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LUGARES GEOMÉTRICOS EN EL PLANO
CIRCUNFERENCIA
Definición: Circunferencia es el lugar geométrico de los puntos de un plano cuya distancia a un punto fijo, llamado centro , es una constante denominada radio. Ecuación: Sea C (^ ^ ;^ )^ centro r: radio ( x ; y ) C : CP CP 2 Siendo CP = ( x^ ^ ^ ;^ y )
C : (^ x^ ^ ^ )^ ^ (^ y^ ^ ) r
2 2 2 (1)
En particular si CO
C (( 0 ; 0 ) ; r ) : x^ y^ r
(^2) 2 2 ecuación canónica Desarrollando la ecuación (1) y ordenando se obtiene:
C : x^ y^ x^ y^ r
(^2) 2 2 2 ( 2 (^2) 2 ) 0 (2) comparemos esta ecuación con la ecuación general de segundo grado en dos variables: ^ x^ ^ x^ y^ y^ x^ y (^2) C 2 D F 0 (3) Observaciones:
- Carece de término rectangular ( B = 0 )
2) Los coeficientes cuadráticos son iguales y distintos de cero ( A = C 0 )
Veamos ahora si toda ecuación como la (3) que cumpla con 1) y 2) representará una circunferencia, para esto debemos factorear la ecuación: x^2 y^2 D x y F 0 0 x^2 y^2 x y 0 D A E A F A multip. m. a m. 1 completamos trinomios cuadrados prefectos
x^2 x y^2 y 4 4 4 4 ^ ^ ^ ^ D A D A E A E A D A E A F A 2 2 2 2 2 2 2 2 factoreamos los trinomios x y (^) (^) D 2A E 2A D E AF A 2 2 2 (^2 2 ) 4
comparándola con la ecuación (1) D 2A E 2A C D 2A E 2A ; y (^) r^2 = D E AF A 2 2 2 4 4 La ecuación (4) representará: Una circunferencia si: D^ E^ AF (^2) 2 4
0 Un solo punto (C)( cfcia. deg.) si: D^ E^ AF (^2) 2 4 = 0 No existe l. g. ( cfcia. imag. ) si: D^ E^ AF (^2) 2 4
< 0 PARÁBOLA Definición: Dados en el plano un punto fijo, llamado foco , y una recta fija, llamada directriz. Parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan del foco y de la directriz. Sea F : foco d : directriz P : dist ( ; d ) dist ( ;F ) A la recta que contiene al foco y es perpendicular a la directriz se la llama eje focal y es el eje de simetría de la parábola. El punto de la parábola que esta contenido en el eje focal es el vértice de la parábola: V PARÁBOLA CON VÉRTICE EN EL ORIGEN Y DE EJE FOCAL EJE X Ecuación: P P dist P x p : : 2 2 elevando m. a m. al cuadrado
S S' O' (^) S O'S' OP = OO' + O' P ( ; ) ( '; ') ( ; ) ( ; ; ) ' ' ' ' x y x y x y x y x x y y 0 0 0 (^) (^) (^)
x x y y ' '
P S '^ :^ y^ '^ p^ x '
y p x
2 2 ( ) P O´ O y´ y x´ x
y^2 2 p x 2 y ( 2 2 p ) 0
P S ' : x ' 2 2 p y '
^ x^ ^ ^ p^ y ^
2 2 ( ) (^) x^2 2 x 2 p y ( 2 2 p ) (^0) ^0 ^ ^ ^0 ) ^ ^ ^0
F 1 ( c ; 0 ) F 2 ( c ; 0 ) siendo c (^0) ( x ; y ) E : F 1 F 2 2 a simplificamoslaexpresióndespejandounradicalyelevandom.am.al cuadrado ( x c )^2 y^2 ( x c )^2 y^2 2 a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 4 4 4 2 4 4 ( ) 2 ( ) 4 4 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) x c y a cx a x cx c a a x c y x cx c x c y a a x c y x c y x c y a x c y c a x a x c y c a x c x a x c x c y c a x y a c c a a c a c a c a c b a c b a x y b b (^) ^ ^ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 0 ( ) : . , en el triangulo F F F F F P F por desigualdad triangular : F P F F F entonces llamamos reemplazandolo en la ecuacion mult. m. a. m por 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 x a y b 2 2 2 2 1 y b a a x x a x a a b b x y b y b b y b y x a x a a y a 2 2 2 2 1 2 1 2 0 0 0 0 0 0 0 Dom = { R Im = [ es una curva cerrada con centro de simetría Si vertices Si vertices / } [ ; ] ; ] ( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; )
2 2 2 a b c : : diametro mayor : diametro menor distancia focal
En el triangulo rectangulo F 1 CB 1 : (^) a^2 b^2 c^2 y b a a c b a b L (^) a Long LL' = 2 2 2 2 2 e c a como c a 0 e 1 para cualquier elipse y a x b 2 2 2 2 1 x b y a 2 2 2 2 1 Vé rtices A A Focos F F Dom = Im = [ Relación Pitagórica Log LL' = 2 1 2 1 2 2 ( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; ) [ ; ] ; ] 0 0 0 0 0 0 1 2 2 2 2 a a b b c c b b a a a b c b a e c a E x a y b S' :^ ' 2 ' 2 2 2 1
F 1 ( c ; 0 ) F 2 ( c ; 0 ) siendo c 0 ( x ; y ) H : F 1 F 2 2 a ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x c y x c y a x c y a x c y x c y a a x c y x c y x c x c a a x c y x c x c c x a a x c y c a x a x c y c a x c x a x (^) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 4 4 2 4 4 4 2 ( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 0 c x c y c a x y c a c a c a c a c a c a b c a b a x y b b en el triangulo F F F F F P P F por desigualdad triangular : F P P F F F F F F P P F F F F P P F entonces llamamos reemplazandolo en la ecuacion mult. m. a. m por 1 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 : . , x a y b 2 2 2 2 1 y b a x a x x a a a 2 2 Dom = { R^2 2 Im = R posee centro de simetría / } ( ; ] [ ; )
Asintotas oblicuas Para y m x k x y m Lím y x Lím b a x a x b a Lím a x b a m b a x x x 0 0 1 (^2 2 ) 2 k Lím y m x Lím b a x a b a x b a Lím x a x b a Lím x a x x a x x a x x x x x (^) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b a Lím x a x x a x b a Lím a x a x b a k y b a x y b a x a y a b y b a b c x x 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 Asintota Asintota por simetria ) vertices reales vertices imaginarios diametro real : diametro imaginario distancia focal ( ( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; ) : :
c^2 a^2 b^2 y b a c a b a b L (^) a Long LL' = 2 2 2 2 2 e c a c a e 1 y a x b 2 2 2 2 1 (^) x b y a 2 2 2 2 1 (^ ^ ^ ;^ ^ a^ ]^ ^ [^ a ;^ ^ ) Asintotas: Vertices reales: A Vertices imaginarios: 1 1 y a b x y a b x a a b b ; ( ; ) ; ( ; ) ( ; ) ( ; ) 0 0 0 0 2 2
x y x y x x y y x y 2 2 2 2 2 4 4 4 4 4 ^ ^ ^ ^ (^) (^) C D F = 0 A. C 0 A D A D C E C E C D E C F A D 2 A C E 2 C D C + E A 4 A C F A C Como A. C < 0 entonces el lugar geometrico dependera de (D C + E A 4 A C F) Si D C + E A 4 A C F 0 hiperbola con centro en C D 2 A ; E 2 C Si D C + E A 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (^2 2 4) A C F 0 dos rectas concurrentes en el punto C D 2 A ; E 2 C son las asintotas de las hiperbolas anteriores
