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Cuerpos Geométricos. 100 Ejercicios para practicar con soluciones
1 Indica cuáles de las siguientes figuras son prismas y cuáles son pirámides.
a) b) c)
Solución: Prisma es un poliedro que tiene por caras dos bases paralelas e iguales que son polígonos y las caras laterales paralelogramos, mientras que una pirámide es un poliedro que tiene por caras una base que es un polígono y las caras laterales que son triángulos que se encuentran en un vértice. Por la definición: a) Es una pirámide b) No es ni pirámide ni prisma. c) Es un prisma.
(^2) Una moneda de un euro se puede considerar como un cilindro de radio 8 mm y altura 2 mm. Si se apilan 100 € encima uno del otro, calcula las dimensiones de la figura resultante.
Solución: La figura resultante es un cilindro de radio el mismo que el de la moneda de 1 €, es decir, 8 mm, y de altura 100 veces el de 1€, es decir, 200 mm = 20 cm.
3 Dibuja el desarrollo plano de un tetraedro.
Solución:
4 Calcula en la siguiente figura el elemento que falta:
Solución: Por el teorema de Pitágoras: 6 2 = 52 +L^2 ⇒L= 36 − 25 = 11 ≈ 3 , 31
5 Calcula en la siguiente figura el elemento que falta:
Solución: Por el teorema de Pitágoras: g 2 = 82 + 62 ⇒g= 100 = 10
6 Calcula en la siguiente figura el elemento que falta:
Solución: Por el teorema de Pitágoras: 8 2 = 42 +L^2 ⇒L= 64 − 16 = 48 ≈ 6 , 93
Solución: a) Caras: 6 Aristas: 12 Vértices: 8 b) Caras: 5 Aristas: 8 Vértices: 5 c) Caras: 7 Aristas: 15 Vértices: 10
10 Calcula en la siguiente figura el elemento que falta:
Solución: Por el teorema de Pitágoras: 5 2 = 22 +H^2 ⇒H= 21 ≈ 4 , 58
11 De las siguientes figuras indica cuál es un poliedro.
a) b) c)
Solución: Un poliedro está formado por polígonos planos, luego la figura del apartado a no es un poliedro y las otros dos sí.
12 Calcula en la siguiente figura el elemento que falta:
Solución: Por el teorema de Pitágoras: 15 2 = 102 +R^2 ⇒R= 125 ≈ 11 , 18
(^13) Calcula el número de caras, de aristas y de vértices de un tetraedro.
Solución: Caras: 4. Vértices: 4. Aristas: 6.
14 Calcula en la siguiente figura el elemento que falta:
Solución: Por el teorema de Pitágoras: 112 = 42 +H^2 ⇒H= 105 ≈ 10 , 25
19 Medio círculo se hace girar hasta generar una esfera. Sabiendo que el perímetro del medio círculo es 120 cm, calcula el radio de la esfera generada.
Solución: El perímetro de medio círculo es 2 R +πR Luego:
23 , 34 cm 2
2 R R 120 R ≈
+π
+π = ⇒ =
20 Se tiene un cono de altura 7 cm y radio de la base 2 cm. Si se mantiene la altura y se aumenta al doble la base, ¿cuánto ha variado la generatriz del cono?
Solución: La generatriz del cono de radio de la base 2 cm es: g 2 = 72 + 22 ⇒g= 53 ≈ 7 , 28 cm La generatriz del cono de radio el doble es: g 2 = 72 + 42 ⇒g= 65 ≈ 8 , 06 cm La proporción de lo que ha variado es:
1 , 11 7 , 28
21 Calcula el elemento que falta en los siguientes prismas:
a) b)
Solución: a) La diagonal de un ortoedro es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los catetos: a = 72 + 52 + 32 = 83 ≈ 9 , 11 b) Tenemos un triángulo rectángulo de catetos 6 y 5 e hipotenusa b Aplicando el teorema de Pitágoras: b 2 = 62 + 52 ⇒b= 36 + 25 = 61 = 7 , 81
22 Se tiene una figura con 15 caras, 9 vértices y 21 aristas. ¿Se trata de un poliedro?
Solución: Si fuera un poliedro debería cumplir la relación de Euler: Caras + Vértices = Aristas + 15 + 9 ≠ 21 + 2 luego no se trata de un poliedro.
23 Una circunferencia de perímetro 2,31 m se hace girar hasta generar una esfera. Calcula el radio de la esfera.
Solución: El perímetro del círculo es 2 πR Luego:
0 , 37 m 2
2 R 2 , 31 R ≈
π
π = ⇒ =
24 Una caja de cerillas tiene por dimensiones 1, 2 y 3 cm, respectivamente. Calcula el valor de:
a) Las diagonales de las caras. b) Las diagonales del ortoedro.
Solución: a) Las tres diagonales diferentes de las caras son: da = 12 + 22 = 5 ≈ 2 , 24 cm
db = 12 + 32 = 10 ≈ 3 , 16 cm
d (^) a = 22 + 32 = 13 ≈ 3 , 6 cm b) Las diagonales de la caja de cerillas son todas iguales y miden: d = 12 + 22 + 32 = 14 ≈ 3 , 74 cm
(^25) Calcula el valor de las aristas de los siguientes cubos sabiendo que las diagonales miden:
a) 21 cm b) 81 cm
Solución: La diagonal y la arista del cubo están relacionadas de la siguiente forma: d = a^2 +a^2 +a^2 = 3 a^2 =a 3 Despejando el valor de la arista se obtiene:
d 3 a =
a) 7 3 cm 3
a = =
b) 27 3 cm 3
a = =
(^26) Comprueba la fórmula de Euler: caras + vértices = aristas + 2, en los siguientes poliedros.
a) b)
30 Una circunferencia de perímetro 50 cm se hace girar hasta generar una esfera. Calcula el radio de la esfera.
Solución: El perímetro del círculo es 2 πR Luego:
7 , 96 cm 2
2 R 50 R ≈
π
π = ⇒ =
31 A una bola de hielo de 20 cm de diámetro se le aplican tres cortes paralelos, de forma que los trozos resultantes tienen el mismo ancho. Calcula el radio de los círculos que salen al aplicar los cortes.
Solución:
Al aplicarle 3 cortes, la naranja se descompone en cuatro gajos de 3 cm de grosor, saliendo dos secciones con igual radio R. Y la tercera el radio de la esfera: 12 cm. Calculamos las otras dos secciones aplicando el teorema de Pitágoras: 5 2 +R^2 = 102 ⇒R= 75 ≈ 8 , 66 cm
32 De un prisma sabemos que el número de vértices es 16 y que el número de aristas es 24, ¿cuántas caras tiene?
Solución: Un prisma es un poliedro convexo, por tanto debe cumplir la relación de Euler: caras + vértices = aristas +2. c + 16 = 24 + 2 ⇒c= 10 El número de caras del prisma es 10, se trata de un prisma de base octogonal.
33 Dibuja el desarrollo de los siguientes cuerpos:
a) b)
Solución:
a) b)
34 ¿Cabe una regla de 1 m en un prisma de base rectangular, de aristas 30 cm y 60 cm, y de altura 50 cm?
Solución: La distancia máxima es la diagonal del ortoedro: d = 302 + 602 + 502 = 7000 ≈ 83 , 67 cm Como la diagonal es menor que un metros, la regla no cabe en el prisma.
35 Se tiene una figura con 10 caras, 15 vértices y 20 aristas. ¿Se trata de un poliedro?
Solución: Si fuera un poliedro debería cumplir la relación de Euler: Caras + Vértices = Aristas + 10 + 15 ≠ 20 + 2 luego no se trata de un poliedro.
36 Calcula el valor de la diagonal de un ortoedro de aristas 3 cm, 4 cm y 5 cm.
Solución: La diagonal y las aristas de un ortoedro de aristas a, b, c están relacionadas de la siguiente forma: d = a^2 +b^2 +c^2 Luego la diagonal mide: d = a^2 +b^2 +c^2 = 32 + 42 + 52 = 9 + 16 + 25 = 50 = 5 2 ≈ 7 , 07 cm
37 Un ascensor mide 1 m de ancho, 1,5 m de largo y 2,3 m de alto. Un señor pretende introducir un palo de 3 m de altura, ¿puede hacerlo?
Solución: La distancia mas larga es la diagonal del ortoedro, y es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de la tres dimensiones. d = 12 + 1 , 52 + 2 , 32 = 8 , 54 ≈ 2 , 92 m Como el palo mide mas, el señor no puede introducir el palo en el ascensor.
Solución: Aplicando el teorema de Pitágoras: A 2 = 52 + 22 ⇒h= 29 ≈ 5 , 39
41 Se tiene un cono de altura 10 cm y radio de la base 4 cm. Si se mantiene el radio de la base y se aumenta al doble la altura, ¿cuánto ha variado la generatriz del cono?
Solución: La generatriz del cono de altura 10 cm es: g 2 = 102 + 42 ⇒g= 116 ≈ 10 , 77 cm La generatriz del cono de altura el doble es: g 2 = 202 + 42 ⇒g= 416 ≈ 20 , 39 cm La proporción de lo que ha variado es:
1 , 89 10 , 77
42 Con 12 varillas de 5 cm de largo cada una, usando todas las varillas ¿qué poliedros regulares se pueden construir?
Solución: Se pueden formar los poliedros regulares que tengan 12 aristas: el cubo y el octaedro.
(^43) Calcula la distancia máxima entre dos puntos de un cilindro de radio 12 cm y altura 60 cm.
Solución:
La distancia máxima es la línea recta que une los puntos A y B de la figura adjunta. La distancia AB es la hipotenusa h de un triángulo rectángulo de catetos 24 cm y 60 cm, aplicando el teorema de Pitágoras: h 2 = 242 + 602 ⇒h= 242 + 602 = 4176 = 12 29 ≈ 64 , 62 cm
44 Determina los ángulos diedros que forman las caras laterales de un poliedro que es un prisma recto de base un octógono regular.
Solución: El ángulo diedro formado por las caras laterales es igual al ángulo interior del octógono de la base:
° ⋅^ (^ − )^ = = 135 °
45 Tenemos una caja en forma de cubo de lado 1 m. ¿Cabría en la caja una vara de 1,5 m de longitud?
Solución:
Calculemos la máxima longitud en el cubo, que es la diagonal d En la base del cubo tenemos un triángulo rectángulo de hipotenusa a y catetos 1 m, aplicando el teorema de Pitágoras calculamos el valor de a: a 2 = 12 + 12 ⇒a= 2 m Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo de hipotenusa d y catetos a y 1: d 2 =a^2 + 12 ⇒d= 2 + 1 = 3 ≈ 1 , 73 m Como la diagonal mide más que 1,5 m la vara cabe en la caja.
46 Determina la superficie mínima de papel para envolver un prisma de base un cuadrado de lado 1 m, y 2 m de altura.
Solución: El área de la base es: Abase = 12 = 1 m^2. El área de cada rectángulo lateral es: A (^) T = 1 ⋅ 2 = 2 m^2. El área de todo el prisma es: A = 2 ⋅Abase + 4 ⋅AT= 2 ⋅ 1 + 4 ⋅ 2 = 10 m^2. Nos hace falta al menos 10 m^2 de papel.
47 ¿Es posible meter 55 caramelos de forma esférica de radio 1 cm en una caja rectangular de lados 10, 11 y 5 cm?
51 Dada la siguiente pirámide de base un cuadrado de lado 2 cm y altura 5 cm, calcula:
a) El área de la base. b) El área de las caras laterales.
Solución: a) Área de la base: 22 = 4 cm^2 b) Calculamos la altura de una cara por medio del teorema de Pitágoras: 5 2 + 12 =h^2 ⇒h= 26 cm
Área de una cara lateral: 26 cm^2 2
Área de las cuatro caras laterales: 4 26 cm^2
52 Calcula el volumen de una esfera de radio:
a) 4 cm b) 15 mm
Solución: (^3 3268) , 08 cm 3 3
R
a) V = π⋅ = π⋅ = π≈
(^3 153450014137) , 17 mm 3 3
R
b) V = π⋅ = π⋅ = π≈
53 Calcula el área de la superficie de una esfera de radio 6 cm.
Solución: El área es: A = 4 πr^2 = 4 π⋅ 62 = 144 π≈ 452 , 39 cm^2
54 Calcula el área del siguiente poliedro:
Solución: El área está formada por dos cuadrados, un rectángulo y dos triángulos. Para calcular el área del rectángulo nos hace falta la hipotenusa del triángulo, que la calculamos por medio del teorema de Pitágoras: D 2 = 32 + 32 ⇒D= 18 = 3 2. Área del rectángulo: AR = 3 ⋅ 3 2 = 9 2 cm^2
Área de un triángulo: (^) T cm^2 2
A =
Área de un cuadrado: A (^) C = 3 ⋅ 3 = 9 cm^2
Área total: (^) R T T 2 9 9 2 27 39 , 73 cm^2 2
A =A + 2 A + 2 A = 9 2 + 2 ⋅ + ⋅ = + ≈
55 Calcula el volumen de las siguientes figuras:
a) b)
Solución: base (^) u 3 3
A h V =
a) = 3 b) V =Abase ⋅h= 9 ⋅ 6 = 54 u
(^56) En un cilindro recto el radio de la base mide 2 cm y la altura 10 cm. Calcula:
a) El área de la base. b) El área lateral.
Solución:
c) Área de la base: Abase =πr^2 =π⋅ 82 = 64 πcm^2 d) Calculamos la generatriz por medio del teorema de Pitágoras: g 2 = 82 + 152 ⇒g= 17 cm e) Área lateral: Alateral =πrg=π⋅ 8 ⋅ 17 = 136 πcm^2 Área de todo el cono: A (^) total =Abase+Alateral= 64 π+ 136 π= 200 πcm^2
Volumen del cono: (^) base 320 cm^3 3
A h 3
f) V = ⋅ = π⋅ = π= π
(^61) Calcula la superficie total de una semiesfera de radio 5 cm.
Solución: El área de una esfera entera es: 2 2 2 A (^) e = 4 πr = 4 π⋅ 5 = 100 π≈ 314 , 16 cm Como es una semiesfera es la mitad más el área de un círculo de radio el radio de la esfera:
52 235 , 61 cm^2 2
A = +π⋅ ≈
62 Se quiere construir una pirámide de cristal de altura 5 m. La pirámide tiene una base cuadrada de lado 6 m. Calcula la cantidad de cristal necesario.
Solución: Hay que calcular la superficie de los cuatro triángulos de la pirámide. Nos hace falta calcular la altura del triángulo, para ello aplicamos el teorema de Pitágoras: h 2 = 32 + 52 ⇒h= 34 m El área de un triángulo es: 2 triángulo 3 34 m 2
A =
El área de la base de la pirámide es: 2 A (^) base = 6 ⋅ 6 = 36 m La superficie de cristal es 2 A (^) cristal =Abase+ 4 Atriángulo= 36 + 4 ⋅ 3 34 = 36 + 12 34 ≈ 105 , 97 m
63 En un cono recto el radio de la base mide 2 cm y la altura 6 cm. Calcula el área lateral del cono.
Solución:
Por el teorema de Pitágoras: g 2 = 22 + 62 ⇒g= 40 ≈ 6 , 32 cm El área lateral es: A =π⋅ 2 ⋅ 6 , 32 ≈ 39 , 71 cm
Solución:
(^65) Dado el siguiente prisma recto de base un triángulo equilátero, calcula:
a) El área de las bases. b) El área de las caras laterales. c) El área de todo el prisma. d) El volumen del prisma.
Solución:
El área de un triángulo equilátero de lado a es: 4
a 3 S
2
a) Área de una base: 42 ⋅ 3 = 16 3 cm^2 Área de las dos bases: 2 ⋅ 16 3 = 32 3 cm^2 b) Área de una cara lateral: 8 ⋅ 12 = 96 cm^2 Área de las tres caras laterales: 3 ⋅ 96 = 288 cm^2
c) Área de todo el prisma: 288 + 32 3 cm^2 d) Volumen del prisma: 16 3 ⋅ 12 = 192 3 cm^3
