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Carpeta de Ejercicios Resueltos de Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior(2.6.1 A 2.8.4)- TRANSFORMADAS DE LAPLACE (3.1.1 A 3.5.1) Unidad 2 y 3. Parte 1
Tipo: Exámenes
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CUARTO SEMESTRE
LINEALES DE ORDEN SUPERIOR 2.6.1 Reducción de orden de una ED lineal de orden dos a una de primer orden, construcción de una segunda solución a partir de otra ya conocida 2.6.2 Ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes
2.8.2. Resolución de las ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas. (Métodos de los coeficientes indeterminados, de la superposición y del operador anulador) EJECICIO 1: Por el método de los coeficientes indeterminados obtenga una solución particular de la siguiente ED lineal no homogénea. EJERCICIO 2: Utilizando el método de la superposición en la siguiente ED lineal no homogénea obtener: a). Una solución particular yp b). La solución general y= yc + yp
2
√^64 −^80
√−^16
√^16 i
m 1 = 4 + 2 i m 2 = 4 − 2 i y '' −10 { y '
' '
'
2
x
yp 2 =( Dx^2 + Ex+ F ) ex^ =Dx^2 ex^ + Exe x^ + Fex y ' p 2 =Dx 2 e x
− 16 A + 20 B= 0 − 80 + 20 B= 0 20 B= 80 B= 4
2
2
x
x
x . .
μ 1 ∫ μ '
∫−e 2 x sen (^ e x (^) )
x
x
−∫ z 2 sen ( z )
−∫ zsen ( z ) dz
−z cos z∫ cos zdz u ' 1 =−
tan x →→u 1 =−
∫ tan^ x^ dx=^
ln|cos x| y (^) p=¿ y=e x
1 3 e x cos x ( ln|cos x|e x x sen x)
→→→u 2 =∫
2.8.4. Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales lineales de orden dos. a) Por equipo resuelve dos ejercicios de este subtema y entrégalos en archivo electrónico en la sesión del día siguiente.
b) Individualmente resuelve dos ejercicios de este subtema y anéxalos a tu carpeta de ejercicios. 1.- Movimiento libre no amortiguado Una masa de 2 libras alarga un resorte 6 pulgadas. En t=0 se libera la masa desde un punto que esta 8 pulgadas debajo de la posición de equilibrio con una velocidad ascendente de 4/3 pie/s. Determine la ecuación de movimiento. Solución: Debido a que esta usando el sistema de unidades de ingeniería, las mediciones dadas en términos de pulgadas se debe convertir en pies. 6pulg=1/2 pie; 8pulg=2/3pie. Además, se debe de convertir las unidades de peso dadas en libras a unidades de masa. De m= w g (^) se tiene que m= 2 32 = 1 6 slug. También de la ley de Hooke, 2 =k (^) (^1 2 )^ significa que la constante de resorte es k = 4 lb pie (^) .Por lo tanto, de la ecuación (1) se obtiene 1 16 d 2 x dt^2 =− 4 xo d 2 x dt 2
'
C 1 =^2 3 yC 2 =−^1 6 . Por consiguiente, la ecuación de movimiento es x (t )= 2 3 cos 8 t− 1 6 sen 8 t
2.- Movimiento críticamente amortiguado Una masa que pasa 8 libras alarga 2 pies un resorte, suponiendo que una fuerza amortiguada igual a dos veces la velocidad instantánea actúa sobre el sistema, determine la ecuación de movimiento si la masa inicial se libera desde la posición de equilibrio con una velocidad ascendente de 3 pies/s.
k = 4 lb pie ; y que w=mg^ da m= 8 32 = 1 4 pu lg. La ecuación diferencial de movimiento es entonces 1 4 d 2 x dt 2 =−^4 x−^2 dx dt o d 2 x dt
dx dt
2
2
consiguiente el sistema esta críticamente amortiguado y x^ (t^ )=C^1 e − 4 t +C 2 te − 4 t ( 18 )
'
C 1 = 0 yC 2 =− 3. Por lo tanto, la ecuación de movimiento es
− 4 t Unidad 3: Transformadas de Laplace 3.3. Transformada de Laplace de funciones básicas. INSTRUCCIONES : Utilizando la tabla 4.2 encontrar la transformada de Laplace de £^ {^ f^ (t^ )}^ la siguiente función:
