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Lecturas Matemáticas Volumen 40 (2) (2019), páginas 149- ISSN 0120-
Conjuntos parcialmente ordenados y retículos
Partially ordered sets and lattices
Jhon Bladimir Caicedo y Rafael S. González D’León
Universidad Sergio Arboleda, Colombia
RESUMEN. Notas de clase del minicurso de introducción a los conjuntos parcialmente ordenados y retículos. La mayor parte de estas notas está basada en la obra y notas de clase de Richard Stanley [ 5 , Capítulo 3] y en el artículo de Federico Ardila [ 1 , Sección 4] para la parte de conjuntos parcialmente ordenados; y en las notas de clase de Michelle Wachs [8] para la parte de topología de conjuntos parcialmente ordenados. Palabras clave: Conjuntos parcialmente ordenados, posets, retículos, álgebra de inci- dencia, función de Möbius, complejos simpliciales.
ABSTRACT. Lecture notes of the minicourse “Introduction to partially ordered sets and lattices”. A great part of these notes is based on the work and lecture notes by Richard Stanley [ 5 , Capítulo 3] and Federico Ardila [ 1 , Sección 4] for the part on partially ordered sets, and on the lecture notes of Michelle Wachs [ 8 ] for the poset topology part. Key words: Partially ordered sets, Posets, lattices, Incidence algebras, Möbius function, Simplicial complexes.
2010 AMS Mathematics Subject classification: 05A15, 05A18, 05A19, 06A06, 06A07, 06A11, 06B05.
Índice
- Conjuntos parcialmente ordenados 150
1.1. Definiciones básicas............................. 150 1.2. Funciones entre posets........................... 152 1.3. Construcciones y operaciones entre posets................. 155
150 Caicedo y González D’León. Conjuntos parcialmente ordenados y retículos
- Retículos 156 2.1. Definiciones básicas............................. 156 2.2. Retículos distributivos........................... 158 2.3. Retículos geométricos............................ 159
- Álgebras de incidencia y la función de Möbius 163 3.1. Álgebras de incidencia........................... 163 3.2. Algunas funciones en I(P )......................... 164 3.3. Calculando la función de Möbius...................... 165 3.4. La fórmula de inversión de Möbius..................... 167
- Topología de posets 169
- Agradecimientos 171
- Ejercicios 171
- Conjuntos parcialmente ordenados En esta sección estudiaremos las definiciones y construcciones básicas en la teoría de conjuntos parcialmente ordenados. Existen múltiples referencias en la literatura en combinatoria que tratan sobre el tema y en estas notas de clase no pretendemos ser exhaus- tivos. Algunas de las demostraciones de los teoremas, lemas y proposiciones presentados han sido incluídas y otras se han dejado al lector o han sido omitidas pensando en que la presentación de los temas sea lo suficientemente clara. El lector interesado en profundizar en el tema puede visitar [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8].
1.1. Definiciones básicas Definición 1.1. Un conjunto parcialmente ordenado, también llamado po-conjunto o poset (por su nombre en inglés), es un par (P, ≤) en donde P es un conjunto y ≤ es una relación de orden, o sea una relación binaria que es:
(I). (Reflexiva) Para todo x ∈ P se tiene x ≤ x. (II). (Antisimétrica) Para x, y ∈ P se tiene que x ≤ y y y ≤ x implica x = y.
(III). (Transitiva) Para x, y, z ∈ P se tiene que x ≤ y y y ≤ z implica x ≤ z.
Uno de los ejemplos más simples que se puede dar de un conjunto parcialmente ordenado es el de una colección C de conjuntos relacionados por la relación de inclusión no estricta “⊆", en donde A ⊆ B quiere decir que todo elemento de A es también un elemento de B. En esta relación tenemos que para todo conjunto A es cierto que A ⊆ A,
152 Caicedo y González D’León. Conjuntos parcialmente ordenados y retículos
∅
1 2 3
12 13 23
123
B 3
1 | 2 | 3
1 | 23 12 | 3 13 | 2
123
Π 3
1
2
3
3
1
3
9
5
15
45
D 45
Figura 1. Ejemplos de posets.
del diagrama de Hasse de las clases de equivalencia de un preposet sobre el conjunto {a, b, c, d, e, f, g, h}. En este caso tenemos por ejemplo que b ≤ c y c ≤ b pero b 6 = c.
a
d^ {b, c}
{e, f, g} (^) h
Figura 2. Diagrama de Hasse de un preposet.
Observación 1.7. Decimos que un poset P es finito si |P | < ∞. En un poset finito es suficiente con describir las relaciones de cobertura para describir todo el poset (véase la figura 1). Esto no es cierto para un poset infinito, por ejemplo en R con su relación de orden total clásica no existen relaciones de cobertura. En este minicurso trabajaremos con posets finitos a no ser que se especifique lo contrario.
1.2. Funciones entre posets Definición 1.8. Una función monótona, preservante de orden, función de posets o morfismo de posets es una función f : P → Q en donde P y Q son posets y siempre que x ≤P y tenemos que f (x) ≤Q f (y). Un isomorfismo entre los posets P y Q es una biyección monótona f : P → Q tal que su inversa f −^1 : Q → P también es monótona. En el lenguaje de la teoría de categorías diríamos que un isomorfismo de posets es un isomorfismo en la categoría Poset formada por posets y funciones monótonas. Definición 1.9. Para un poset P definimos su poset dual P ∗^ como el poset formado por el mismo conjunto de elementos que P pero tal que x ≤P ∗ y si y solo si y ≤P x. La figura 3 muestra los diagramas de Hasse de un poset y su dual.
Proposición 1.10. El algebra de Boole Bn es auto-dual, es decir, Bn ∼= B∗ n.
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0
1 2
3
P
0
1 2
P ∗ 3
Figura 3. Un par de posets duales.
Demostración. La función definida como A 7 → [n]\A para cada A ⊆ [n] es una biyección que claramente es monótona y su inversa es monótona, o sea es un isomorfismo de posets.
Ejemplo 1.11. Una composición de n es una sucesión finita de enteros positivos cuya suma es igual a n. Por ejemplo (2, 1 , 1 , 3 , 1) es una composición de 8. Denotemos COMPn al conjunto de composiciones de n. Para ν, μ ∈ COMPn definimos la relación de co- bertura ν l μ si μ puede ser obtenido de ν sumando entradas adyacentes, por ejemplo (2, 1 , 1 , 3 , 1) l (2, 1 , 4 , 1).
Proposición 1.12. Tenemos que COMPn ∼= Bn− 1.
Demostración. Sea f : COMPn → B∗ n− 1 la función definida por f (μ) = {μ 1 , μ 1 + μ 2 , μ 1 + μ 2 + μ 3 ,... , μ 1 + μ 2 + · · · + μ|μ|− 1 } en donde |μ| es el número de elementos en μ.
f es una biyección: f tiene una inversa f −^1 : B∗ n− 1 → COMPn definida como f −^1 (A) = (a 1 , a 2 − a 1 , a 3 − a 2 ,... , a|A| − a|A|− 1 , n − a|A|) para A = {a 1 < a 2 < · · · < a|A|}. f es monótona: Sea μ l ν, para algún r ∈ [|μ| − 1] tenemos que νi = μi siempre que i < r, νr = μr + μr+1 y νi = μi+1 siempre que i > r. Entonces
∑i ∑ j=1^ νj^ = i j=1 μj^ cuando^ i < r, y^
∑i j=1 νj^ =^
∑i+ j=1 μj^ cuando^ i^ ≥^ r^ y entonces^ f^ (μ)^ ⊇ f (ν). Como estamos trabajando con posets finitos solo tenemos que chequear que f es monótona en relaciones de cobertura ya que a la conclusión se llega por inducción. f −^1 es monótona: Sea A = {a 1 < a 2 < · · · < a|A|} ⊇ B = {a 1 < a 2 < · · · < ˆar < · · · < a|A|} una relación de cobertura en B∗ n− 1 , en donde ˆar indica que el elemento ar ha sido removido de A. Entonces por definición tenemos que f −^1 (B)i = f −^1 (A)i para i < r, f −^1 (B)r = ar+1 − ar− 1 = ar+1 − ar + ar − ar− 1 = f −^1 (A)r + f −^1 (A)r+1 y f −^1 (B)i = f −^1 (A)i+1 para i > r.
Proposición 1.13. Si f : P → P es una biyección monótona y P es un poset finito entonces f es un automorfismo de posets.
Demostración. Si f es la función identidad entonces la conclusión es trivial. En cualquier otro caso, como f es una biyección sobre el mismo conjunto, entonces es una permutación
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Proposición 1.16. Si P es un poset finito graduado entonces existe una función bien definida ρ : P → N 0 (llamada función de grado) tal que ρ(x) = 0 siempre que x ∈ Min(P ) y si x l y entonces ρ(y) = ρ(x) + 1.
Cuando P es graduado con función de grados ρ decimos que el grado de un elemento x es ρ(x). La función generadora por grados de P es el polinomio
F (P, t) :=
x∈P
tρ(x).
Ejemplo 1.17. (a) F (Cn, t) = 1 + t + · · · + tn^ =^1 −^ t
n+ 1 − t
= [n + 1]t.
(b) F (Bn, t) = (1 + t)n. (c) F (Πn, t) =
∑n− 1 k=0 S(n, n^ −^ k)t
k (^) en donde S(n, k) es el número de particiones de [n] en exactamente k bloques. Los números S(n, k) son conocidos como los números de Stirling del segundo tipo.
1.3. Construcciones y operaciones entre posets
Definición 1.18. Entre posets P y Q también tenemos las siguientes operaciones:
(I) (Unión disjunta) La unión disjunta o suma directa P +Q se define como el poset cuyo conjunto de elementos es P t Q y cuya relación de orden está dada por x ≤P +Q y si y solo si x ≤P y o x ≤Q y. (II) (Producto directo) El producto directo o producto cartesiano P × Q es el poset cuyo conjunto de elementos es P × Q y cuya relación de orden está dada por (x, x′) ≤P ×Q (y, y′) si y solo si x ≤P y y x′^ ≤Q y′. (III) (Sum ordinal) La suma ordinal P ⊕ Q es el poset en P t Q cuya relación de orden está dada por x ≤P ⊕Q y si y solo si x ≤P y, x ≤Q y o x ∈ P y y ∈ Q. (IV) (Producto ordinal) El producto ordinal o producto diccionario P ⊗ Q es el poset con elementos P × Q y cuya relación de orden está dada por (x, x′) ≤P ×Q (y, y′) si y solo si x ≤P y o x = y y x′^ ≤Q y′. (V) (Potencia) Denotamos QP^ al poset formado por todas las funciones monótonas f : P → Q con relación de orden dada por f ≤ g para f, g ∈ QP^ si f (t) ≤ g(t) para todo t ∈ P.
Ilustraremos algunas de estas operaciones para los posets P y Q de la figura 5. Las operaciones entre P y Q se muestran en la figura 6.
156 Caicedo y González D’León. Conjuntos parcialmente ordenados y retículos
Q
a
b c
P
Figura 5. Posets Q y P.
a
b c^3
P + Q
(a, 3)
(b, 3) (c, 3)
(a, 1)
(b, 1) (c, 1)
(a, 2)
(b, 2) (c, 2)
P × Q
a
b c
P ⊕ Q
(b, 3)
(b, 1) (b, 2)
(c, 3)
(c, 1) (c, 2)
(a, 3)
(a, 1) (a, 2) P ⊗ Q
Figura 6. Operaciones con los posets de la figura 5.
- Retículos 2.1. Definiciones básicas Sea P un poset. Para un subconjunto A ⊆ P decimos que u ∈ P es una cota superior de A si u ≥ x para todo x ∈ A. A u le llamamos cota superior mínima, supremo o juntura (en inglés se usa comúnmente la palabra “join”) de los elementos de A si para cualquier otra cota superior z se cumple que z ≥ u. De la misma manera, definimos el concepto de cota inferior de A como un elemento l ∈ P tal que l ≤ x para todo x ∈ A y a l le llamamos cota inferior máxima, ínfimo o concurrencia (en inglés se usa comúnmente la palabra “meet”) si cualquier otra cota inferior z cumple que z ≤ l. Usaremos la notación ∨A y
158 Caicedo y González D’León. Conjuntos parcialmente ordenados y retículos
Observación 2.7. La Proposición 2.6 falla cuando P no es finito, considerese por ejemplo el poset {ˆ 0 } ⊕ (C 0 + C 0 ) ⊕ N∗. Ejemplo 2.8. El poset B≤k formado por los subconjuntos de [n] de cardinalidad a lo sumo k o exactamente n es un retículo.
2.2. Retículos distributivos Definición 2.9. Un retículo L se dice que es distributivo si satisface las leyes distributivas:
(D1) x ∨ (y ∧ z) = (x ∨ y) ∧ (x ∨ z) para todo x, y, z ∈ L.
(D2) x ∧ (y ∨ z) = (x ∧ y) ∨ (x ∧ z) para todo x, y, z ∈ L.
Observación 2.10. Un retículo satisface la propiedad (D1) si y solo si satisface la propiedad (D2).
Ejemplo 2.11. Las operaciones sobre conjuntos ∧ = ∩ y ∨ = ∪ cumplen con las propiedades (D1) y (D2) entonces Bn es un retículo distributivo.
Un ideal de orden (inferior) I es un subconjunto de un poset P tal que si x ∈ I y z ≤ x entonces z ∈ I. Similarmente un ideal de orden superior o filtro U es un subconjunto de P tal que si x ∈ I y x ≤ z entonces z ∈ I. Como estamos trabajando con posets finitos, podemos caracterizar un ideal de orden I por su conjunto de elementos maximales Max(I). Nótese que todo par de elementos en Max(I) es incomparable, un conjunto con esta propiedad se conoce como una anticadena. Como cada anticadena también describe un ideal de orden entonces hay una biyección entre anticadenas de P e ideales de orden de P. Para un subconjunto A ⊆ P denotamos I(A) := {z ∈ P | z ≤ x para algún x ∈ A} el ideal de orden generado por A y si |A| = 1 este ideal se le llama principal. El conjunto J(P ) de ideales de orden de P tiene la estructura de un poset cuando consideramos la relación de inclusión (ver la figura 8).
a
b c
P
∅
{a}
{a, b} {a, c}
{a, b, c}
J(P )
Figura 8. Ejemplo de J(P ) para un poset finito P.
Proposición 2.12. Sea P un poset finito, entonces J(P ) es un retículo distributivo.
Demostración. Nótese que siempre que I e I′^ son ideales de orden en J(P ) entonces I ∩I′^ e I ∪I′^ también lo son. Entonces J(P ) es un subposet del álgebra de Boole BP en los
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elementos de P cerrado al tomar uniones e intersecciones (también llamado subretículo). Y sabemos que uniones e intersecciones en BP satisfacen (D1) y (D2).
Observación 2.13. Nótese que si P es un poset con n elementos, entonces J(P ) es graduado de grado n.
Definición 2.14. A un elemento x 6 = ˆ 0 de un retículo L le llamamos irreducible (con respecto a juntura) si x = a ∨ b implica que a = x o b = x, es decir, x no se puede expresar como la juntura de dos elementos estrictamente menores.
Lema 2.15. Si x ∈ L es irreducible entonces cubre exactamente un elemento de L.
Proposición 2.16. Sea P un poset finito. El subposet de J(P ) formado por los elementos irreducibles es isomorfo a P.
Demostración. Sea I ∈ J(P ) irreducible. Gracias al lema 2.15 sabemos que I cubre exactamente un elemento, y esto es verdad si y solo si I = I(x) es un ideal de orden principal, en donde x ∈ P. Tenemos entonces una biyección entre los elementos x ∈ P y los irreducibles (ideales de orden principales) I(x) ∈ J(P ). Adicionalmente I(x) ⊆ I(y) si y solo si x ≤ y.
Teorema 2.17 (Teorema Fundamental de los Retículos Finitos Distributivos). Sea L un retículo finito distributivo. Entonces existe un único poset finito (salvo isomorfismo) P tal que L ∼= J(P ).
Bosquejo de la demostración. Sea P el subposet formado por los irreducibles de L. Que- remos mostrar que L ∼= J(P ). Para esto consideramos la función ψ : L → J(P ) que para cada x ∈ L está dada por ψ(x) = {z ∈ P | z ≤ x}. Esta función es claramente monótona y cuenta con una inversa dada por
φ(I) =
z∈I
z
que es también claramente monótona.
2.3. Retículos geométricos Definición 2.18. A un retículo graduado L se le llama semimodular (superior) si su función de grados ρ cumple que
ρ(x) + ρ(y) ≥ ρ(x ∧ y) + ρ(x ∨ y) ∀x, y ∈ L. (2.1)
El concepto de semimodular inferior se define de manera similar cambiando la dirección de la desigualdad y decimos que L es modular cuando la relación es dada por la igualdad.
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Proposición 2.20. Un retículo finito L es modular si y solo si cumple:
∀x, y, z ∈ L tal que x ≤ z, tenemos x ∨ (y ∧ z) = (x ∨ y) ∧ z. (2.2)
Demostración. (⇒) Sea L modular y x, y, z ∈ L sean tal que x ≤ z. Primero notemos que x ≤ z y que x ≤ x ∨ y así que x ≤ (x ∨ y) ∧ z. De manera similar tenemos que y ∧ z ≤ y ≤ x ∨ y y y ∧ z ≤ z así que (y ∧ z) ≤ (x ∨ y) ∧ z. Combinando estos dos hechos concluimos que x ∨ (y ∧ z) ≤ (x ∨ y) ∧ z. (2.3)
Ahora, por hipótesis sabemos que L es modular, por tanto se cumple que
ρ(x ∨ (y ∧ z)) = ρ(x) + ρ(y ∧ z) − ρ(x ∧ (y ∧ z))
para todo x, y, z ∈ L. Como x ≤ z tenemos que ρ(x ∧ (y ∧ z)) = ρ(x ∧ y). Utilizando esto, la definición de modularidad en ρ(y ∧ z) esta ecuación queda
ρ(x ∨ (y ∧ z)) = ρ(x) + ρ(y) + ρ(z) − ρ(y ∨ z) − ρ(x ∧ y).
Por otra parte, utilizando un procedimiento similar al anterior obtenemos
ρ((x ∨ y) ∧ z) = ρ(x) + ρ(y) + ρ(z) − ρ(y ∨ z) − ρ(x ∧ y),
que al combinarlo con lo anterior nos lleva a concluir que
ρ((x ∨ y) ∧ z) = ρ(x ∨ (y ∧ z)). (2.4)
Las ecuaciones (2.3) y (2.4) implican, usando la definición de la función ρ, que
(x ∨ y) ∧ z = x ∨ (y ∧ z).
(⇐) Tenemos por hipótesis que para todo x, y, z ∈ L tal que x ≤ z se cumple que x ∨ (y ∧ z) = (x ∨ y) ∧ z. (2.5)
Vamos a demostrar primero que L es semimodular superior usando la Proposición 2. parte (II).
Tomemos x e y no comparables en L (ya que el caso comparable es trivial) tal que x ∧ y l y y supongamos que x ∨ y no cubre x. Entonces existe z ∈ [x, x ∨ y] tal que x ∧ y < x < z < x ∨ y. Nótese que y y z no pueden ser comparables ya que x e y no lo son. Como z ≤ y ∨ x tenemos que
(x ∨ y) ∧ z = z. (2.6)
Como x ≤ z tenemos que x ∧ y ≤ z ∧ y < y. Por otra parte el hecho de que x ∧ y l y y z e y no son comparables implica que y ∧ z = y ∧ x. Usando la ecuación (2.6) tenemos que
(x ∨ y) ∧ z = z > x = x ∨ (y ∧ x) = x ∨ (y ∧ z),
lo cual contradice la ecuación (2.5) y por lo tanto concluimos que L es semimodular superior. El hecho de que L es semimodular inferior se obtiene usando el mismo argumento en el dual.
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Observación 2.21. Nótese que la Proposición 2.20 implica que todo subretículo de un retículo modular es también modular.
Observación 2.22. Es un corolario de la Proposición 2.20 que todo retículo finito distri- butivo es también modular. En la figura 9 se muestra un ejemplo de un retículo que es semimodular pero no es modular. Ejemplo 2.23. El álgebra de Boole Bn es un ejemplo de un retículo modular ya que para todo par de conjuntos A y B se tiene que
|A| + |B| = |A ∪ B| + |A ∩ B|.
x ∧ y
x • y
x ∨ y
Figura 9. Retículo semimodular pero no modular.
Definición 2.24. En un poset P con ˆ 0 llamamos átomo a un elemento a que cubre al ˆ 0. Decimos que un retículo L es atómico si todo elemento x ∈ L se puede expresar como una juntura x =
a∈A′^ a^ en donde^ A
′ (^) es un conjunto de átomos. Un retículo atómico semimodular finito se conoce como un retículo geométrico.
Observación 2.25. La razón detrás del nombre retículo geométrico es que estos precisa- mente son los retículos de conjuntos cerrados de matroides simples (también conocidas como geometrías combinatorias).
Ejemplo 2.26. Bn es atómico y modular así que también es geométrico. Proposición 2.27. Un retículo finito L es geométrico si y solo si satisface la siguiente condición:
x l y ⇐⇒ ∃ a m ˆ 0 tal que y = x ∨ a. (2.7)
Ejemplo 2.28. En Πn un átomo es una partición en donde todos los bloques excepto uno son singuletes y el bloque que no es singuelete contiene dos elementos. Para cada relación de cobertura π l π′^ en Πn podemos considerar los dos bloques B 1 , B 2 ∈ π que se combinan en un solo bloque en π′. Seleccionemos cualesquier elementos x ∈ B 1 y y ∈ B 2 y llamemos ax,y al átomo cuyo único bloque que no es singulete es {x, y}. Es fácil de chequear que π′^ = π ∨ ax,y. Entonces por la Proposición 2.27 concluimos que Πn es geométrico. Nótese que esto en particular implica que Πn es a la vez semimodular y atómico.
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3.2. Algunas funciones en I(P ) Definición 3.4. La función zeta ζ es la función en I(P ) definida para todo x ≤ y en P por ζ([x, y]) = 1.
Ejemplo 3.5. Nótese que las potencias de ζ cuentan ciertos invariantes de P. Por ejemplo,
ζ?^2 ([x, y]) := ζ? ζ([x, y]) =
x≤z≤y
ζ([x, z])ζ([x, y]) = |{z ∈ P | x ≤ z ≤ y }|.
Definición 3.6. Una multicadena de orden k en un poset P es una sucesión de la forma m 1 ≤ m 2 ≤ · · · ≤ mk en donde mi ∈ P para todo i.
Proposición 3.7. Sea P un poset acotado finito, entonces
ζ?k(P ) = |{ˆ0 = x 0 ≤ x 1 ≤ · · · ≤ xk = ˆ 1 }|, es decir, ζ?k^ cuenta multicadenas de orden k + 1.
Si lo que queremos contar son cadenas en lugar de multicadenas podemos usar una función un poco modificada.
Proposición 3.8. Sea P un poset acotado, entonces
(ζ − )?k(P ) = |{ˆ0 = x 0 < x 1 < · · · < xk = ˆ 1 }|.
Demostración. Nótese que
(ζ − )([x, y]) =
1 si x < y 0 si x = y.
Proposición 3.9. Sea P un poset acotado, entonces
(2 − ζ)−^1 (P ) = |{ˆ0 = x 0 < x 1 < · · · < xk = ˆ 1 | para algún k ∈ N}|.
Demostración. Nótese que
(2 − ζ)([x, y]) =
− 1 si x < y 1 si x = y
entonces (2 − ζ) es invertible y podemos expresar (2 − ζ)−^1 = ( − (ζ − ))−^1. Ahora consideremos la función
k≥ 0 (ζ^ −^ )
?k (^) en donde (ζ − ) (^0) = . Esta es una función
válida en I(P ) ya que P es finito y entonces (ζ − )?N^ = 0 para todo N > `(P ). Además tenemos que
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( − (ζ − ))?
k≥ 0
(ζ − )?k^ = ,
o sea que
(2 − ζ)−^1 =
k≥ 0
(ζ − )?k.
Finalmente el resultado se concluye usando la Proposición 3.8.
Nótese que ζ([x, x]) = 1 para todo x ∈ P. Sabemos entonces por la Proposición 3. que ζ es invertible en I(P ).
Definición 3.10. La función de Möbius μ es la inversa de ζ, o sea μ := ζ−^1.
3.3. Calculando la función de Möbius
Proposición 3.11. La función de Möbius μ puede definirse recursivamente para un inter- valo [x, y] como
μ([x, y]) =
1 si x = y −
x≤z<y μ([x, z])^ en cualquier otro caso.^
Demostración. Como μ es la inversa de ζ, tenemos que μ? ζ = , lo que implica que
μ? ζ([x, x]) = μ([x, x])ζ([x, x]) = ([x, x]) = 1,
o sea que μ([x, x]) = 1. Y si x < y entonces
μ? ζ([x, y]) =
x≤z≤y
μ([x, z])ζ([z, y]) = ([x, y]) = 0,
lo que implica la fórmula que buscamos.
− 1 − 1 − 1
+1 (^0)
Figura 10. Valores μ([ˆ 0 , x]) de la función de Möbius.
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Teorema 3.15 (Teorema de Weisner). Para todo x ≤ w < y en un retículo L tenemos que ∑
xw≤∧zz≤=yx
μ([z, y]) = 0. (3.2)
Ejemplo 3.16. En Πn escojamos w como el coátomo 12 · · · (n − 1)|n. Nótese que los valores de z ∈ Πn tales que w ∧ z = ˆ 0 son z = ˆ 0 o elementos de la forma z = 1 | 2 | · · · |ˆi| · · · (n − 1)|in, para los cuales se verifica que [z, ˆ1] ∼= Πn− 1. Usando el Teorema de Weisner tenemos entonces que
μ(Πn) + (n − 1)μ(Πn− 1 ) = 0.
Resolviendo ésta ecuación en diferencias tenemos que μ(Πn) = (−1)n−^1 (n − 1)!.
3.4. La fórmula de inversión de Möbius Proposición 3.17 (La fórmula de inversión de Möbius). Sea P un poset en el cuál para todo x ∈ P tenemos que |I(x)| < ∞ y sean f, g : P → k un par de funciones en P. Las siguientes dos aserciones son equivalentes:
g(y) =
x≤y
f (x) ∀y ∈ P (3.3)
f (y) =
x≤y
g(x)μ([x, y]) ∀y ∈ P. (3.4)
Demostración. El espacio vectorial kP^ formado por las funciones f : P → k tiene una acción por la derecha del álgebra de incidencia I(P ) dada por
f ξ(y) =
x≤y
f (x)ξ([x, y]) para todo f ∈ kP^ y para todo ξ ∈ I(P ).
Entonces la ecuación (3.3) se lee en este lenguaje como g = f ζ y entonces como ζ−^1 = μ tenemos que f = gμ que es la ecuación (3.4).
Proposición 3.18 (Forma dual del teorema de inversión de Möbius). Sea P un poset en el cuál para todo x ∈ P tenemos que |I(x)| < ∞ y sean f, g : P → k un par de funciones en P. Las siguientes dos aserciones son equivalentes:
g(y) =
x≥y
f (x) ∀y ∈ P (3.5)
f (y) =
x≥y
μ([y, x])g(x) ∀y ∈ P. (3.6)
168 Caicedo y González D’León. Conjuntos parcialmente ordenados y retículos
Ejemplo 3.19. (a) En la cadena n el teorema de inversión de Möbius es una versión discreta del Teorema Fundamental del Cálculo. Las siguientes dos aserciones son equivalentes:
g(n) =
∑^ n
k=
f (k) ∀n ∈ N (3.7)
f (n) = g(n) − g(n − 1) ∀n ∈ N. (3.8)
(b) En el álgebra de Boole Bn el teorema de inversión de Möbius es conocido como el Principio de Inclusión-Exclusión. Las siguientes dos aserciones son equivalentes:
g(A) =
B⊆A
f (B) ∀A ⊆ [n] (3.9)
f (A) =
B⊆A
(−1)|A|−|B|g(B) ∀A ⊆ [n]. (3.10)
(c) Si en el álgebra de Boole las funciones g(A) y f (A) solamente dependen de la cardinalidad del conjunto A entonces obtenemos un teorema de inversión conocido como Teorema de Inversión Binomial. Las siguientes dos aserciones son equivalentes:
g(n) =
∑^ n
k=
n k
f (k) ∀n ∈ P := { 1 , 2 ,... } (3.11)
f (n) =
∑^ n
k=
n k
(−1)n−kg(k) ∀n ∈ P. (3.12)
(d) En el retículo de divisibilidad Dn el teorema de inversión de Möbius es un teorema clásico en la teoría de números. Las siguientes dos aserciones son equivalentes:
g(n) =
d|n
f (d) ∀n ∈ P (3.13)
f (n) =
d|n
μ
( (^) n d
g(d) ∀n ∈ P, (3.14)
en donde μ(n) es la función de Möbius clásica de teoría de números dada por:
μ(n) =
(−1)k^ si n = p 1 p 2... pk es libre de cuadrados 0 en cualquier otro caso.
Ejemplo 3.20. Dado un alfabeto A de tamaño |A| = m, Una palabra circular de longitud n es una clase de equivalencia de palabras lineales w = w 1 w 2... wn bajo la acción de la operación de desplazamiento o shift τ w = wnw 1 w 2... wn− 1. Una palabra circular es llamada primitiva si su clase de equivalencia contiene exactamente n palabras lineales distintas. Denotemos por a(n) al número de palabras circulares primitivas de longitud n y b(n) al número de todas las palabras circulares de longitud n (primitivas y no primitivas).
