Continuidad, límites y asíntotas, Apuntes de Administración de Negocios

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Continuidad, límites

y asíntotas

Funciones

Introducción

El estudio de la continuidad de una función se inicia desde el análisis de la gráfica de la función. Este análisis, intuitivo y fácil, pero insuficiente pa-

ra resolver todos los problemas, conduce a la necesidad de una herra- mienta analítica que permita estudiar la continuidad de una función de

forma precisa. Esta herramienta es el concepto de límite.

Tan importante como el concepto de continuidad de una función es el

concepto de función discontinua y su clasificación. Por esta razón, el te- ma comienza analizando las funciones parte entera, parte decimal, la fun-

ción signo, el valor absoluto de una función y funciones definidas a trozos. Estas funciones son muy utilizadas como ejemplos de funciones disconti-

nuas y merece la pena estudiarlas en detalle.

Se profundiza, posteriormente, en el cálculo de límites de funciones poli-

nómicas, racionales e irracionales para resolver algunas indeterminacio- nes. Como caso particular, se estudian los límites de las sucesiones.

Como aplicación del cálculo de límites, se estudia el comportamiento de las funciones polinómicas en el + ∞ y en el – ∞, se calculan las asíntotas

de las funciones racionales y se estudia la posición de una curva respec- to de sus asíntotas.

tienen

pueden ser

pueden ser

si límf(x) = f(a) x →a

pueden tener

límites continuas

determinados indeterminados:

• (^) [ ]
• [ ]
• [∞∞ – ∞∞]
• [0 · ∞∞]
• [1∞∞]
• [∞∞^0 ]
• [0 0 ]

discontinuas:

• evitable
• 1ª especie
• 2ª especie

asíntotas:

• verticales
• horizontales
• oblicuas

Organiza tus ideas

Funciones

Tema 9. Continuidad, límites y asíntotas

1.2. Función definida por un valor absoluto

Para representar una función definida por un valor absoluto, se representa la

función prescindiendo del valor absoluto, y en los intervalos donde la función sea

negativa, se representa la parte simétrica respecto del eje X

Ejemplo

Representa la función y = |x^2 – 4|

1.3. Funciones definidas a trozos

Una función está definida a trozos si en distintos intervalos del dominio la fun-

ción está definida por una fórmula diferente. Son funciones muy útiles para estu-

diar la continuidad.

Para representar una función definida a trozos, se puede pensar en cada fórmula

por separado en toda la recta real, y luego representar solo la parte del intervalo en

el que está definida. Se debe prestar atención especial a los extremos finitos de los

intervalos del dominio de definición.

Ejemplo

Representa la gráfica de la función definida a trozos:

f(x) =

1 si x ≤ –

x^2 si –2 < x ≤ 1

2x – 5 si x > 1

1. Representa las funciones:

a) y = Ent(2x) b) y = |x|

2. Representa las funciones:

a) y = Signo(x 2 – 4) b) y = |–x 2 + 1|

3. Representa las funciones:

a) y = |log 2 x| b) y = |sen x|

4. Representa las funciones:

a) y = b) y =

5. Representa la función:

y =

2 x^ si x ≤ 1 –x + 3 si 1 < x ≤ 2 log 2 x si x > 2

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

1/x si x < 0 √

— x si x ≥ 0

⎧ ⎨ ⎩

x si x ≤ – x^2 si x > –

⎧ ⎨ ⎩

● Aplica la teoría

|f(x)| =

f(x) si f(x) ≥ 0

–f(x) si f(x) < 0

Observa que la gráfica de

f(x) es la de la parte derecha,

y que está compuesta por

tres trozos de funciones ele-

mentales, como se indica en

las dos imágenes de la iz-

quierda.

Y

X

y = x^2 – 4

Y

X

Y

X

y = |x^2 – 4|

Y

X

y = 1

y = x^2

y = 2x – 5

Y

X

Y

X

y = f(x)

Funciones

2.1. Estudio gráfico de la continuidad de una función

Una función es continua en un intervalo si se puede dibujar la gráfica en dicho in-

tervalo de un solo trazo. Las funciones elementales que se han estudiado hasta aho-

ra, que se expresan con una sola fórmula, son siempre continuas en su dominio.

Una función es discontinua en un punto si la gráfica de la función se “rompe”

en dicho punto.

Ejemplo

Estudia la continuidad de las siguientes funciones analizando su gráfica:

2.2. Límite de una función en un punto

El estudio gráfico de la continuidad de una función es evidente. Pero en la ma-

yoría de las ocasiones debe hacerse de forma analítica; es decir, a partir de la fór-

mula de la función. Para hacer el estudio analíticamente, hay que introducir el

concepto de límite.

Si una función es continua en un punto, el valor del límite coincide con el valor

de la función.

Ejemplo

x^2 = 2^2 = 4

Cuando la variable independiente x se aproxima a 2, tanto por valores mayo-

res como por valores menores, la variable dependiente y se aproxima a 4

lím

x→ 2

■ Piensa y calcula

Completa mentalmente las siguientes tablas:

2. Continuidad

El límite de la función f(x) en x = a es el valor al que se aproxima la función

f(x) cuando la variable independiente x se aproxima al valor x = a. Se repre-

senta por límf(x) y se lee “límite de f(x) cuando x tiende hacia a”.

x → a

x

y = Ent(x)

1,9 1,99 1,999 1,9999 x

y = Ent(x)

2,1 2,01 2,001 2,

Es una función polinómica y es

continua en todo su dominio,

la recta real,

Es una función racional y es

continua en todo el dominio.

Es discontinua en x = 0

Es una función irracional de índice

par y es continua en todo el

dominio.

Y

y = x X 2

P(2, 4)

4

2

x

y 3,9601 3,

Y

X

y = x^3 – 3x

Y

X

y = x 2

1

Y

X

- f(x) =^ x + 3

Funciones

■ Piensa y calcula

Completa la siguiente sucesión:

3. Discontinuidades

3.1. Función discontinua en un punto

Una función es discontinua en x = a si se cumple una de las tres condiciones si-

guientes:

a) No existe el valor de la función en x = a; es decir, no existe f(a)

b) No existe el límite de la función en x = a; es decir, no existe f(x)

c) Existen f(a) y el f(x), pero son distintos; es decir, f(a) ≠ f(x)

Existen tres tipos de discontinuidades: evitable, de 1ª especie y de 2ª especie.

3.2. Discontinuidad evitable

Ejemplo

Estudia la discontinuidad de las siguientes funciones:

a) f(x) =

Es discontinua en x = 3 porque

f(3) = 2 ≠ f(x) = –

En x = 3 tiene una discontinuidad evitable, y se evita definiendo f(3) = –

b) f(x) =

Esta función no está definida para x = 2

f(x) = x + 1 si x ≠ 2

Es discontinua en x = 2 porque no existe f(2) aunque f(x) = 3

En x = 2 tiene una discontinuidad evitable, y se evita definiendo f(2) = 3

lím

x→ 2

x^2 – x – 2

x – 2

lím

x→ 3

5 – x^2 si x ≠ 3

2 si x = 3

lím

x→a

lím

x→a

lím

x→a

Función continua en un intervalo (a, b) Una función es continua en un intervalo abierto (a, b) si lo es en todos los puntos de dicho in- tervalo.

Función continua en un intervalo cerrado [a, b] Una función es continua en un intervalo cerrado [a,b] si lo es en todos los puntos del intervalo abierto (a, b) y además lo es por la derecha en a y por la izquierda en b Esto quiere decir que: f(x) = f(a)

límf(x) = f(b) x→b–

lím x→a+

Una discontinuidad en x = a es evitable si existe el límite de la función en

x = a y es finito, pero es distinto del valor de la función en x = a o no existe el

valor de la función en x = a.

Esta discontinuidad se llama evitable porque la función se convierte en continua

al asignar el valor del límite al valor de la función en x = a:

f(a) = límf(x)

x→a

2,9 2,99 →^3 –^3 3 +^ ←^ 3,01 3,

Y

X 2

(^3) P(2, 3)

Y

X

• 4 P(3, – 4)

3

Q(3, 2)

Tema 9. Continuidad, límites y asíntotas

3.3. Discontinuidad de 1ª especie o de salto

Ejemplo

Estudia la discontinuidad de las siguientes funciones:

a) f(x) = Ent(x)

Es discontinua en los números enteros.

Por ejemplo, para x = 2 se tiene f(2) = 2

f(x) = 2 ≠ f(x) = 1

En cada número entero tiene una discontinuidad de 1ª especie de salto 1

b) f(x) =

Es discontinua en x = 3 porque no existe f(3)

f(x) = + ∞ f(x) = – ∞

En x = 3 tiene una discontinuidad de 1ª especie de salto infinito.

3.4. Discontinuidad de 2ª especie

Ejemplo

Estudia la discontinuidad en x = 2 de la función: f(x) =

f(x) = = = 0

f(x) no existe.

En x = 2 tiene una discontinuidad de 2ª especie.

lím

x→ 2 –

lím√x – 2 √ 2 +^ – 2

x→ 2 +

lím

x→ 2 +

√x – 2

lím

x→ 3 –

lím

x→ 3 +

x

x – 3

lím

x→ 2 –

lím

x→ 2 +

10. Representa la siguiente función y estudia sus disconti-

nuidades:

f(x) =

11. Representa la siguiente función y estudia sus disconti-

nuidades: y = Dec(x)

12. Representa la siguiente función y estudia sus disconti-

nuidades: y =

13. Representa la siguiente función y estudia sus disconti-

nuidades:

y =

14. Representa la siguiente función y estudia sus disconti-

nuidades: y = tg x

15. Representa la siguiente función y estudia sus disconti-

nuidades:

f(x) = 3 – x^

(^2) si x ≠ – 5 si x = –

⎧ ⎨ ⎩

3x – 1 x – 1

√x + 1

–x + 1 si x ≠ 3 2 si x = 3

⎧ ⎨ ⎩

● Aplica la teoría

Una discontinuidad en x = a es de 1ª especie o de salto si existen los lími-

tes laterales y son distintos, o alguno es infinito.

Se llama de salto finito si los límites laterales son finitos, y de salto infinito

si alguno de los límites laterales es infinito.

Una discontinuidad en x = a es de 2ª especie si uno o los dos límites late-

rales no existen.

Y

X 2

1

2

y = Ent(x)

Y

X

y = x – 2

2

-

Y

X 3

y = x x – 3

Tema 9. Continuidad, límites y asíntotas

4.3. Límites de funciones racionales

Las funciones racionales son siempre continuas en su dominio, que es
menos

las raíces del denominador.

Ejemplo

= = [ ] = = =

La función es como la hipérbola y = 1/x, salvo que para x = 2 no está definida.

Ejemplo

Calcula el

• Límite por la derecha: = = = + ∞
• Límite por la izquierda: = = = – ∞
• Si el grado del numerador es menor que el del denominador, el límite es cero.
• Si los grados son iguales, el límite es el cociente de los coeficientes principales.
• Si el grado del numerador es mayor que el del denominador, el límite es + ∞ o
• ∞, según resulte de operar los signos de los coeficientes principales con las po-

tencias correspondientes.

2 · 3–^ – 5

3 –^ – 3

2x – 5

x – 3

lím

x→ 3 –

2 · 3+^ – 5

3 +^ – 3

2x – 5

x – 3

lím

x→ 3 +

2x – 5

x – 3

lím

x→ 3

x

lím

x→ 2

x – 2

x(x – 2)

lím

x→ 2

x – 2

x^2 – 2x

lím

x→ 2

16. Calcula mentalmente los siguientes límites:

a) (–5x^3 + 3x – 7) b) (x 4 – 5x 3 + 3)

17. Calcula los siguientes límites y representa la función

correspondiente:

a) b)

18. Calcula mentalmente los siguientes límites:

a) b)

c) d)

e) f) x

(^2) + 3 4x 3 – 5 xlím→–∞

x^2 + 3 4x 3 – 5 xlím→+∞

–x 5 + 3x 2 7x 3 – 1

lím x→–∞

–x^5 + 3x 2 7x 3 – 1

lím x→+∞

3x 2 + 5x –2x 2 + 7

lím x→–∞

3x 2 + 5x –2x 2 + 7

lím x→+∞

–3x + 5 xlím→ 1 x – 1

x^2 – 4 xlím→–2x + 2

lím x→–∞

lím x→+∞

● Aplica la teoría

Ejemplo

5x = – ∞

3 – 3x

–4x^2 + 1

lím

x→+∞

–5x^2 – 7x + 1

3x^2 + 2x + 4

lím

x→–∞

3x – 5

x^3 – 4x^2 + 7

lím

x→+∞

a) Límite en una raíz del numerador y del denominador

Por ser a raíz del numerador y del denominador, ambos son divisibles por x – a.

La indeterminación se evita dividiendo el numerador y el denominador por x – a

b) Límite en una raíz solo del denominador

Por ser a solo raíz del denominador, el límite es + ∞ o – ∞, y por lo general

será distinto por la derecha y por la izquierda, por lo que se deben hallar los

límites laterales.

c) Límite de una función racional cuando x → ± ∞

Se aplica el siguiente criterio:

0 si n < m

an

— si n = m

bm

± ∞ si n > m

anxn^ + … + a 1 x + a 0

bmxm^ + … + b 1 x + b 0

lím

x→±∞

Y

X 2

y = x – 2 x^2 – 2x

Y

X

3

y = 1 x – 3

• 2

y = 2x – 5x – 3

Funciones

5. Límites de funciones irracionales y límites de operaciones

5.1. Límites de funciones irracionales

a) Límite de una función irracional cuando x tiende a un extremo del

dominio

Cuando el índice de la raíz es par, solo existe un límite lateral.

Ejemplo

Halla el límite de f(x) = cuando x → –3+

Fíjate que no tiene sentido porque a la izquierda de –3 no exis-

te la función.

b) Límite de una función irracional cuando x → ±∞

Cuando el índice es par, puede que alguno de los límites o los dos no existan por

no estar definida la función para valores muy grandes o muy pequeños.

Ejemplo

Halla el límite de f(x) = cuando x → ± ∞

no existe, por no estar definida la función para x > 1

5.2. Límites de operaciones con funciones

A veces, cuando hay que hallar el límite de una función, ésta es la suma, diferen-

cia, cociente, etc., de funciones elementales, por lo que habrá que operarlas pre-

viamente. Cuando se trabaja con radicales, suele ser muy útil multiplicar y dividir

por la expresión conjugada.

Ejemplo

(x –^ ) = [∞^ –^ ∞] =^ =

= = = [ ∞] = 2

2x

x + 2

lím

x→+∞

x^2 + 2x – x 2

x + 2

lím

x→+∞

x(x + 2) – x^2

x + 2

lím

x→+∞

x^2

x + 2

lím

x→+∞

lím √1 – x √1 – (– ∞) √1 + ∞ √+ ∞

x→–∞

lím √1 – x

x→+∞

√1 – x

lím √x + 3

x→–3–

lím √x + 3 √–3+^ + 3 √ 0 +

x→–3 +

√x + 3

a) Límite de la diferencia de funciones racionales

Se suele evitar la indeterminación operando previamente.

■ Piensa y calcula

Halla el resultado de operar los siguientes símbolos; puede dar + ∞, – ∞ o indeterminado. a) + ∞ + ∞ b) + ∞ – ∞ c) – ∞ + ∞ d) – ∞ – ∞

Y

X

f(x) = x + 3

• 3 -

Y

X

f(x) = 1 – x

-

Y

X

f(x) = x x^

2 x + 2

f(x) = (^) x + 22x

Funciones

Dibuja la siguiente hipérbola, halla sus asíntotas y represéntalas.

y = 2 + 1 x – 3

■ Piensa y calcula

6. Asíntotas de funciones racionales

6.1. Cálculo de asíntotas verticales

Para conocer la posición de la curva respecto de las asíntotas, se hallan los límites

laterales.

Ejemplo

Halla las asíntotas verticales de la función: y =

a) Asíntotas verticales: x – 3 = 0 ⇒ x = 3

b) Posición de la curva respecto de la asíntota vertical:

6.2. Cálculo de asíntotas horizontales

Para conocer la posición de la curva respecto de la asíntota horizontal, se hallan:

( – k) ( – k)

Si el límite tiende a 0+, la curva está encima de la asíntota, y si tiende a 0–, está debajo.

Ejemplo

Halla la asíntota horizontal de la función: y =

a) Asíntota horizontal: = [ ] = 3 ⇒ y = 3

b) Posición de la curva respecto de la asíntota horizontal:

Se calcula en primer lugar:

• 3 = =

= = 0 +^ ⇒ La curva está encima de la asíntota.

= 4 = 0 –^ ⇒ La curva está debajo de la asíntota.

• ∞

x

lím

x→–∞

x

lím

x→+∞

x

4x

x^2

4x

x^2 + 1

3x^2 + 4x + 3 – 3x 2 – 3

x^2 + 1

3x^2 + 4x + 3 – 3(x 2 + 1)

x^2 + 1

3x^2 + 4x + 3

x^2 + 1

3x^2 + 4x + 3

x^2 + 1

lím

x→Ï∞

3x^2 + 4x + 3

x^2 + 1

p(x)

q(x)

lím

x→–∞

p(x)

q(x)

lím

x→+∞

2 · 3–^ – 5

3 –^ – 3

2x – 5

x – 3

lím

x→ 3 –

2 · 3+^ – 5

3 +^ – 3

2x – 5

x – 3

lím

x→ 3 +

2x – 5

x – 3

Evitar errores Hay una cierta creencia de que una curva nunca corta a las asíntotas horizontales u oblicuas, lo cual es falso. Véase la gráfica siguiente.

Las curvas nunca cortan a las asín- totas verticales.

Para hallar las asíntotas verticales, x = k, se resuelve la ecuación que se obtie-

ne al igualar a cero el denominador; se toman solo las raíces que no lo sean

del numerador.

Para hallar la asíntota horizontal, y = k, se halla: k =

p(x)

q(x)

lím

x→±∞

Y

(^3) X

x = 3

y = 2x – 5x – 3

Y

X

y = 3

y = x + 1^2

3x + 4x + 3^2 es equivalente cuando x → ±∞

Halla las asíntotas de las siguientes funciones racionales y la posición de la curva respecto de cada una de ellas:

27. y =

28. y =

29. y =

30. y =

x^2 x^2 – 1

6x x^2 + 3 x^2 – x – 2 1 – x

x^2 + 4 2x

● Aplica la teoría

Tema 9. Continuidad, límites y asíntotas

6.3. Cálculo de asíntotas oblicuas

⇒ = mx + b + ⇒ – (mx + b) =

Para conocer la posición de la curva respecto de las asíntotas oblicuas, se hallan:

Si el límite tiende a 0+^ , la curva está encima de la asíntota, y si tiende a 0 – , está de-

bajo.

Ejemplo

Halla la asíntota oblicua de la función: y =

a) Para hallar la asíntota oblicua, se efectúa la división:

= x + 3 +

Asíntota oblicua: y = x + 3

b) Posición de la curva respecto de la asíntota oblicua:

= = 0 –^ ⇒ La curva está debajo de la asíntota.

= = 0 +^ ⇒ La curva está encima de la asíntota.

Resumen

Una función racional puede tener asíntotas verticales, horizontales y oblicuas.

• ∞

x + 2

lím

x→–∞

x + 2

lím

x→+∞

x + 2

x^2 + 5x + 5

x + 2

x^2 + 5x + 5

x + 2

r(x)

q(x)

lím

x→–∞

r(x)

q(x)

lím

x→+∞

r(x)

q(x)

p(x)

q(x)

r(x)

q(x)

p(x)

q(x)

p(x) q(x)

r(x) mx + b

Para hallar la asíntota oblicua y = mx + b, se hace la división del numerador

entre el denominador; el cociente es la fórmula de la asíntota. Para que el co-

ciente sea un polinomio de 1er^ grado, el grado del numerador tiene que ser

uno más que el del denominador.

a) Tiene tantas asíntotas verticales como raíces reales distintas tenga el deno-

minador y que no lo sean del numerador.

b) Tiene una asíntota horizontal si el grado del numerador es menor o igual

que el del denominador.

c) Tiene una asíntota oblicua si el grado del numerador es uno más que el del

denominador.

Por tanto, una función racional puede tener varias asíntotas verticales y, a lo

sumo, una horizontal u oblicua. Si la tiene horizontal, no la tiene oblicua, y

viceversa.

Y

X

y = xx + 2

(^2) + 5x + 5

y = x + 3

x^2 + 5x + 5 x + 2

–x^2 – 2x x + 3

3x + 5

–3x – 6

Tema 9. Continuidad, límites y asíntotas

E j e r c i c i o s y p ro b l e m a s

53. Calcula mentalmente los siguientes límites:

a) b)

5. Límites de funciones irracionales

y límites de operaciones

54. Representa la función:

f(x) = 2 + Halla el límite de f(x) cuando x → –5+

55. Representa la función:

f(x) = Halla el límite de f(x) cuando x → – ∞

56. Halla el siguiente límite:

(3x –^ )

57. Halla el siguiente límite:

( – 5x)

58. Halla el siguiente límite:

( 2x – )

59. Halla el siguiente límite:

60. Halla el límite de la siguiente sucesión:

61. Halla el límite de la siguiente sucesión:

(2n – 5 – )

6. Asíntotas de funciones racionales

62. Halla las asíntotas de las siguientes funciones racionales y la posición de la curva respecto de cada una de ellas:

a) y = b) y =

63. Halla las asíntotas de las siguientes funciones racionales y la posición de la curva respecto de cada una de ellas:

a) y = b) y =

64. Halla las asíntotas de las siguientes funciones racionales y la posición de la curva respecto de cada una de ellas:

a) y = b) y = x

(^2) + 2x – 1 x

5 x^2 + 1

2x – 1 x 2

x 4 – x 2

x^2 x^2 + 3

x^2 – 3x + 3 x – 1

lím √4n 2 – 7n n→+∞

lím √3n – 5 √n + 2 n→+∞

xlím→+∞ √x^3 + 2x – 1 √x^3 – 5x

lím √4x 2 – 3x x→+∞

10x 3 + x 2 – 7 2x 2 + 3 x→lím–∞

6x 2 + 5x – 4 2x + 1

lím x→+∞

√3 – x

√x + 5

–x^5 + 7x 3 4x 2 – 3x

lím x→–∞

–x^5 + 7x 3 4x 2 – 3x

lím x→+∞

65. Representa las funciones:

a) f(x) = (^) | | b) f(x) = |2 x|

66. Representa la función:

f(x) = (^) | |

67. Representa la función:

y =

68. Halla el dominio y el campo de continuidad de cada una de las siguientes funciones, es decir, el conjunto donde es continua, y razona por qué son iguales o distintos.

a) f(x) = 5x 3 – 3x 2 + x – 4 b) f(x) =

c) f(x) = d) f(x) =

69. Halla el dominio y el campo de continuidad de cada una de las siguientes funciones y razona por qué son iguales o distintos. a) f(x) = 2 x^ b) f(x) = log 2 x c) f(x) = sen x d) f(x) = tg x e) f(x) = Ent(x) f) f(x) = signo(x)
70. Halla y clasifica las discontinuidades de la siguiente fun- ción a partir de su gráfica:

x – 3 √x – 3 x 2 + 4

x + 2 x – 1

–x si x < – x 2 si –2 ≤ x < 1 log 2 x si x ≥ 1

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

2 x – 1

1 x

Para ampliar

Y

X

y = (^) x 2 x (^) – 4

E j e r c i c i o s y p ro b l e m a s Ejercicios y problemas

71. Halla y clasifica las discontinuidades de la siguiente fun- ción a partir de su gráfica:
72. Halla y clasifica las discontinuidades de la siguiente fun- ción a partir de su gráfica:

f(x) =

73. Calcula mentalmente los siguientes límites:

a) (x 5 – 7x 2 – 4x + 23)

b) (–x 6 + 7x 5 – 2x + 1)

74. Calcula mentalmente los siguientes límites:

a) b)

75. Calcula mentalmente los siguientes límites:

a) (x 3 + 5x 2 – 2x + 7)

b) (–x 4 + 2x 2 – 4x + 5)

76. Calcula los siguientes límites:

a) b)

77. Calcula mentalmente los siguientes límites:

a) b)

78. Calcula el siguiente límite:
    79. Calcula mentalmente los siguientes límites:

a) b)

80. Calcula los siguientes límites:

a) b)

81. Halla el siguiente límite:
82. Halla los siguientes límites:

a) b)

83. Halla una función racional que tenga como asíntota ver- tical la recta x = 2
84. Halla una función racional que tenga como asíntota ho- rizontal la recta y = 3
85. Halla una función racional que tenga como asíntota obli- cua la recta y = 2x – 1
86. Representa y halla mentalmente las asíntotas de las si- guientes funciones exponenciales: a) y = 2x^ b) y = –5 + 2x – 1 c) y = –3 + 2 x^ d) y = 1 + 2 x – 1
87. Representa y halla mentalmente las asíntotas de las si- guientes funciones logarítmicas: a) y = log 2 x b) y = 3 + log 2 x c) y = log 2 (x + 3) d) y = 1 + log 2 (x – 3)
88. Dada la función:

f(x) =

a) completa mentalmente las siguientes tablas:

b) Observando las tablas, induce los siguientes límites:

c) Calcula f(0), razona si la función f(x) es continua en x = 0 y, en caso negativo, clasifica la discontinuidad.

1 xlím→ 0 – x

1 xlím→ 0 +x

1 x

x – 2

1 – √3x – 5

lím x→ 2

√x + 8 – 3

x – 1

lím x→ 1

x – √ 3

x^2 – 3

lím x→√– 3

1 x^2

lím x→ 0

x^2 – 2x x^2 – 4

lím x→ 2

5x – 1 –2x 3 + 5

lím x→–∞

5x – 1 –2x 3 + 5

lím x→+∞

x + 1 xlím→ 5 x – 5

–x^3 + 7 2x 3 + 5

lím x→–∞

–x^3 + 7 2x 3 + 5

lím x→+∞

x – 3 x^2 – 4x + 3

lím x→ 3

3x – 1 xlím→ 5 x + 2

lím x→–∞

lím x→+∞

–5x 3 + x 2x 2 – 1

lím x→–∞

–5x 3 + x 2x 2 – 1

lím x→+∞

lím x→ 1

lím x→ 0

x^2 + 4x + 1 si x ≠ – 4 si x = –

⎧ ⎨ ⎩

Y

X

f(x) = 1 + 3 – x

-

Y

X

x 0,1 0,01 0,001 0, f(x)

x –0,1 –0,01 –0,001 –0, f(x)

E j e r c i c i o s y p ro b l e m a s Ejercicios y problemas

98. Halla el valor de n para que la siguiente función sea con- tinua en todo
    

f(x) =

99. Los ingresos de una empresa, en función del número de años que lleva funcionando, vienen dados por la función:

f(x) =

donde x viene dado en años, y f(x), en millones de euros. ¿Es continua la función f(x)?

100. En un aparcamiento que permanece abierto 10 horas diarias, hay un cartel que dice: “cada hora, 1,5 €” y “más de 4 horas, 7 €”

a) Representa la función correspondiente. b) ¿En qué puntos es discontinua, y qué tipo de dis- continuidad tiene en cada uno de ellos?

101. Calcula el valor de a para que:

= 3

102. Observando la gráfica:

calcula:

a) (^) ( – 4x) b) (^) ( – 4x)

103. Observando la gráfica:

calcula:

a) b)

c) d)

104. Observando la gráfica:

a) calcula: ( – )

b) halla el límite analíticamente para comprobar el re- sultado.

105. Rocío comienza a trabajar en una empresa de informá- tica. La función que calcula el número de ordenadores que monta, en función del tiempo, viene dada por:

f(t) =

donde t es el número de días que lleva trabajando, y f(t), el número de ordenadores que monta. a) ¿Cuántos ordenadores monta el primer día? b) ¿Cuántos ordenadores monta el quinto día? c) ¿Cuántos ordenadores monta el décimo día? d) ¿Qué día montará 5 ordenadores? e) ¿Puede llegar a montar algún día 7 ordenadores? f) ¿A qué número tenderá cuando lleve mucho tiempo trabajando?

106. Los gastos mensuales en euros que una familia tiene en alimentación vienen dados por la función:

f(x) =

donde x son los ingresos de la familia en euros. a) Halla el valor de k para que los gastos sean conti- nuos; es decir, no haya salto en x = 1 000 € b) ¿Hacia qué valor se estabilizan los gastos de alimen- tación de las familias con la renta más alta?

0,4x + k si 0 ≤ x ≤ 1 000 —2 000x———— x + 3 000 si x > 1 000

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

6t t + 5

xlím→+∞ √x + 5^ √x + 3

x^2 + 1 xlím→ 0 – x

x^2 + 1 xlím→ 0 + x

x^2 + 1 xlím→–∞ x

x^2 + 1 x→lím+∞ x

x^3 3

lím x→–∞

x^3 3

lím x→+∞

ax 2 + 3x 2x 2 – 5

lím x→+∞

— x si 0 ≤ x ≤ 9 —4x – 30——— si x > 9 x – 7

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

2 x^ si x ≤ 1 3x + n si x > 1

⎧ ⎨ ⎩

Y

X

x (^) – 4x 3 y = 3

Y

X

- f(x) =^ x + 5 –^ x + 3

Y

X

y = x^

(^2) + 1 x

Tema 9. Continuidad, límites y asíntotas

E j e r c i c i o s y p ro b l e m a s

107. En una ciudad se hace un censo inicial y se sabe que el número de habitantes evoluciona según la función:

P(t) =

donde t es el número de años transcurridos desde que se hace el censo, y P(t) es el número de habitan- tes en millones. a) ¿Cuántos habitantes hay cuando se realiza el censo inicial? b) ¿Cuántos habitantes habrá dentro de 50 años? c) Con el paso del tiempo, ¿hacia qué población se es- tabilizará? Halla la asíntota horizontal para compro- barlo.

108. Halla las asíntotas de la siguiente función racional y la po- sición de la curva respecto de cada una de ellas:

y =

109. Halla las asíntotas de la siguiente función racional y la po- sición de la curva respecto de cada una de ellas:

y =

Para profundizar

110. Halla el valor de f(3) para que la siguiente función sea continua en todo
     

f(x) =

111. Halla el valor de m y n para que la siguiente función sea continua en todo
     

f(x) =

112. Halla el valor de m y n para que la siguiente función sea continua en todo
     

f(x) =

113. Una determinada especie evoluciona según la función:

f(t) = 5 + 2 – t donde t es el número de años y f(t) son los millones de unidades existentes. Representa la gráfica y, observándola, contesta a la si- guiente pregunta: ¿la especie está en vías de extinción?

114. Una determinada especie evoluciona según la función:

f(t) = , t > 0

donde t es el número de años y f(t) son los millones de unidades existentes. Representa la gráfica y, observándola, contesta a la si- guiente pregunta: ¿la especie está en vías de extinción?

115. Observando la gráfica de la sucesión:

a) calcula:

b) halla el límite analíticamente para comprobar el re- sultado.

116. Una entidad financiera paga un tanto por ciento en fun- ción del dinero depositado, definido por:

R(x) =

donde x es la cantidad de dinero depositado en euros, y R(x), el valor del tanto por ciento. Hacia qué valor se estabilizará el tanto por ciento cuan- do se deposite una cantidad muy grande.

117. Los beneficios o las pérdidas de una empresa vienen da- dos por la función:

f(x) =

donde x es el número de años que lleva funcionando, y f(x) son millones de euros. a) Halla los beneficios o las pérdidas en el 1er, 2º y 3 er años. b) Hacia qué valor se estabilizan las ganancias o pérdi- das con el paso del tiempo.

118. Halla una función racional que tenga como asíntotas ver- ticales las rectas x = 3, x = –
119. Calcula una función racional que tenga como asíntotas las rectas x = –2 e y = 3
120. Halla una función racional que tenga como asíntotas las rectas x = 1 e y = x – 2

5x 2 – 20 x^2 + 4

6x + 8 000 x + 10 000

3n 2 – 2n + 4 n^2 + 5

lím n→+∞

2 t

2 x^ si x ≤ 1 mx + n si 1 < x < 2 log 2 x si x ≥ 2

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

x^2 si x ≤ – mx + n si –1 < x < 2 2/x si x ≥ 2

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

x^2 – 3x x – 3

x^2 + 1 x^2 – 1

3x x^2 + 1

t^2 + 500t + 2 500 (t + 50) 2

Y

X

a =n 3n

(^2) – 2n + 4 n^2 + 5

y = 3