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CM
V o
V i =V^ o
ri
CINEMÁTICA DE UN CUERPO RÍGIDO
Recordemos que un cuerpo rígido (CR) es un caso particular de un sistema de partículas.
En un cuerpo rígido, para cada par de partículas i, j los vectores posición ri , rj medidos respecto a un origen O de
un sistema de coordenadas cualquiera cumplen con la siguiente relación r j-r i = constante para todo instante t.
Como en el caso de un punto material, para un CR, antes de encarar el problema de la dinámica debemos encontrar las relaciones entre las posiciones, las velocidades y las aceleraciones de sus distintos puntos. Este es el problema de la cinemática del cuerpo rígido.
Comenzaremos analizando movimientos sencillos particulares, para luego hallar el movimiento más general como combinación de éstos.
Entonces, abordaremos los siguientes movimientos de los cuerpos rígidos:
a) Traslación pura.
b) Rotación alrededor de un eje que pasa por el centro de masa del CR.
c) Una combinación de los movimientos de traslación y rotación.
a) Traslación pura
En la traslación pura, en cada instante t todos los puntos poseen la misma velocidad. Incluyendo el centro de masa (CM) del cuerpo rígido.
Figura 8: Traslación pura
1- Para la traslación pura tenemos:
b) Rotación alrededor de un eje que pasa por el centro de masa
Para una rotación pura con velocidad alrededor de un eje que pasa por el centro de masa, tenemos:
vi = v 0
i
del cuerpo rígido.
A se le da carácter vectorial siendo la dirección la del eje y el sentido dado por la regla de la mano derecha: Si el giro es según los cuatro dedos, el pulgar indica la dirección y el sentido de.
Figura 8: Regla de la mano derecha
Figura 9: Movimiento de rotación puro
Para un dado punto i, que tiene velocidad tangencial debido a la rotación alrededor del eje que pasa por el CM se cumple la siguiente relación:
Por otro lado el producto vectorial:
tiene la dirección y sentido de y además el mismo módulo:
Ya que es perpendicular al plano formado por y (pues rota alrededor de ) la relación es vectorial:
c)Combinación de los movimientos de traslaciónr^ r
En el caso general en el que medimos la velocidad de un mismo punto Pi del cuerpo rígido respecto de dos sistemas que se mueven uno con respecto al otro [O´ con respecto a O; manteniéndose los ejes primados (X´, Y´) paralelos a los sin primar (X, Y)] obtenemos por suma de vectores:
Vi
ri
R (^) i
i ω
v i
v i r i (^) ω ω
Página 16
ω^.^ R i (^) =^ ω.^ r i (^).^ sen (^^ θ i )= V i
ω ∧ r i
ω ∧ r i (^) = ω r i (^) sen^^ (θ^ i )= v i
y rotacióon
v (^) i = ω ∧ r i
Componentes relativas de un punto respecto a otro
Restando miembro a miembro y multiplicando escalarmente por obtenemos :
pues
es perpendicular a los dos vectores del producto vectorial y en particular a :
con lo cual el producto escalar debe ser cero.
Esto significa que el miembro izquierdo de la ecuación es cero o lo que es lo mismo que:
no posee componte en la dirección
por lo tanto, el punto i no puede acercarse al punto j: esta es la condición de cuerpo rígido, si sucediera lo contrario el cuerpo se deformaría.
Velocidad de un punto del CR respecto de otro
De las ecuaciones anteriores para i, j tenemos:
Si restamos miembro a miembro
o
donde es el vector posición del punto i respecto del j. La ecuación anterior dice que la velocidad del punto i (tierra) más la velocidad de rotación
de dónde se pone el origen fijo al cuerpo rígido. Esto es fácilmente demostrable a partir de consideraciones trigonométricas.
El punto j puede ser cualquiera, en particular el centro de masa (CM) del cuerpo rígido.
[ r i (^) − r j ]
ri rj
V (^) i
Vj
ri
rj
o´
(con velocidad ) del i respecto del j.
La demostración anterior supone que la velocidad de rotación de los puntos del cuerpo rigido no depende
Página 18
v (^) i = ω ∧ r i (^) + v o ´
v (^) j = ω ∧ r (^) j + v o ´
[ v i − v j ].[ r i − r j ] = [ ω ∧ ( r i − r j )].[ r i − r j ] = 0
ω ∧ ( r i (^) − r (^) j ) ( r i (^) − r j )
v i − v j
( r i (^) − r j )
es la velocidad que posee el punto j respecto de un sistema fijo en O
v (^) i = ω ∧ r i (^) + v o ´
v (^) j = ω ∧ r j (^) + v o ´
v (^) i − v (^) j = ω ∧ ( r i (^) − r j )
v (^) i = v (^) j + ω ∧ ( r i (^) − r j (^) ) = v (^) j + ω ∧( r ij )
r ij (^) = ( r i (^) − r j )
Otro punto muy importante es aquel para el cual
En este caso todos los puntos poseen una rotación pura alrededor de este punto.
Para dos puntos p, q pertenecientes al eje tenemos que:
Eje paralelo al de rotación
Veamos que pasa cuando dos puntos del CR pertenecen a una recta paralela al eje de rotación del cuerpo (sobre
Todos los puntos pertenecientes a un eje paralelo al de giro poseen la misma velocidad. En particular todos los puntos pertenecientes al eje de rotación deben tener la misma velocidad V 0.
V P
V q
d
r´ q
r p
o´
p
r po´
v j = 0
0
q p v − v =
ω
v (^) q − v p = 0
el cual está ubicada la velocidad angular ω)
Pues es paralelo a d
v (^) p = ω ∧ r p (^) + v o ´
v (^) q = ω ∧ r q (^) + v o ´
v (^) q − v (^) p = (^) ω ∧ ( (^) r q (^) − (^) r p ) = (^) ω ∧ (^) d = 0
Condición de rodadura
Si el cuerpo no desliza entonces esto significa que el pto O perteneciente al cuerpo debe tener la misma velo- cidad (cero) que el punto O´ perteneciente al piso, pues si no estaría resbalando con respecto al piso. Por lo tanto
es la condición de rodadura.
Consideremos el caso particular de un cilindro que rueda a velocidad constante.
Si luego de rodar sin deslizar, el punto P vuelve a estar arriba, significa que el rodillo dio una vuelta entera, o sea giró 2.
Toda la longitud de una circunferencia de radio R se desarrolló sobre el piso, o sea:
Si dividimos por el tiempo que empleó el cuerpo rígido en recorrer dicha distancia obtendremos la velocidad con que se movió el centro de masa (CM):
Se trata de la misma relación que obtuvimos anteriormente.
Si el rodillo va hacia la derecha, es entrante al plano,
Además:
Con lo cual,
R tiene la misma dirección y sentido que VCM
tenemos :
v O = 0
ω
ω ω
ω
o´
P P
x CM
-R
R
CM x
q
VCM
2. .R = XCM
CM CM.
X R v R t t
π ω
∆ = = = ∆ ∆
P =^ ∧^ + CM
∧
∧
v (^) ω R v
ω ∧ R = ω. R = VCM
R es un vector en la misma dirección que V CM (volcar sobre R, según la regla de la mano derecha ya mencionada).
v (^) P = 2. V CM
v (^) P = 2. V CM
p
Por otro lado, para el punto q de la figura lo único que cambia es R por - R
Efectivamente, dada la condición de rodadura sin deslizamiento, el punto q debe tener velocidad nula.
De
con obtenemos:
Respecto al punto q, todos los puntos del sólido poseen una rotación pura (eje instantáneo de rotación).
A medida que nos acercamos al punto q el vector posición correspondiente se achica en módulo y la veloci- dad tiende a cero.
Como casos particulares y tomando como origen de coordenadas al punto q, podemos afirmar que:
v q = 0
v (^) i = ω r i
v (^) j = ω r j
v (^) k = ω k
ω
ω
r
a) Respecto al punto p : Como es perpendicular a r p y r p = 2.R, obtenemos
vp =
b) Respecto al centro de masa (CM): para el CM, r CM=R, por lo tanto v CM=
O sea p posee el doble de velocidad que CM y q posee velocidad nula.
q V
k
p
p
i
k
Vi
V
V
i
ri
rj
rk
CM
R j
q
x
rk
CM
Página 22
v (^) q = ω ∧ − R + v (^) CM = v (^) CM − ω ∧ R = v (^) CM − v (^) CM = 0
i i q
= ∧ +
∧
∧
∧
v ω r v
b)
De cinemática obtenemos:
De donde sumando o restando miembro a miembro obtenemos respectivamente,
Como y R son perpendiculares, el seno del ángulo que forman es uno. Considerando la propiedad que afirma
que el módulo de un producto vectorial es igual al producto de los módulos por el seno del ángulo que forman, obtenemos:
Para hallar la posición X del eje instantáneo supondremos que éste pasa por un punto del segmento pq (ya que
es la única manera para que el vector posición y la velocidad de los puntos p y q resulten perpendiculares).
Si suponemos que , entonces será
y
Sumando miembro a miembro obtenemos:
Por lo tanto es una rotación pura alrededor del CM.
c)
Restando miembro a miembro
Aplicando módulos en ambos miembros y despejando:
Con lo cual para el punto p´ tenemos:
Para el cálculo de la posición del eje instantáneo debemos tener en cuenta que todos los puntos poseen una rotación pura alrededor del mismo. Dicha posición deberá estar entre p y q pues la velocidad de p tiene un sentido y la de q tiene sentido contrario siendo ambas perpendiculares a dicho segmento (como corresponde si
V 1 x.
x = R
CM
-R
R
p
V1 q
V
CM
-R
x
p
V1 q
V
R+R-x
CM
R
p
p´
V
0 = CM
=
V
- V 1 =2. ω R
Página 24
v (^) P = ω ∧ R + v CM = V 1
q (^ ) CM^1
∧
v (^) = ω (^) ∧ − R + v (^) = − V
ω
ω
V 1
R
=ω
− V 1 = ( x −2. R ).ω
x ≤ R
v (^) P = ω ∧ R + v (^) CM = V 1
v q (^) = ω ∧ (0 ) + v (^) CM = − V 1 = v CM
2. V 1 = ω ∧ R
2. 1 V
R
´
VP 2. 1 V V 1 3. 1 V
V ω R
sobre dicho segmento pasa el eje instantáneo de giro).
Para p sabemos que
de donde
d) Datos:
Sumando miembro a miembro obtenemos:
cm/s î
Aplicando módulos en ambos miembros y despejando, resulta: cm/s
Restando miembro a miembro,
de donde obtenemos: y 1/s
Para el eje instantáneo, debemos tener en cuenta que si p y q rotan respecto de este punto entonces necesa-
riamente está debajo de q pues si no la velocidad de q debería ser negativa.
De donde x = 30 cm y la ecuación para V1 = 50.0,2 = 10 cm/s, concuerda con el dato.
CM
x
p
p´
V
i
j
CM
-R
R= 10
p
q V
V
x
V
V
V x V x R
2
R x
cm/s
cm/s
1 10
2 6
V
V
v (^) P ω R v (^) CM V 1
V 1 V 2 2 .V CM 16
VCM 8
V 1 V 2 2. ω R^4 cm^ /^ s^ ^ 2.^. R 0, 2
V R x
V x
y
Luego,
Para el punto C tenemos,
Para el punto A,
Para el eje instantáneo tenemos:
Como respecto de este eje todos los puntos poseen rotación pura, podemos fácilmente calcular las velocida
des de los puntos del cuerpo rígido (teniendo en cuenta que ahora los vectores posición se toman respecto del punto q en lugar del CM):
Punto B:
Punto C:
Punto A:
Todas estas ecuaciones confirman los valores obtenidos tomando como referencia al CM.
Responda los interrogantes que le presentamos a continuación. Recuerde que cuenta con la figura del tutor
del aula virtual para aclarar sus dudas, validar sus respuestas o proponer alternativas.
Cuestionario
1- Suponiendo que se conoce la velocidad de un punto j (Vj) y el vector posición de un punto i respecto de este punto j, escribir la ecuación que relaciona las dos velocidades Vi , V j. 2-¿Qué condición define al eje instantáneo de rotación? 3-¿Cuál es la condición de rodadura?
4( )
4 4 ( / )
c c
cm s
π
π π
= ∧ = − ∧ − =
= ∧ = −
V ω r k j
k j i
(2 2 )
2 2
2 2 (2 ; 2 )( / )
A A
cm s
π
π π
π π π π
= ∧ = − ∧ + =
= − ∧ − ∧ =
= − + = −
V ω r k i j
k i k j
j i
(2 6)
8 8 ( / )
b b
cm s
π
π π
= ∧ = − ∧ + =
= − ∧ =
V ω r k j
k j i
2 2 2 2 0
q q CM
π π π π
= ∧ + =
= − ∧ − + = − + =
v ω R v
k j i i i
2 2
2 2 (2 ; 2 )( / )
a a CM
cm s
π π
π π π π
= ∧ + = − ∧ + =
= − + = −
v ω R v k i i
j i
6 2
6 2 4 ( / )
c c CM
cm s
π π
π π π
= ∧ + =
= − ∧ − + =
= − + = −
v ω R v
k j i
i i i
v (^) b = ω ∧ R b + v (^) CM = 8 π ( cm s / ) i
V CM (^) = 2.π ( cm s / ) i
ω ∧ R b = −π k ∧ 6 j =π6( cm s / ) i
Respuestas al cuestionario:
1-
Con
,
Cualquier punto del cuerpo rígido puede tomarse como origen alrededor del cual gira el CR, si conocemos su velocidad respecto a un sistema fijo en tierra (Vj).
2- Supongamos que el CM posee una velocidad VCM r especto de un sistema fijo en tierra, entonces el movi- miento de cualquier punto se lo puede descomponer en la suma de un término de translación (del CM en este caso) y de rotación alrededor del CM, en particular para el eje instantáneo la suma total debe ser cero:
siempre se puede descomponer la velocidad de un punto cualquiera como la suma de la velocidad de algún otro punto arbitrario del CR mas una rotación alrededor de dicho punto (en particular esto se cumple para el eje instantáneo de giro):
Esto significa que cualquier punto del CR posee una rotación pura alrededor del eje instantáneo de giro.
3- Si elegimos p CM entonces, visto desde O´ tenemos:
como todo punto perteneciente al CR posee una rotación pura alrededor del eje instantáneo, en particular sucede para el CM.
ya que siempre podemos elegir O´ sobre el eje instantáneo de manera tal que el sen(O) del producto vectorial sea igual a 1.
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v i (^) = v (^) j + ω ∧ ( r i − r j (^) ) = v (^) j + ω ∧( r ij )
r ij (^) = ( r i (^) − r j )
VCM =ω Ro CM ´
V CM (^) = ω ∧ R o CM ´
v (^) p = ω ∧ r (^) po ´ + v (^) o ´ = ω ∧ r po ´
v o (^) ′ = ω ∧ r o (^) ´ CM + v CM = 0
