, para poder
obtener las coordenadas. Se comprueba el error de cierre lineal cometido, esto es:
( x )^2 ( y )^2
Establecemos como tolerancia por ej.: T = 0.00015 L + 0.06 mts. , si el error de cierre lineal es menor que T, se podrá compensar, entonces T 0.23 mts.
L
c y
L
c x
x y
; ^
Se calculan las coordenadas (con los x ,y corregidos), con éstas se determinan los lados y ángulos
interiores definitivos (compensados) y por último se calcula la superficie del polígono. Con el objeto de agilizar y ordenar el cálculo y compensación, se recomienda el uso de las siguientes planillas:
D
B
C
A
14
POLÍGONO COMPENSADO
Angulos
Angulos
medidos
compensados
A
A
0'^
B^
B
C^
C
D^
D
A
A
^
Lados
Vértices
Rumbos
x=L cos R
Y^
Vértice
y=L sen R
x compens.
y compens.
X
A
B
C
D
A
L=
=^
2S =
Vértices
x
y
Lados
y(x
+xi
i+
)^
x(y
+yi
i+
S =
Rumbos
Angulos
xi
+x
i+
y+yi^
i+
