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CIRCUITO DE AIRE-HUMOS
- INDICE
- CIRCUITO DE AIRE-HUMOS INDICE DE MATERIAS
- FUNCIÓN Y DISPOSICIÓN DEL CIRCUITO Y SUS COMPONENTES
- CHIMENEAS Y TIRO
- 2.1. EFECTO DE LA CHIMENEA
- 2.2. EJEMPLO DE CÁLCULO DEL EFECTO DE LA CHIMENEA
- 2.3. LA CHIMENEA
- 2.4. CAÍDA DE PRESIÓN
- LA CHIMENEA 2.5. EJEMPLO DE CÁLCULO DE LAS DIMENSIONES DE
- LA CHIMENEA 2.6. FACTORES EXTERNOS QUE AFECTAN A LA ALTURA DE
- 2.7. DISEÑO DE LA CHIMENEA
- 2.8. FUNCIONAMIENTO Y MANTENIMIENTO DE LA CHIMENEA
- VENTILADORES
- 3.1. POTENCIA DE LOS VENTILADORES
- 3.2. FUNCIONAMIENTO DE LOS VENTILADORES
- 3.3. CARACTERÍSTICAS AERODINÁMICAS
- 3.4. ENSAYO DE VENTILADORES
- 3.5. CONTROL DE UN VENTILADOR CENTRÍFUGO
- 3.6. ACCIONAMIENTOS DE LOS VENTILADORES
- 3.7. MÁRGENES DE CAPACIDAD DE LOS VENTILADORES
- 3.8. VENTILADORES DE TIRO FORZADO
- 3.9. VENTILADORES DE TIRO INDUCIDO
- 3.10. VENTILADORES DE RECIRCULACIÓN DE HUMOS
- 3.11. VENTILADORES DE AIRE PRIMARIO
- 3.12. FUNCIONAMIENTO DE LOS VENTILADORES
- 3.13. VENTILADORES DE FLUJO AXIAL
- 3.14. FUNCIONAMIENTO Y CARACTERÍSTICAS DE CONTROL
- 3.15. FUNCIONAMIENTO EN PARALELO
- 3.16. CARACTERÍSTICAS DE DESPRENDIMIENTO
- 3.17. PREVENCIÓN DEL DESPRENDIMIENTO
- 3.18. DISPOSICIÓN DE LOS VENTILADORES
- DE TIRO INDUCIDO 3.19. DESGASTE DE LAS PALETAS DE LOS VENTILADORES
- CALENTADORES DE AIRE
- 4.1. TIPOS DE CALENTADORES DE AIRE
- 4.2. CALENTADORES DE AIRE RECUPERATIVOS TUBULARES
- 4.3. CALENTADORES DE AIRE RECUPERATIVOS DE PLACAS
- TIPO LJUNGSTROM 4.4. CALENTADORES DE AIRE REGENERATIVOS
- TIPO ROTHEMUHLE 4.5. CALENTADORES DE AIRE REGENERATIVOS
- O PRECALENTADORES 4.6. CALENTADORES DE AIRE MEDIANTE VAPOR
CIRCUITO DE AIRE-HUMOS
1. FUNCIÓN Y DISPOSICIÓN DEL CIRCUITO Y SUS COMPONENTES
En un generador de vapor moderno, de alta capacidad, es necesario forzar la entrada de aire de combustión y también la extracción de los humos producidos en el hogar. Si esto se hiciera mediante tiro natural, la capacidad o potencia del generador, para un mismo volumen, sería muy baja. El sistema aire-humos constituye el conjunto de equipos y de conductos necesarios para cumplir esta misión. En la parte izquierda de la figura 1 se puede ver el sistema de aire. El aire atmosférico es aspirado por un sistema de ventiladores, llamados de tiro forzado. Estos ventiladores descargan a un conducto común pero con posibilidad de aislamiento. A continuación el aire pasa por los precalentadores de aire, cuya misión es calentarlo ligeramente para evitar que en el calentador que viene después se formen zonas excesivamente frías, que se convertirían en focos de condensaciones corrosivas, que producirían daños importantes en el calentador en un tiempo relativamente corto. Desde los precalentadores de aire, éste pasa a los calentadores, donde se calienta aprovechando el calor residual contenido en los humos, antes de que estos sean emitidos a la atmósfera. Desde los calentadores el aire va a las cajas de aire desde donde se inyecta en el hogar por los quemadores siendo el aire secundario de combustión. En el caso de generadores de vapor que queman combustibles sólidos (carbones), de la descarga de los ventiladores de tiro forzado, aspiran los ventiladores de aire primario, que tienen la misión de suministrar el aire necesario en los pulverizadores de carbón, que seca después arrastrará el carbón pulverizado hasta introducirlo en el hogar a través de los quemadores, constituyendo el aire primario. De la descarga de los ventiladores de aire primario, éste se divide en dos corrientes, una que llegará a los pulverizadores como aire frío y otra que pasa por un precalentador de aire primario, que tiene la misma misión que los precalentadores que ya vimos entre los ventiladores de tiro forzado y los calentadores de aire. Desde el precalentador de aire primario, éste pasa por el calentador de aire primario, que lo calienta con calor de los humos de combustión, pero alcanzando una temperatura superior que en los calentadores de aire secundario. De la salida del calentador de aire primario, este va hacia los pulverizadores de carbón. La llegada a los pulverizadores de dos corrientes de aire, una fría y otra caliente, es para que, variando las cantidades que se toman de cada una de ellas, se regule la temperatura que debe de tener la mezcla de aire-carbón a la salida de los pulverizadores. A la derecha de la figura 1 se muestra el circuito de humos. Los humos se generan por la combustión en el hogar, salen de éste atravesando distintos elementos del circuito agua-vapor en el que van cediendo su calor, como son las paredes divisorias, sobrecalentador secundario, sobrecalentador primario, recalentador y economizador. Después los humos relativamente fríos, pasan por los calentadores de aire, en donde ceden calor y de donde salen a una temperatura inferior a 150 ºC. Una derivación de humos desde un punto anterior al economizador, donde la temperatura es relativamente alta, se utiliza para calentar el aire primario en el calentador correspondiente ( ya se ha mencionado que el aire primario caliente necesita una temperatura superior a la que se consigue en los calentadores de aire secundario). Una vez atravesados los calentadores de aire, los humos pasan por el precipitador electrostático, donde se limpian de partículas sólidas (cenizas volantes) y de aquí van a los ventiladores de tiro inducido, que son los encargados de aspirarlos desde el hogar. De la descarga de los ventiladores de tiro inducido, los humos son enviados a la chimenea.
Ptotal ' P (^) st % P (^) C ' P (^) st %
C^2
2 v
2. CHIMENEAS Y TIRO
Para la combustión efectiva y completa de cualquier combustible, es necesario un caudal adecuado de aire y se generará una determinada cantidad de humos de humos. El flujo se crea y se mantiene por medio de la chimenea y de los ventiladores. O bien la chimenea por si sola o la combinación de chimenea y ventiladores producen la caída de presión necesaria para mantener el flujo. Se llama TIRO a la diferencia entre la presión en el lado exterior de la pared (atmosférica) y la presión estática en el lado interior de la pared del conducto o la chimenea por donde circulan los productos de la combustión en el hogar. El flujo de aire-humos a través de la caldera se puede conseguir de cuatro maneras denominadas, tiro forzado, tiro inducido, tiro equilibrado y tiro natural. Una caldera de TIRO FORZADO funciona con el hogar a una presión superior a la atmosférica. Un sistema de ventiladores situados a la entrada de la caldera, fuerza el aire hacia el interior con la presión suficiente para compensar la caída producida en el total del circuito de aire-humos, hasta la salida de la chimenea. Una caldera de TIRO INDUCIDO funciona con una presión en el hogar inferior a la presión atmosférica. La presión va disminuyendo desde la entrada pasando por el hogar y conductos de salida de humos, hasta un sistema de ventiladores, llamados ventiladores inducidos que aspiran del hogar y envían los productos de la combustión hacia la chimenea. Cuando la caldera es pequeña, el tiro se puede conseguir por el efecto de la chimenea, sin que sea necesario ningún tipo de ventilador y en tal caso la caldera se llama de TIRO NATURAL. En las calderas más modernas siempre se utiliza o un sistema de ventiladores en la salida de la caldera para mantener el flujo de aire-humos (son los tiro inducido) o un sistema de ventiladores para forzar la entrada de aire (son los de tiro forzado). Una caldera de TIRO EQUILIBRADO tiene un sistema de ventiladores de tiro forzado en la entrada de aire y un sistema de ventiladores de tiro inducido en la salida de humos. La presión estática es superior a la atmosférica en la descarga de los ventiladores de tiro forzado y va disminuyendo progresivamente a medida que se avanza en el circuito, alcanzando el valor de la presión atmosférica aproximadamente en las entradas en el hogar, y desde este punto, la presión estática baja progresivamente por debajo de la atmosférica hasta alcanzar los ventiladores de tiro inducido. Este sistema reduce la presión en el sistema y la tendencia a escapar los gases del hogar a través de mirillas, registros, etc, lo que ocurre cuando el hogar se encuentra presurizado. Este sistema también supone un ahorro de energía, ya que los ventiladores de tiro forzado tienen un flujo volumétrico pequeño debido a la baja temperatura del aire de entrada y a que la potencia de los ventilados depende del caudal volumétrico. Debido a estas razones prácticamente todas las calderas modernas son de tiro equilibrado. La PÉRDIDA DE TIRO es la reducción de la presión estática a lo largo del circuito aire- humos debida al rozamiento y otras causas. La relación entre presión estática, la presión dinámica (debida a la velocidad) y la presión total es la siguiente:
Esta fórmula procede de la aplicación del primer principio a corrientes fluidas suponiendo que no hay rozamiento y por lo tanto, al frenar el fluido hasta el reposo, toda la energía cinética se transforma en presión sin que haya aumento de temperatura, la energía interna
∆ PCH ' gZ (ρ a & ρ HU ) ' gZ^1 v (^) a
v (^) HU
EF. CH. '
∆ PCH
Z
' g
v (^) a
v (^) HU
( ust = utotal ) no variará y el volumen especifico, v , lo hace en una cantidad despreciable. La ecuación es aplicable a líquidos y a gases con números de Mach bajos. Los símbolos representan lo siguiente: Ptotal = Presión total (obtenida llevando el fluido al estado de reposo) ( N/m^2 ) Pst = Presión estática (medida) ( N/m^2 ) PC = Presión correspondiente a la velocidad ( C^2 /2v ) C = Velocidad media ( m/s ) v = Volumen específico ( m^3 /kg )
2.1. EFECTO DE LA CHIMENEA El efecto de la chimenea es la diferencia de presión estática entre un punto de la base del conducto, situado en el exterior y otro de la misma altura situado en el interior, cuando el caudal de aire-humos es igual a cero. La causa de esta diferencia es la diferencia de densidad entre el aire y los humos calientes. El efecto de la chimenea es independiente del caudal de gases y no puede ser medida con dispositivos de medida de tiro, ya que estos medirían el efecto combinado de la chimenea más las pérdidas debidas al flujo. La intensidad y distribución de esta diferencia de presiones, depende de la altura, la disposición de los conductos y las temperaturas medias en el conducto y en el aire ambiente. El efecto de la chimenea se puede definir de la forma más general como :
Donde: ∆PCH = Gradiente de presión creado por la chimenea ( N/m^2 ) ( Pa ) g = Aceleración de la gravedad ( m/s 2 ) Z = Diferencia de cotas entre los puntos considerados ρa = Densidad del aire ambiente ( kg/m^3 ) ρHU = Densidad media de los humos ( kg/m^3 ) v (^) a = Volumen específico del aire ambiente ( m^3 /kg ) v (^) HU = Volumen específico de los humos ( m^3 /kg ). De (2) se obtiene el efecto de la chimenea (EF.CH.) por metro de altura ( Pa/m )
Por conveniencia, la tabla 1 muestra el volumen específico del aire y de los humos en la atmósfera a 556 K (283 C). Considerando que el aire y los humos pueden ser tratados como gases ideales, es posible el cálculo del volumen específico en otras condiciones mediante la fórmula:
Tiro de la chimenea ' Z ( EF. CH .) Presion barométrica Presión al ninel del mar (5)
Donde: Z = Altura de la chimenea ( m ) EF.CH. = Efecto de la chimenea ( Pa/m ) En estos cálculos se asume que la temperatura de humos es la media aritmética entre la de entrada y la de salida a la chimenea. La temperatura a lo largo de la chimenea o conducto no permanece constante, puede haber pérdidas de calor e incluso entradas de aire. En la figura 2 se muestra un valor aproximado para la temperatura de salida en función de la temperatura de entrada y la altura de la chimenea.
2.2. EJEMPLO DE CÁLCULO DEL EFECTO DE LA CHIMENEA La figura 3 ilustra el procedimiento utilizado para calcular el efecto de la chimenea. El efecto de la chimenea puede favorecer o restringir el caudal de humos a través de la unidad. Las tres zonas de paso de gas están a temperaturas diferentes y el ejemplo se considera al nivel del mar. Para facilitar el proceso se asume que el tiro en el punto D es nulo (presión igual a la atmosférica). El efecto de la chimenea siempre favorece con flujos ascendentes y restringe con flujos descendentes. Utilizando los valores de la tabla 3 para una temperatura ambiente de 26, ºC (300 K) el efecto de chimenea de cada tramo, en Pa , es: Tabla 3: Efecto de la chimenea (EF.CH.) en Pa/m de altura VOLUMEN (^) TEMPERATURA DEL AIRE, K TEMPERATURA ESPECIFICO^ 277.55 288.75 299.85 310. DE HUMOS HUMOS^ VOLUMEN ESPECÍFICO DEL AIRE, m^3 /kg C K m^3 /kg 0.78872 0.82055 0.85209 0. 121.1 394.25 1.08352 3.38543 2.90279 2.46004 2. 260 533.15 1.46526 5.74515 5.26252 4.81976 4. 537.8 810.95 2.22874 8.03955 7.55691 7.11416 6. 815.5 1088.65 2.99195 9.16279 8.68016 8.23740 7. 1093.6 1366.75 3.75626 9.83022 9.34758 8.90483 8. 1371.1 1644.25 4.51891 10.27116 9.78853 9.34578 8. El efecto de la chimenea se considera en las siguientes condiciones: Aire: 0,013 kg de agua por kg de aire seco; 0,855 m^3 /kg; 26,7 ºC; 101,325 kPa Humos: 0,04 kg de agua por kg de aire seco; 0,826 m 3 /kg; 26,7 ºC; 101,325 kPa Efecto en DC = (33,5 m ).(2,46004 Pa/m ) = 82.41 Pa Efecto en CB = - (30,5 m ).(7,11416 Pa/m ) = - 216.98 Pa Efecto en BA = (15,2 m ).(8,23740 Pa/m ) = 125.21 Pa Si se mide la presión en los puntos A, B, C y D de la figura 3 , con caudal cero, se obtienen los siguientes valores: Tiro en D = 0 Pa Tiro en C = Tiro en D más el efecto DC = 0 + 82.41 = 82.41 Pa Tiro en B = Tiro en C más el efecto CB = 82,41 + (- 216.98) = - 134,57 Pa Tiro en A = Tiro en B más el efecto BA = - 134,57 + 125.21 = - 9,36 Pa
Figura 2: Relación aproximada entre las dimensiones de la chimenea y la temperatura de salida de los humos
Nótese que, como el cálculo del efecto chimenea en este ejemplo se hace en el sentido contrario al flujo, el efecto de la chimenea se suma, en el cálculo del tiro, al existente en la boca de la chimenea. Si se calcula en la dirección del flujo, el efecto de la chimenea debe de restarse. El efecto neto de la chimenea desde D hasta A en la figura 3 , es la suma de los tres efectos
Figura 4: Altura de la chimenea, en función del tiro y de la temperatura de los humos
calentadores de aire, no es práctico ni económico que la unidad funcione con el tiro creado únicamente por la chimenea. Estas unidades necesitan ventiladores para complementar el tiro inducido por la chimenea. El total de la unidad debe de estar presurizada por un ventilador de
tiro forzado o bien debe de utilizar ventiladores de tiro forzado y de tiro inducido para funcionar con tiro equilibrado. No se suele utilizar la combinación de ventiladores de tiro inducido y chimenea. La altura y diámetro necesarios para la chimenea, en el caso de que solo se utilice el tiro natural, dependen principalmente de:
∆ PCAIDA ' f L D
G^2
v % G^
2 2
v^2 ' G^
2 2
v f L D
% v
- Pérdidas de carga desde el punto de tiro equilibrado a la entrada a la chimenea.
- Temperatura media de los humos a lo largo de la chimenea y del aire que la rodea.
- Caudal de humos que debe de manipular la chimenea.
- Presión atmosférica. No existe ninguna fórmula simple que satisfaga todos los factores que influyen en la determinación de la altura y el diámetro de la chimenea. Los puntos más importantes a considerar son: 1) Temperatura del aire que rodea a la chimenea y temperatura del gas que entra en la chimenea, 2) Caída de temperatura de los humos a lo largo de la chimenea debida a las pérdidas hacia la atmósfera y a las filtraciones de aire. 3) Caídas de presión a lo largo de la chimenea, asociadas con el caudal de humos, debidas al rozamiento y a la velocidad con la que los humos abandonan la chimenea.
2.4. CAÍDA DE PRESIÓN El tiro neto de la chimenea, o tiro inducido a la entrada de la chimenea, es la diferencia entre el tiro teórico mediante la ecuación (1) o las ecuaciones (2), (3) y (4) y la caída de presión debida al flujo de humos en la chimenea. Si a las pérdidas típicas por rozamiento producidas en una corriente, se le suma la altura de velocidad, que procede de la transformación de presión estática, se obtiene la caída de presión producida en el circuito de aire-humos más la chimenea.
Donde: ∆PCAIDA = Caída de presión de la chimenea ( N/m^2 ) ( Pa )
f = Coeficiente de rozamiento, adimensional. 0,014 a 0,
L = Longitud (altura) de la chimenea ( m ) D = Diámetro de la chimenea ( m ) G = Caudal másico por unidad de superficie, m/Ai ( kg/s.m^2 ) m i = Caudal másico ( kg/s ) A = Sección transversal de la chimenea ( m^2 ) v = Volumen específico a la temperatura media ( m^3 /kg ) Las caídas de presión de la chimenea para unidades que utilizan el tiro natural, son inferiores al 5 % del tiro teórico de la chimenea. La parte de las pérdidas debidas a la energía cinética, no recuperable, de los humos en la salida de la chimenea, es de tres a siete veces las pérdidas por rozamiento, dependiendo de la altura y diámetro de la chimenea.
2.5. EJEMPLO DE CÁLCULO DE LAS DIMENSIONES DE LA CHIMENEA Se puede intentar el cálculo de las dimensiones de la chimenea utilizando las figuras 2, 4 y 5 asumiendo una determinada temperatura en la salida de la chimenea. Se hacen aproximaciones de los valores según sea necesario, por verificación de la temperatura de salida, las pérdidas de flujo y corrección por altura, si es necesario. El ejemplo siguiente ilustra este método de dimensionado. Características de la unidad: Combustible Carbón pulverizado
Figura 5: Diámetro recomendado de la chimenea para un rango determinado de caudales de gas
chimenea para lograr el necesario efecto de dispersión. En tales casos la chimenea tiene un estrechamiento en la salida, para aumentar la velocidad de descarga y simular el efecto de una chimenea más alta. Sin embargo el estrechamiento añade una resistencia al paso de los humos que solo puede ser compensada por medios mecánicos de producción de tiro.
2.7. DISEÑO DE LA CHIMENEA
Una vez establecidos la altura y el diámetro de la chimenea, es necesario tener en cuenta factores económicos y estructurales para hacer el diseño. Los materiales deben de ser seleccionados de acuerdo con el coste, altura y forma de soporte. El material también estará influenciado por el poder corrosivo de los humos. Una vez seleccionado el material, debe de determinarse y dimensionarse la estructura soporte tanto para cargas estáticas como para cargas dinámicas.
2.8. FUNCIONAMIENTO Y MANTENIMIENTO DE LA CHIMENEA Todas las entradas a la chimenea deben de ser herméticas a la entrada de aire y estar provistas de cortatiros, para aislamiento cuando no esté en funcionamiento. Las entradas de aire
Figura 6: Ventilador centrífugo con una sola entrada de gas, con cortatiros de regulación radiales en la entrada y con álabes del rotor curvados hacia atrás
Potencia ' k (∆ P )^ v^0 η V
frío a la chimenea durante el funcionamiento, reducen la temperatura media de los humos y como consecuencia, el efecto de la chimenea. También aumentan el caudal y las perdidas del flujo.
La chimenea está sujeta al efecto erosivo de partículas y a la corrosión por los compuestos ácidos. La erosión es más frecuente en las zonas de entrada de la chimenea, donde puede haber estrechamientos y cambios de dirección. Se puede disminuir este efecto utilizando materiales resistentes a la erosión o colocando escudos protectores recambiables.
3. VENTILADORES
Un ventilador impulsa una cantidad de aire o gas suministrándole la energía suficiente para que la corriente avance, venciendo cualquier resistencia al flujo. Un ventilador es una máquina que consta de un rotor de paletas o impulsor, que comunica la energía al gas, y una carcasa que contiene y guía el gas manipulado. La potencia suministrada al gas por el ventilador depende del volumen manipulado por unidad de tiempo, de la presión diferencial a través del ventilador y del rendimiento.
3.1. POTENCIA DE LOS VENTILADORES
La potencia del ventilador se puede computar por la suministrada en los terminales del motor de accionamiento y también se puede calcular por métodos termodinámicos. La potencia consumida por un ventilador se puede expresar de la siguiente manera:
(7)
Figura 9: Determinación de la caída de presión en un ventilador de flujo axial
Figura 8: Ventilador axial de dos ruedas de álabes
del ventilador recomienda la mejor disposición de conductos de entrada y salida para que estas
pérdidas sean lo más bajas posible. Para seleccionar el motor apropiado para el ventilador, la potencia de entrada en el eje debe de ser calculada utilizando el rendimiento que tiene en cuenta
Figura 10: Curvas características de dos tipos de ventiladores centrífugos funcionando a una elevación de 5500 ft (1676 m) y 965 rpm
todas las pérdidas asociadas con el ventilador incluyendo las debidas a la disposición de los
Figura 11: En este gráfico se muestra como se puede obtener económicamente la presión estática necesaria en la salida variando la velocidad del ventilador y evitando pérdidas por estrangulamiento con cortatiros
- Variación de la velocidad (manteniendo invariables el tamaño del ventilador, la densidad del gas y la resistencia del sistema): a. La capacidad ( m^3 /min ) varía proporcionalmente a la velocidad. b. El aumento de presión varía proporcionalmente al cuadrado de la velocidad c. La potencia varía proporcionalmente al cubo de la velocidad.
Tabla 4: Rangos aproximados del rendimiento mecánico (ηV) y factores de compresibilidad
Rangos aproximados del rendimiento mecánico (ηV)
Ventiladores centrífugos
Álabes de paletas 45 a 60 %
Álabes curvados hacia delante 45 a 60 %
Álabes curvados hacia atrás 75 a 85 %
Álabes inclinados radialmente 60 a 70 %
Air Foil 80 a 90 %
Ventiladores axiales 85 a 90 %
Valores aproximados de los factores de compresibilidad para el aire
∆P/P 0 0,03 0,06 0,09 0,12 0,15 0,
k 1 0,99 0,98 0,97 0,96 0,95 0,
- Variación del tamaño del ventilador (manteniendo la semejanza geométrica, manteniendo constantes el incremento de presión, la densidad y la resistencia del sistema): a. La capacidad ( m^3 /min ) varía proporcionalmente al cuadrado del diámetro del rotor.. b. La potencia varía proporcionalmente al cuadrado del diámetro del rotor. c. La velocidad varía inversamente proporcional al diámetro del rotor.
- Variación de la densidad del gas ( manteniendo constantes el tamaño, la velocidad y la resistencia del sistema): a. La capacidad ( m^3 /min ) permanece constante. b. La potencia es directamente proporcional a la densidad del gas. c. La presión es directamente proporcional a la densidad del gas. Los ventiladores geométricamente semejantes tienen características de funcionamiento también similares. El funcionamiento de un ventilador se puede predecir conociendo el de un ventilador semejante mayor o más pequeño. Los dos factores principales de funcionamiento (velocidad y presión estática) están relacionados con los conceptos de velocidad específica y diámetro específico. La Velocidad específica son las rpm a las cuales un ventilador podría funcionar si se redujera proporcionalmente su tamaño hasta manipular 1 m^3 /min de aire en condiciones estándar, con un aumento de presión estática de 1 Pa. El Diámetro específico es el diámetro necesario para manipular 1 m^3 /min de aire en condiciones estándar, con un aumento de presión estática de 1 Pa a una determinada velocidad específica. De las leyes de los ventiladores se pueden deducir las siguientes ecuaciones:
