Circulo de mohr ejercicios y resumen, Ejercicios de Mecánica de Materiales

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Introducción

A continuación analizaremos algunos esfuerzos así como el círculo de Mohr esto para comprender más los temas que contiene y tener una idea mejor de cuando sería útil utilizarlo y en donde aplicarlo, teniendo como objetivo esta investigación tratar de que comprendamos el análisis que haremos para poder resolver ejercicios y problemas que se nos llegaran a presentar ya sea en el ámbito escolar como a lo largo del ámbito laboral.

σu cosϕ −σ (^) x cosϕ − σ (^) y senϕ cosϕ senϕ+τ (^) xy senϕ+ τ (^) yx senϕ cosϕ cosϕ Multiplicamos por cosϕ 0 =σu −σ (^) x cos 2 ϕ−σ (^) y se n 2 ϕ +τ (^) xy senϕcosϕ+τ (^) yx senϕcosϕ Figura 4 Descomposición de las fuerzas a lo largo de las direcciones u y v. (a) Componentes de la fuerza producida por σ^ x_. (b) Componentes de la fuerza producida por_ σ^ y y. (c) Componentes de la fuerza producida por τ (^) xy_. (d) Componentes de la fuerza producida por_ τ (^) yx_._ Ecuación 1: σ (^) u=σ (^) x cos 2 ϕ+σ (^) y se n 2 ϕ− 2 τ (^) xy senϕcosϕ Formulas trigonométricas Ecuación 2: co s 2 ϕ=

cos 2 ϕ Ecuación 3: se n 2 ϕ=

cos 2 ϕ senϕcosϕ=

sen 2 ϕ Sustituimos la ecuación (2) y (3) en (1). σ (^) u=σ (^) x (

cos 2 ϕ )+ σ (^) y (

cos 2 ϕ)− 2 τxy senϕcosϕ Multiplicamos los términos obteniendo de la ecuación de esfuerzo normal en la dirección u:

σ (^) u=

σ (^) x+

σx cos 2 ϕ +

σ (^) y−

σ (^) y cos 2 ϕ−τ (^) xy sen 2 ϕ Ecuación 4: σ (^) u=

(σx +σ (^) y)+

(σ (^) x−σ (^) y )cos 2 ϕ−τ (^) xy sen 2 ϕ Esfuerzo cortante ,^ τuv , que actúa paralelo al eje de corte ∑ Fv=^0 0 = τuv h 2 cosϕ +σ (^) x h 2 senϕ−σ (^) y h 2 tanϕcosϕ+ τxy h 2 cosϕ−τ (^) yx h 2 tanϕsenϕ h (^2) Puede ser eliminado asi como sabemos que τ xy=τ^ yx 0 = τuv cosϕ

• σx senϕ− σ (^) y senϕ cosϕ cosϕ + τxy cosϕ− τ (^) yx senϕ cosϕ senϕ Multiplicamos por cosϕ 0 =τuv +σ (^) x senϕcos ϕ−σ (^) y senϕcosϕ+τxy cos 2 ϕ −τ (^) yx se n 2 ϕ τuv =−σ (^) x senϕcos ϕ+σ (^) y senϕcosϕ−τ (^) xy cos 2 ϕ +τ (^) yx se n 2 ϕ Aplicar las funciones trigonométricas τuv =

σ x senϕ+

σ y senϕ−

τ xy

τxy cos 2 ϕ +

τ (^) xy−

τ (^) xy cos 2 ϕ Simplificar Ecuación 5: τuv =

( σ^ x−σ^ y ) sen^2 ϕ−τ^ xy cos^2 ϕ

ESFUERZOS MÁXIMOS σ (^) u=

( σ^ x+^ σ^ y ) +^

( σx−σ^ y ) cos^2 ∅ −τxy sen^2 ∅

d (σu ) d ∅

d [

( σ^ x+^ σ^ y ) +^

( σ^ x−σ^ y ) cos^2 ∅ −τ^ xy sen^2 ∅ ] d ∅ 0 = 0 −

( σ^ x−σ^ y) sen^2 ∅ (^2 )−^2 τ^ xy cos^2 ∅

( σ^ x−σ^ y ) sen^2 ∅ =−^2 τxy cos^2 ∅

sen 2 ∅ cos 2 ∅

− 2 τ (^) xy

( σ^ x−σ^ y)

σ (^) u=

( σ^ x+^ σ^ y ) +^

[

( σ^ x−σ^ y ) (^) ] 2 √[^

( σ^ x−σ^ y ) (^) ] 2 +[ τ (^) xy ] 2

[ τxy ] 2 √[^

( σ^ x−σ^ y ) (^) ] 2 +[ τ (^) xy ] 2 σ (^) u=

( σ^ x+^ σ^ y ) +^

[

( σ^ x−σ^ y ) (^) ] 2 +[ τxy ] 2 √[^

( σ^ x−σ^ y ) (^) ] 2 +[ τ (^) xy ] 2 σ (^) u=

( σ (^) x+ σ (^) y ) +{[

( σx−σ (^) y ) (^) ] 2 +[ τxy ] 2 } 1 − (^12) Ecuación 10: σ (^) u=

( σ^ x+^ σ^ y ) ±^

√[^

( σ^ x−σ^ y) (^) ] 2

• (^) [ τ (^) xy ] 2 Como la raíz cuadrada tiene dos valores posibles, + y –, también podemos determinar expresiones para el esfuerzo principales. Esfuerzo principal mínimo: Ecuación 11: σ( 2 )=σ(min)=

( σ^ x+σ^ y )−

√[^

( σx−σ^ y ) (^) ] 2 +[ τxy ] 2 Reemplazando ecuación 6 en 5 τuv =

( σ^ x−σ^ y ) sen^2 ϕ−τ^ xy cos^2 ϕ

τuv=[

( σx−σ^ y ) sen^2 ϕ

cos 2 ϕ −τxy ][ cos 2 ϕ ] τuv = { [

( σx−σ^ y ) (^) ] [ −τ (^) xy 1 2 ( σ^ x−σ^ y ) (^) ] −τxy }

[cos 2 ϕ]

Ecuación 12: τuv = 0 Esfuerzo principal máximo: Ecuación 13: σ( 1 ) ¿ σ(max)=

( σ^ x+^ σ^ y ) ±^

√[^

( σx−σ^ y ) (^) ] 2 +[ τxy ] 2

LA TEORÍA DEL CIRCULO DE MOHR

El círculo de Mohr es un método gráfico para determinar el estado

tensional en los distintos puntos de un cuerpo. Entre las tensiones que

existentes en un cuerpo sometido a un cierto estado de cargas y con

unas ciertas restricciones, importan en general las tensiones principales,

que son las tensiones que existen sobre ciertos planos del cuerpo, donde

las tensiones de corte nulas. Estas tensiones son de importancia para el

estudio de la resistencia mecánica de una pieza. Este método tiene

aplicación para estados tensionales en dos y tres dimensiones.

El Círculo de Mohr es un método el cual permite obtener de

forma gráfica esfuerzos principales, esfuerzos cortantes y esfuerzos

sobre planos inclinados a partir de las características geométricas de una

circunferencia. Este además de permitir obtener la relación entre

esfuerzos, también se puede usar para calcular otras cantidades

como deformaciones unitarias y momentos de inercia.

A continuación, te presentamos un paso a paso para realizar el trazado de un círculo de Mohr para esfuerzo plano :

Teoría del caso especial en el cual los dos esfuerzos principales

tiene el mismo signo.

Aquí se usará el círculo de Mohr que es un método gráfico para

determinar el estado tensional en los distintos puntos de un cuerpo.

Entre las tensiones que existentes en un cuerpo sometido a un cierto

estado de cargas y con unas ciertas restricciones, importan en general

las tensiones principales, que son las tensiones que existen sobre ciertos

La teoría de falla del esfuerzo cortante máximo.

Materiales dúctiles Se considera materiales dúctiles a aquellos que pueden deformarse considerablemente antes de llegar a la rotura. Para este tipo de materiales existen dos teorías, la máxima tensión cortante y la teoría de la máxima energía de distorsión. Teoría del Esfuerzo Cortante Máximo También conocida como Teoría de Tresca o Guest. Establece que la fluencia del material se produce por el es fuerzo cortante, surgió de la observación de la estricción que se produce en una probeta cuando es sometida a un ensayo de tensión La teoría dice: sometida a un ensayo de tensión. La teoría dice: “La falla se producirá cuando el esfuerzo cortante máximo absoluto en la pieza sea igual o mayor al esfuerzo cortante máximo absoluto de una probeta sometida a un ensayo de tensión en el momento que se produce la fluencia”