¡Descarga capitulo 7 al 8 de calculo y más Ejercicios en PDF de Cálculo solo en Docsity!
1. La ecuación diferencial
donde k y d son constantes positivas, se denomina como la ecuación del día final. a ) Resolver la ecuación del día final
dado que y (0) 1. Encontrar el tiempo T en el cual
b ) Resolver la ecuación del día final
dado que y (0) y 0. Explicar por qué esta ecuación se denomina ecuación del día final.
2. Un termómetro se lleva desde una habitación a 72° F hacia el exterior, donde la temperatura es 20° F. La lectura cae a 48° F después de 1 minuto. Determinar la lectura del termómetro des- pués de 5 minutos. 3. Considerar que S representa las ventas de un nuevo producto (en miles de unidades), L es el nivel máximo de ventas (en miles de unidades) y t el tiempo (en meses). La razón de cambio de S con respecto a t varía al mismo tiempo que el producto S y L S. a ) Escribir la ecuación diferencial para el modelo de ventas si L 100, S 10 cuando t 0 y S 20 cuando t 1. Verificar que
b ) ¿En qué tiempo se incrementa más rápidamente el creci- miento en ventas? c ) Usar una herramienta de graficación para representar la función de ventas. d ) Representar gráficamente la solución del inciso a ) sobre el campo de pendiente mostrado en la figura de abajo.
e ) Si el nivel máximo de ventas estimado es correcto, usar el campo de pendientes para describir la forma de las curvas solución para ventas si, en algún periodo, las ventas exceden a L.
dy dt
ky^1 d
4. Otro modelo que se puede usar para representar el crecimiento de la población es la ecuación de Gompertz , la cual es la so- lución de la ecuación diferencial
donde k es una constante y L es la capacidad límite o de soporte. a ) Resolver la ecuación diferencial. b ) Utilizar una herramienta de graficación para presentar el campo de pendientes para la ecuación diferencial cuando k 0.05 y L 1 000. c ) Describir el comportamiento de la gráfica cuando t md. d ) Trazar la gráfica de la ecuación diferencial que se encontró en el apartado a ) para L 5 000, y 0 500 y k 0.02. De- terminar la concavidad de la gráfica y cómo se compara con la solución general de la ecuación diferencial logística.
5. Demostrar que la ecuación logística y L 1 be kt^ se puede escribir como
¿Qué se puede concluir acerca de la gráfica de la ecuación logística?
6. Aunque es verdad para algunas funciones f y g , un error común en el cálculo es creer que la regla del producto en derivadas es ( fg ) f g . a ) Dado g ( x ) x , encontrar f tal que ( fg ) f g . b ) Dada una función arbitraria g , encontrar una función f tal que ( fg ) f g . c ) Describir qué pasa si g ( x ) ex. 7. La ley de Torricelli establece que el agua fluirá desde una abertura en la parte inferior del tanque con la misma velocidad que alcanzaría al caer desde la superficie del agua a la abertura. Una de las formas de la ecuación de Torricelli es
donde h es la altura del agua en el tanque, k es el área de la abertura de la parte inferior del tanque, A ( h ) es el área de la sección transversal a la altura h , y g es la aceleración debida a la gravedad ( g 32 pies/s^2 ). Un tanque de agua hemisférico tiene un radio de 6 pies. Cuando el tanque está lleno, una válvula circular con un radio de 1 pulgada se abre en la parte inferior, como se muestra en la figura. ¿Cuánto tiempo es necesario para que el tanque se vacíe completamente?
dy dt ^ y
S
L
1 Ce kt^
lím t m T ^
y S t D @.
dy dt ^ ky
1 d
6 pies
h
6 − h t 1 2 3 4
140 120 100 80 60 40 20
S
dy dt ^ k^ ln
L
y y
A S h D
dh dt
k 2 gh
y 1 2
L 1 tanh^1 2
k t ln^ b k
Solución de problemas 445
SP Solución de problemas
446 CAPÍTULO 6 Ecuaciones diferenciales
8. El tanque cilíndrico de agua mostrado en la figura tiene una altura de 18 pies. Cuando el tanque está lleno, una válvula circular se abre en la parte inferior del tanque. Después de 30 minutos, la profundidad del agua es de 12 pies.
a ) ¿Cuánto tiempo es necesario para que el tanque se vacíe completamente? b ) ¿Cuál es la profundidad del agua en el tanque después de 1 hora?
9. Suponer que el tanque del ejercicio 8 tiene una altura de 20 pies, un radio de 8 pies, y la válvula circular tiene un radio de 2 pulgadas. El tanque está completamente lleno cuando la válvula está abierta. ¿Cuánto tiempo es necesario para que el tanque se vacíe completamente? 10. En áreas montañosas, la recepción de la radio puede ser débil. Considerar una situación donde una emisora de FM se localiza en el punto (–1, 1) detrás de un monte representado por la gráfica de
y x x^2
y el receptor de radio está en el lado opuesto del monte. (Su- poner que el eje x representa el nivel de referencia en la base del monte.) a ) ¿Cuál es la posición más cercana de la radio ( x , 0) respecto al monte para que no haya interferencias? b ) Escribir la posición de la radio más cercana ( x , 0) con x representada como una función de h si la emisora se localiza a (1, h ). c ) Usar una herramienta de graficación para x en el inciso b ). Determinar la asíntota vertical de la función e interpretar el resultado.
11. La biomasa es una medida de la cantidad de la materia viviente en un ecosistema. Suponer que la biomasa s ( t ) en un ecosistema dado se incrementa a una tasa aproximada de 3.5 toneladas por año, y decrece, aproximadamente, 1.9% por año. La situación se puede calcular mediante la ecuación diferencial
a ) Resolver la ecuación diferencial. b ) Usar una herramienta de graficación para presentar el campo de pendientes de la ecuación diferencial. ¿Qué se observa? c ) Explicar qué sucede cuando t m@.
En los ejercicios 12 a 14, un investigador médico quiere determinar la concentración C (en moles por litro) de un medicamento marca- dor inyectado en un fluido en movimiento. Resolver este problema al considerar un modelo de dilución de un compartimento simple (ver la figura). Suponer que el fluido está siendo mezclado y que el volumen de éste en el compartimento es constante.
12. Si el marcador es inyectado instantáneamente en el tiempo t 0, entonces la concentración del fluido en el compartimento se empieza a diluir según la ecuación diferencial
a ) Resolver la ecuación diferencial para encontrar la concen- tración C como función de t. b ) Encontrar el límite de C cuando t m@.
13. Usar la solución de la ecuación diferencial en el ejercicio 12 para encontrar la concentración C como función del tiempo t y usar una herramienta de graficación para presentar la función. a ) V 2 litros, R 0.5 litros por minuto y C 0 0.6 moles por litro. b ) V 2 litros, R 1.5 litros por minuto y C 0 0.6 moles por litro. 14. En los ejercicios 12 y 13, se supuso que había una inyección simple inicial del medicamento marcador dentro del compar- timento. Ahora considerar el caso en el cual el marcador es continuamente inyectado (iniciando en t 0) a una tasa de Q moles por minuto. Si considera Q despreciable comparada con R , usar la ecuación diferencial
a ) Resolver esta ecuación diferencial para encontrar la con- centración C como función del tiempo t. b ) Encontrar el límite de C cuando t m@.
ds dt
3.5 0.019 s.
Figura para 12 a 14
C C 0 cuando t 0.
dC dt ^
R
V C ,
C 0 cuando t 0.
dC dt
Q
V
(^)
R
V
C ,
h
r
18 pies
Flujo R (puro)
Flujo R (concentración C )
Marcador inyectado
Volumen V
448 CAPÍTULO 7 Aplicaciones de la integral
7.1 Área de una región entre dos curvas
■ Encontrar el área de una región entre dos curvas usando integración.
■ Encontrar el área de una región entre curvas que se intersecan usando integración.
■ Describir la integración como un proceso de acumulación.
Área de una región entre dos curvas
A partir de unas modificaciones se puede extender la aplicación de las integrales definidas
para el área de una región bajo una curva al área de una región entre dos curvas. Considerar
dos funciones f y g que son continuas en el intervalo [ a , b ]. Si, como en la figura 7.1, las
gráficas de f y g están sobre el eje x y la gráfica de g debajo de la gráfica de f , se puede
interpretar geométricamente el área de la región entre las gráficas como el área de la región
bajo la gráfica de g sustraída del área de la región bajo la gráfica f , como se muestra en la
figura 7.2.
Para verificar que el resultado mostrado en la figura 7.2 es razonable, se puede dividir
el intervalo [ a , b ] entre n subintervalos, cada uno de anchura $ x. Entonces, como se muestra
en la figura 7.3, se traza un rectángulo representativo de anchura $ x y altura f ( x i ) g ( x i ),
donde x i es un punto del i -ésimo subintervalo. El área de este rectángulo representativo es
$ Ai Saltura)(anchura) F f S xi D g S xi DG $ x.
Por adición de las áreas de los n rectángulos y tomando el límite cuando UU$UU m 0 ( n m (^) @),
se obtiene
lím
n m@ O
n
i 1
F f S xi D g S xi DG $ x.
Porque f y g son continuas en [ a , b ], f g también es continua en [ a , b ] y el límite existe.
Así que, el área de la región dada es
(^) %
b
a
F f S x D g S x DG dx.
Área lím
n m@ O
n
i 1
F f S xi D g S xi DG $ x
x
g
f
Región entre dos curvas
x a x b
y
Figura 7.
x a b
f
g
y
x a b
f
g
y
x a b
f
g
y
Área de la región Área de la región Área de la región
entre f y g bajo f bajo g
%
b
a
F f S x D g S x DG dx
%
b
a
f S x D dx
%
b
a
g S x D dx
Figura 7.
x a xi b
f
g
y
f ( xi )
g ( xi )
Altura: f ( xi ) g ( xi ) Anchura: $ x $ x
Rectángulo representativo
Figura 7.
448 CAPÍTULO 7 Aplicaciones de la integral
SECCIÓN 7.1 Área de una región entre dos curvas 449
ÁREA DE UNA REGIÓN ENTRE DOS CURVAS
Si f y g son continuas en [ a , b ] y g ( x ) b f ( x ) para todo x en [ a , b ], entonces el área de
la región acotada por las gráficas de f y g y las rectas verticales x a y x b es
A (^) %
b
a
F f S x D g S x DG dx.
En la figura 7.1, las gráficas de f y g se muestran sobre el eje x. Esto, sin embargo, no
es necesario. El mismo integrando [ f ( x ) g ( x )] puede usarse con tal de que f y g sean con-
tinuas y g ( x ) f ( x ) para todo x en el intervalo [ a , b ]. Este resultado se resume en la figura
7.4. Observar en la figura 7.4 que la altura de un rectángulo representativo es f ( x ) g ( x )
con respecto de la posición relativa del eje x.
Se usan los rectángulos representativos a lo largo de este capítulo en varias aplicaciones
de la integral. Un rectángulo vertical (de anchura $ x ) implica la integral con respecto a x ,
mientras que un rectángulo horizontal (de anchura $ y ) implica la integral con respecto a y.
EJEMPLO 1 Encontrar el área de una región entre dos curvas
Encontrar el área de la región acotada por las gráficas de y x^2 2, y x , x 0 y
x 1.
Solución Sean g ( x ) x y f ( x ) x^2 2. Entonces g ( x ) b f ( x ) para todo x en [0, 1], como
se muestra en la figura 7.5. Así, el área del rectángulo representativo es
FS x^2 2 D S x DG $ x
$ A F f S x D g S x DG $ x
y el área de la región es
x
f ( x ) g ( x )
( x , g ( x ))
( x , f ( x ))
a b
f
g
y
x
f ( x ) g ( x )
( x , g ( x ))
( x , f ( x ))
a b
f
g
y
Figura 7.
x
3
3
1
1
1
1 2
( x , f ( x ))
( x , g ( x ))
f ( x ) = x^2 + 2
g ( x ) = x
y
Región comprendida por la gráfica de f , la
gráfica de g , x 0 y x 1
Figura 7.5 ^
(^)
x^3
x^2
2 x
1
0
A (^) %
b
a
F f S x D g S x DG dx (^) %
1
0
FS x^2 2 D S x DG dx
SECCIÓN 7.1 Área de una región entre dos curvas 451
Si dos curvas se intersecan en más de dos puntos, entonces para encontrar el área de la
región comprendida entre las curvas, se deben encontrar todos los puntos de intersección
y verificar en cada uno de los intervalos determinados por esos puntos, cuál de las gráficas
está encima de la otra.
EJEMPLO 4 Curvas que se intersecan en más de dos puntos
Encontrar el área de la región comprendida entre las gráficas de f ( x ) 3 x^3 x^2 10 x y
g ( x ) x^2 2 x.
Solución Empezar igualando f ( x ) y g ( x ) y resolviendo para x. Así se obtienen las coorde-
nadas de x en cada punto de intersección de las dos gráficas.
Igualar f ( x ) a g ( x ). Escribir en forma general. Factorizar. Despejar para x.
Así, las dos gráficas se cortan cuando x 2, 0 y 2. En la figura 7.8 se observa que
g ( x ) b f ( x ) en el intervalo [2, 0]. Sin embargo, las dos gráficas cambian en el origen,
y f ( x ) b g ( x ) en el intervalo [0, 2]. Así, se necesitan dos integrales, una para el intervalo
[2, 0] y otra para el intervalo [0, 2].
NOTA En el ejemplo 4 se observa que se obtiene un resultado incorrecto si se integra de 2 a 2. Tal integral produce
%
2
2
F f S x D g S x DG dx (^) %
2
2
S 3 x^3 12 x D dx 0.
Si la gráfica de una función de y es una frontera de una región, es a menudo conveniente
usar rectángulos representativos horizontales y encontrar el área integrando en la variable
y. En general, para determinar el área entre dos curvas, se usan
Rectángulos verticales.
Rectángulos horizontales.
donde ( x 1 , y 1 ) y ( x 2 , y 2 ) son los puntos adyacentes de intersección de las dos curvas implicadas
o puntos sobre las rectas de la frontera especificadas.
x 2, 0, 2
3 x S x 2 DS x 2 D 0
3 x^3 12 x 0
3 x^3 x^2 10 x x^2 2 x
S 12 24 D S 12 24 D 24
(^)
3 x^4
6 x^2
0
2
(^)
3 x^4
6 x^2
2
0
(^) %
0
2
S 3 x^3 12 x D dx (^) %
2
0
S 3 x^3 12 x D dx
A (^) %
0
2
F f S x D g S x DG dx (^) %
2
0
F g S x D f S x DG dx
en la variable x
en la variable y
A (^) %
%
y 2
y 1
FScurva derecha) Scurva izquierdaDG dy
A
x 2
x 1
FScurva de arriba) Scurva de abajoDG dx
x
y
4
6
4
1
6 8 10
1
(0, 0) (2, 0)
( 2, 8) g ( x ) = x^2 + 2 x
f ( x ) = 3 x^3 x^2 10 x
g ( x ) b f ( x ) f ( x ) b g ( x )
Sobre y sobre
F0, 2G, f S x D b g S x D
F 2, 0G, g S x D b f S x D,
Figura 7.
452 CAPÍTULO 7 Aplicaciones de la integral
EJEMPLO 5 Rectángulos representativos horizontales
Encontrar el área de la región acotada por las gráficas de x 3 y^2 y x y 1.
Solución Considerar
g S y D 3 y^2 y^ f^ S y D^ ^ y^ ^ 1.
Estas dos curvas se intersecan cuando y 2 y y 1, como se muestra en la figura 7.9.
Porque f ( y ) b g ( y ) en este intervalo, se tiene
$ A F g S y D f S y DG $ y FS 3 y^2 D S y 1 DG $ y.
Así, el área es
En el ejemplo 5 se observa que integrando con respecto a y se necesita sólo una integral.
Si se integran con respecto a x , se necesitarían dos integrales porque la frontera superior
habría cambiado en x 2, como se muestra en la figura 7.10.
(^)
(^2) (^)
2 (^4)
(^)
y^3
y^2
2 y
1
2
(^) %
1
2
S y^2 y 2 D dy
A (^) %
1
2
FS 3 y^2 D S y 1 DG dy
(^) 2 2
3 ^
(^)
3 ^
2 S 0 D (^2)
3
(^)
x^2
x
S 3 x D^3 Y^2
3 Y 2
2
1
(^2)
S 3 x D^3 Y^2
3 Y 2
3
2
(^) %
2
1
F x 1 S 3 x D^1 Y^2 G dx (^2) %
3
2
S 3 x D^1 Y^2 dx
A (^) %
2
1
FS x 1 D 3 x G dx (^) %
3
2
S 3 x 3 x D dx
x 1
1
2
1
1
2
(2, 1)
( 1, 2)
f ( y ) = y + 1
g ( y ) = 3 y^2
$ y
y
x
y
1
1
2
1
1
(2, 1)
( 1, 2)
y = x 1
$ x
$ x
y = 3 x
y = 3 x
Rectángulos horizontales (integración
con respecto a y )
Figura 7.
Rectángulos verticales (integración con
respecto a x )
Figura 7.
454 CAPÍTULO 7 Aplicaciones de la integral
En los ejercicios 1 a 6, formular la integral definida que da el área de la región.
1. y 1 x^2 6 x 2. y 1 x^2 2 x 1 y 2 0 y 2 2 x 5 3. y 1 x^2 4 x 3 4. y 1 x^2 y 2 x^2 2 x 3 y 2 x^3 5. y 1 3( x^3 – x ) 6. y 1 ( x 1)^3 y 2 0 y 2 x 1
En los ejercicios 7 a 14, el integrando de la integral definida es una diferencia de dos funciones. Dibujar la gráfica de cada función y sombrear la región cuya área está representada por la integral.
Para pensar En los ejercicios 15 y 16, determinar qué valor se aproxima mejor al área de la región acotada por las gráficas de f y g****. (Hacer la selección con base en un dibujo de la región sin haber hecho algún cálculo.)
15.
En los ejercicios 17 y 18, encontrar el área de la región integrando a ) con respecto a x y b ) con respecto a y****. c ) comparar sus resultados. ¿Cuál método es más simple? En general, este método siempre será más sencillo en uno que en otro. ¿Por qué sí o por qué no?
17. x 4 y^2 18. y x^2 x y 2 y 6 x
En los ejercicios 19 a 36, trazar la región acotada por las gráficas de las funciones algebraicas y encontrar el área de la región.
x − 2 − 4 − 6 − 8
2 4 8
y
y
y
1
2
x − 4 − 2 2
2
4
6
8
y
y 1
y 2
x 2
1
− 1 1 4
4
5
3
y y 1 y 2
x
1
1
y
y 1 y 2
x
1
− 1
− 1 1
y
y 1
y 2 x
1
− 1
1 2
y y 1 y 2
x
y
6 4 2 4 6
4 6
4
6
6 4 22 2 4 6
4
6
8
10
x
y
a ) b ) 2 c ) 10 d ) 4 e ) 8
a ) 1 b ) 6 c ) 3 d ) 3 e ) 4
f S x D 2 12 x , g S x D 2 x
f S x D x 1, g S x D S x 1 D^2
7.1 Ejercicios
1
2
2 y y^2 dy
3
3
2 sec x dx
6
0
^4 ^2 x ^3 ^ ^
x 6 ^ dx
4
0
x^ ^1 ^ ^
x 2 ^
dx
4
0
^2 y^ ^ y^ dy
4
4
sec^2 x cos x dx
3
2
x^3 3 ^ x ^ ^
x 3 ^ dx
1
1
2 x^2 x^2 dx
g x
2 x
, y 4, x 0
f x
x
, x 0, y 2, y 10
f y y 16 y^2
, g y 0, y 3
f y y^2 1, g y 0, y 1, y 2
f y y 2 y , g y y
f y y^2 , g y y 2
f x ^3 x 1, g x x 1
f ( x ) x 3, g ( x ) 12 x 3
y 1 x^2 , y 0, x 1, x 5
y x , y 2 x , y 0
f ( x x^2 92 x 1, g x ) 12 x 1
f x x^2 2 x , g x x 2
f x x^2 4 x 1, g x x 1
f x x^2 4 x , g x 0
y ^38 x x 8 , y 10 12 x , x 2, x 8
y 12 x^3 2, y x 1, x 0, x 2
y x^3 3, y x , x 1, x 1
y x^2 1, y x 2, x 0, x 1
SECCIÓN 7.1 Área de una región entre dos curvas 455
En los ejercicios 37 a 46, a ) usar una herramienta de graficación para representar la región comprendida por las gráficas de las ecuaciones, b ) encontrar el área de la región y c ) usar las capa- cidades de integración de una herramienta de graficación para verificar los resultados.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
En los ejercicios 47 a 52, trazar la región acotada por las gráficas de las funciones, y encontrar el área de la región.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
En los ejercicios 53 a 56, a ) usar una herramienta de graficación para trazar la gráfica de la región acotada por las gráficas de las ecuaciones, b ) encontrar el área de la región y c ) usar las funciones de integración de la herramienta de graficación para verificar los resultados.
53.
54.
55.
En los ejercicios 57 a 60, a ) usar una herramienta de graficación para trazar la región acotada por las gráficas de las ecuaciones, b ) explicar por qué el área de la región es difícil de encontrar a mano y c ) usar las funciones de integración de la herramienta de graficación para verificar los resultados con cuatro decimales significativos.
En los ejercicios 61 a 64, encontrar la función de acumulación F****. Entonces evaluar F en cada valor de la variable independiente y gráficamente mostrar el área dada por cada valor de F****.
En los ejercicios 65 a 68, usar la integración para encontrar el área de la figura que tiene los vértices dados.
**65. 66.
68.**
69****. Integración numérica Estimar el área de la superficie del green de golf usando a ) la regla de los trapecios y b ) la regla de Simpson.
70****. Integración numérica Estimar el área de la superficie del derrame de petróleo usando a ) la regla de los trapecios y b ) la regla de Simpson.
En los ejercicios 71 y 72, evaluar la integral e interpretar ésta como el área de la región. Después usar una computadora para graficar la región.
En los ejercicios 73 a 76, formular y evaluar la integral definida que da el área de la región acotada por la gráfica de la función y la recta tangente para la gráfica en el punto dado.
**73. 74.
- 76.**
y x
4 x 4 x
, y 0, x 4
y 1 x^3 , y 12 x 2, x 0
f x 6 x x^2 1 , y 0, 0 ≤ x ≤ 3
f x 1 1 x^2 , g x 12 x^2
f x x^4 4 x^2 , g x x^3 4 x
f x x^4 4 x^2 , g x x^2 4
y x^4 2 x^2 , y 2 x^2
y x^2 4 x 3, y 3 4 x x^2
f x x^3 2 x 1, g x 2 x , x 1
f x x x^2 3 x 3 , g x x^2
f x 3 x , g x 2 x 1
f x xe x^2 , y 0, 0 ≤ x ≤ 1
f x sec
x 4
tan
x 4
, g x 2 4 x 4, x 0
f x cos x , g x 2 cos x , 0 ≤ x ≤ 2
f x sen x , g x cos 2 x ,
2 ≤^ x^ ≤
f x 2 sen x , g x tan x ,
≤ x ≤
g x
4 ln x x
, y 0, x 5
f x
x^2 e
1 x , y 0, 1 ≤ x ≤ 3
f x 2 sen x cos 2 x , y 0, 0 < x ≤
f x 2 sen x sen 2 x , y 0, 0 ≤ x ≤
y x^2 , y 3 x
y x^2 , y 4 cos x
y x ex , y 0, x 0, x 1
y (^)
x^3 4 x
, y 0, x 3
a ) b ) c )
a ) b ) c )
a ) b ) c )
F y (^) a ) F 1 b ) F 0 c ) F 4
y
1
4 e x ^2 dx
F (^) F 1 F 0 F ^12
1
cos
2
d
F x (^) F 0 F 4 F 6
x
0
^12 t^2 2 dt
F x (^) F 0 F 2 F 6
x
0
^12 t 1 dt
2, 3 , 4, 6, 6, 1 0, 0, a , 0, b , c
6 pies
14 pies 14 pies12 pies12 pies15 pies20 pies23 pies25 pies26 pies
13.5 millas
14.2 millas14 millas14.2 millas15 millas 13.5 millas 11 millas 4 millas
y
1 4 x^2 ,^
f x 2 , 1
x^2 1 ,^ 1,
2
f x x^3 , 1, 1 y x^3 2 x , 1, 1
4
0
sin 2 x^ ^ cos 4 x dx^
2
0
sen x 3 2 x dx
SECCIÓN 7.1 Área de una región entre dos curvas 457
c ) Representar el modelo y x. ¿Cómo se compara este modelo con respecto al modelo a )? d ) Usar las capacidades de la integración de una calculadora para aproximar la “desigualdad del ingreso”.
94. Beneficios El departamento de contabilidad de una compañía informa que los beneficios durante el último año fiscal fueron de 15.9 millones de dólares. El departamento predice que los beneficios por crecimiento continuo durante los próximos 5 años generarán una tasa anual continua entre 3 ,N y 5%. Estimar la diferencia acumulativa en los beneficios durante los 5 años basados en el rango predicho de tasas de crecimiento. 95. Área La región sombreada en la figura consiste en todos los puntos cuyas distancias del centro del cuadrado es menor que las distancias a los bordes del cuadrado. Encontrar el área de la región. 96. Diseño mecánico La superficie de una parte de una máquina es la región entre las gráficas de y 1 \ x \ y y 2 0.08 x^2 k (véase la figura). a ) Encontrar k si la parábola es tangente a la gráfica de y 1. b ) Encontrar el área de la superficie de la parte de la máquina. 97. Diseño de construcción Las secciones de concreto (hormigón) para un nuevo edificio tienen las dimensiones (en metros) y la forma mostrada en la figura.
a ) Encontrar el área de la cara adosada en el sistema de la coordenada rectangular. b ) Encontrar el volumen de concreto en una de las secciones multiplicando el área obtenida en el apartado a ) por 2 metros. c ) Un metro cúbico de concreto pesa 5 000 libras. Encontrar el peso de la sección.
98. Diseño de construcción Para disminuir el peso y ayudar en el proceso del endurecimiento, las secciones de concreto en el ejercicio 97 no son a menudo sólidas. Rehacer el ejercicio 97 haciendo orificios cilíndricos como los mostrados en la figura.
Figura para 98
¿Verdadero o falso? En los ejercicios 99 a 102, determinar si la afirmación es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por qué o dar un contraejemplo.
99. Si el área de la región limitada por las gráficas de f y g es 1, entonces el área de la región acotada por las gráficas de h ( x ) f ( x ) C y k ( x ) g ( x ) C también es 1. 100. (^) Si entonces (^) %
b
a
%^ F g S x D^ ^ f^ S x DG
b
a
F f S x D g S x DG dx A , dx A.
101. Si las gráficas de f y g se intersecan a la mitad del camino entre
x a y x b , entonces,%
b
a
F f S x D g S x DG dx 0.
102. La recta (^) y 1 ^3 0.5 x divide la región debajo de la curva f x x 1 x para [0, 1] en dos regiones de igual área. 103. Área Encontrar el área entre la gráfica de y sen x y el seg-
mento de recta que une los puntos (0, 0) y (^) ^7 P 6
2
, como se muestra en la figura.
104. Área Sea a > 0 y b > 0. Mostrar que el área de la elipse x^2 a^2
y^2 b^2
1 es P ab (ver la figura).
105. La recta horizontal y c in- terseca la curva y 2 x 3 x^3 en el primer cuadrante como se muestra en la figura. En- contrar c para que las áreas de las dos regiones sombreadas sean iguales.
Este problema fue preparado por el Committee on the Putnam Prize Competition. © The Mathematical Association of America. Todos los derechos reservados.
x
( 5.5, 0) 2 m
1 y = 3 5 + x (^) (5.5, 0) 1 y = 3 5 x
2
1
(^6 5 4 3 ) (^1 1 2 ) (^4 5 )
y
4 m^8 m
1 1
( 5.5, 0)^ x
2 m
1 y = 3 5 + x (^) (5.5, 0) 1 y = 3 5 x
2
1
(^6 5 4 ) (^2 1 1 ) (^3 4 5 )
y
x
2
2 1
1
1
1
2
2
y
x
y 1
y 2
y
Figura para 95 Figura para 96
1
6
P
6 ^7 P^ ,^1 2
(0, 0)
3
4 P
x
y
1 2
Figura para 103
b a
x + = 1 2 a^2
y^2 b^2
x
y
Figura para 104
x
y y = 2 x 3 x^3
y = c
Preparación del examen Putnam
458 CAPÍTULO 7 Aplicaciones de la integral
7.2 Volumen: el método de los discos
■ Encontrar el volumen de un sólido de revolución usando el método de los discos.
■ Encontrar el volumen de un sólido de revolución usando el método de las arandelas.
■ Encontrar el volumen de un sólido con las secciones transversales conocidas.
Método de los discos
Anteriormente se mencionó que el área es una de las muchas aplicaciones de la integral
definida. Otra aplicación importante es su uso para encontrar el volumen de un sólido tridi-
mensional. En esta sección se estudiará un tipo particular de un sólido tridimensional cuyas
secciones transversales son similares. Por lo común se emplean sólidos de revolución en
ingeniería y manufactura. Algunos ejemplos son ejes, embudos, píldoras, botellas y pistones,
como se muestra en la figura 7.12.
Si una región en el plano gira alrededor de una recta, el sólido resultante es un sólido
de revolución , y la recta se llama eje de revolución. El sólido más simple es un cilindro
circular recto o disco que se forma al girar un rectángulo en torno a uno de sus lados como
se muestra en la figura 7.13. El volumen de tal disco es
Volumen del disco (área de disco)(anchura de disco)
P R^2 w
donde R es el radio del disco y w es la anchura.
Para observar cómo usar el volumen de un disco para encontrar el volumen de un sólido
general de revolución, considerar un sólido de revolución formado al girar la región plana
en la figura 7.14 alrededor del eje indicado. Para determinar el volumen de este sólido,
considerar un rectángulo representativo en la región plana. Cuando este rectángulo gira
alrededor del eje de revolución, genera un disco representativo cuyo volumen es
$ V P R^2 $ x.
Aproximando el volumen del sólido por el de los n discos de anchura $ x y radio R ( xi )
produce
R
Rectángulo
Eje de revolución
w
R
Disco
w
Sólidos de revolución
Figura 7.
P (^) O
n
i 1
F R S xi DG^2 $ x.
(^) O
n
i 1
Volumen del sólido P F R S xi DG^2 $ x
Volumen de un disco: P R^2 w
Figura 7.
458 CAPÍTULO 7 Aplicaciones de la integral
460 CAPÍTULO 7 Aplicaciones de la integral
La aplicación más simple del método de los discos involucra una región plana acotada
por la gráfica de f y el eje x. Si el eje de revolución es el eje x , el radio R ( x ) simplemente
es f ( x ).
EJEMPLO 1 Uso del método de los discos
Encontrar el volumen del sólido formado al girar la región acotada por la gráfica de
f S x D sen x
y el eje x (0 b x b P) alrededor del eje x.
Solución Del rectángulo representativo en la gráfica superior en la figura 7.16, se puede
ver que el radio de este sólido es
sen x.
R S x D f S x D
Así, el volumen del sólido de revolución es
Aplicar el método de los discos.
Simplificar.
Integrar.
EJEMPLO 2 Eje de revolución alrededor de una recta
que no es un eje de coordenadas
Encontrar el volumen del sólido formado al girar la región acotada por
f S x D 2 x^2
y g ( x ) 1 alrededor de la recta y 1, como se muestra en la figura 7.17.
Solución Al igualar f ( x ) y g ( x ), se puede determinar que las dos gráficas se intersecan
cuando x 1. Para encontrar el radio, restar g ( x ) de f ( x ).
1 x^2
S 2 x^2 D 1
R S x D f S x D g S x D
Por último, integrar entre 1 y 1 para encontrar el volumen.
Aplicar el método de los discos.
Simplificar.
Integrar.
2 P.
PS 1 1 D
P (^) cos x
P
0
P%
P
0
sen x dx
V P%
b
a
F R S x DG^2 dx P%
P
0
Ssen x D^2 dx
16 P
P (^) x
2 x^3
x^5
5
1
1
P%
1
1
S 1 2 x^2 x^4 D dx
V P%
b
a
F R S x DG^2 dx P%
1
1
S 1 x^2 D^2 dx
x
1
1
P P 2 $ x
R ( x )
f ( x ) = sen x
Región plana
y
x
1
1
P
Sólido de revolución
y
Figura 7.
x
R ( x )
g ( x )
f ( x ) = 2 x^2 2
1 1
Eje de revolución
Región plana
$ x (^) f ( x )
g ( x ) = 1
y
x 1 1
2
Sólido de revolución
y
Figura 7.
SECCIÓN 7.2 Volumen: el método de los discos 461
Método de las arandelas (anillos)
El método de los discos puede extenderse para cubrir sólidos de revolución huecos reem-
plazando el disco con una arandela (anillos). La arandela se forma al girar un rectángulo
alrededor del eje, como se muestra en la figura 7.18. Si r y R son los radios interiores y
exteriores de la arandela y w es la anchura, el volumen está dado por
Volumen de la arandela R^2 r^2 w.
Para ver cómo este concepto puede usarse para encontrar el volumen de un sólido de
revolución, considerar una región acotada por un radio exterior R ( x ) y un radio interior
r ( x ), como se muestra en la figura 7.19. Si la región se gira alrededor de su eje de revolución,
el volumen del sólido resultante está dado por
V
b
a
R x ^2 r x ^2 dx. Método de las arandelas.
Observar que la integral que contiene el radio interior representa el volumen del hueco y se
resta de la integral que contiene el radio exterior.
EJEMPLO 3 Uso del método de las arandelas (anillos)
Encontrar el volumen del sólido formado al girar la región acotada por las gráficas de
y x y y x^2 alrededor del eje x , como se muestra en la figura 7.20.
Solución En la figura 7.20 se puede observar que los radios exteriores e interiores son:
Radio exterior. Radio interior.
Integrando entre 0 y 1 produce
Aplicar el método de las arandelas.
Simplificar.
Integrar.
r x x^2
R x x
x^2
x^5
5
1
0
1
0
x x^4 dx
1
0
x^
2 x 2 2
dx
V
b
a
R x ^2 r x ^2 dx
Eje de revolución
R
r
w
r
R
Disco
Sólido de revolución
w
Figura 7.
1
1
1
Sólido de revolución
x
y
Sólido de revolución
Figura 7.
R ( x ) r ( x )
Región plana
a b
Sólido de revolución con hueco
Figura 7.
y = x^2
y = x
r = x^2
R = x
x
1
1
∆ x
(0, 0)
(1, 1)
Región plana
y
SECCIÓN 7.2 Volumen: el método de los discos 463
EJEMPLO 5 Diseño de manufactura
Un fabricante taladra un orificio a través del centro de una esfera de metal de 5 pulgadas de
radio, como se muestra en la figura 7.23 a. El orificio tiene un radio de 3 pulgadas. ¿Cuál es
el volumen del objeto de metal resultante?
Solución Suponer el objeto generado por un segmento de la circunferencia cuya ecua-
ción es x^2 y^2 25, como se muestra en la figura 7.23 b ). Porque el radio del orificio es
3 pulgadas, sea y 3 resolver la ecuación x^2 y^2 25 para determinar que los límites
de integración son x 4. Así que, los radios interiores y exteriores son r ( x ) 3 y
R S x D 25 x^2 y el volumen está dado por
Sólidos con secciones transversales conocidas
Con el método de los discos, se puede encontrar el volumen de un sólido teniendo una sección
transversal circular cuya área es A P R^2. Este método puede generalizarse para los sólidos
cuyas secciones, que son arbitrarias, sean de área conocida. Algunas secciones transversales
comunes son cuadrados, rectángulos, triángulos, semicírculos y trapecios.
Volumen de sólidos con secciones transversales conocidas
1. Para secciones transversales de área A ( x ) perpendiculares al eje x ,
Volumen (^) %
b
a
A S x D dx. Ver figura 7.24 a.
2. Para secciones transversales de área A ( y ) perpendiculares al eje y ,
Volumen (^) %
d
c
A S y D dy. Ver figura 7.24 b.
256 P
pulgadas cúbicas.
P (^) 16 x
x^3
3 ^
4
4
P%
4
4
S 16 x^2 D dx
V P%
b
a
SF R S x DG^2 F r S x DG^2 D dx P%
4
4
FS^25 ^ x^2 D
2 S 3 D 2
G dx
3 pulg
5 pulg
x
Sólido de revolución
4 5
y
x
y
x = a x = b
$ x
y
y = c
y = d
x
$ y
a )
b )
Figura 7.
a ) Secciones transversales perpendiculares al eje x
Figura 7.
b ) Secciones transversales perpendiculares al eje y
x
y
5 4 3 2 1 1 2 3 4 5
r ( x ) = 3
R ( x ) = 25 x^2 y^ =^25 x
2
y = 3
Región plana
464 CAPÍTULO 7 Aplicaciones de la integral
EJEMPLO 6 Secciones transversales triangulares
Encontrar el volumen del sólido mostrado en la figura 7.25. La base del sólido es la región
acotada por las rectas
g S x D 1 y x 0.
x
f S x D 1 ,
x
Las secciones transversales perpendiculares al eje y son triángulos equiláteros.
Solución La base y el área de cada sección transversal triangular son:
Longitud de la base.
Área de triángulo equilátero.
Área de sección transversal.
Porque x varía entre 0 a 2, el volumen del sólido es
^3.
4
S 2 x D^3
3
2
0
V (^) %
b
a
A S x D dx (^) %
2
0
S 2 x D^2 dx
EJEMPLO 7 Una aplicación geométrica
Demostrar que el volumen de una pirámide con una base cuadrada es V ,< hB , donde h es
la altura de la pirámide y B es el área de la base.
Solución Como se muestra en la figura 7.26, se puede cortar o intersecar la pirámide con
un plano de altura paralelo a la base a la altura y para formar una sección transversal cuadrada
cuyos lados son de longitud b a. Por semejanza de triángulos, se puede mostrar que
o b
b
h
S h y D
b
b
h y
h
donde b es la longitud de los lados de la base de la pirámide. Así,
A S y D S b D^2
b^2
h^2
S h y D^2.
Integrando entre 0 y h se obtiene
A S x D
S 2 x D^2
Área
SbaseD^2
Base (^) 1
x
2 ^
(^) 1
x
2 ^
2 x
hB.
b^2
h^2
h^3
3
b^2
h^2
S h y D^3
3
h
0
b^2
h^2 %
h
0
S h y )^2 dy
V (^) %
h
0
A S y D dy (^) %
h
0
b^2
h^2
S h y D^2 dy
Área = A ( y )
Base del área = B = b^2
=
x
b^2 h^2
( h y )^2
y
b a
b
x
y
h y
h (^12) b a
(^12) b
y
Figura 7.
x
y
y = g ( x )
1
1
2
1
y = f ( x )
x
1
1
1
2
f ( x ) = 1 x 2
g ( x ) = 1 + x 2
$ x
y
Base triangular en el plano xy
Figura 7.
Las secciones transversales son triángulos
equiláteros
B = b^2.
