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Fórmulas teoría Electromagnética
Tipo: Apuntes
1 / 9
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1
Tema 1: EDO Lineal Homogénea de Segundo Orden
1. ¿Cuál es la forma general de una ecuación diferencial lineal homogénea de
segundo orden?
La ecuación tiene la forma:
Donde a, b, c son constantes.
2. ¿Cuál es el procedimiento para resolver una EDO de segundo orden? 1. Plantear la ecuación característica:
2
1
2
usando la fórmula:
2
ó 𝑟
1
2
2
2
característica?
𝟐
1
𝑟
1
𝑥
2
𝑟
2
𝑥
𝟐
1
𝑟
1
𝑥
2
𝑟
2
𝑥
𝟐
𝛼𝑥
1
2
4. ¿Cómo se describen los pasos para obtener la solución general de una ED
lineal homogénea con coeficientes constantes?
3
𝛼𝑥
1
2
9. ¿Cómo se usa la división sintética para encontrar raíces?
Si una raíz 𝑟 = 𝑎 es conocida, se usa la división sintética para reducir el grado del
polinomio y encontrar las demás raíces.
10. Ejemplo resuelto de EDO de orden 3:
Resolver:
3
2
3
1
𝑥
2
𝑥
3
2
𝑥
Tema 3: Obtención de una EDO a partir de la solución
11. ¿Cómo se obtiene una ED lineal homogénea de coeficientes constantes a
partir de su solución general?
Hay que llevar a cabo los pasos anteriormente mencionados, pero en sentido
opuesto. Esto es, dada la solución general de una ecuación diferencial:
_1. Identificar un conjunto fundamental de soluciones.
Sustituyéndola en la ecuación al derivar la función 𝑦
que nos dieron al principio,
y verificando que se cumple la igualdad.
4
13. ¿Cómo se forman ecuaciones diferenciales con soluciones
trigonométricas?
Si la solución es 𝑦 = 𝐴𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐵𝑠𝑖𝑛𝑥 , la ecuación será:
14. ¿Cómo se obtienen ecuaciones diferenciales con exponenciales?
Si la solución es 𝑦 = 𝐶
1
2 𝑥
2
− 3 𝑥
, la ecuación será:
donde 𝑎, 𝑏 dependen de las raíces 2 , − 3.
15. Ejemplo resuelto:
Si la solución es:
1
2
− 3 𝑥
3
2 𝑥
Sabemos que las raíces son 𝑟 = ( 0 , − 3 , 2 )
Para obtener la ecuación característica: 𝑟(𝑟 + 3 )(𝑟 − 2 )
Multiplicamos y obtenemos la ecuación característica: 𝑟
3
2
Entonces en función de 𝑦 la ecuación diferencial sería:
Para comprobar se deriva la solución 𝑦(𝑥) original, se sustituye en la ecuación
diferencial y se verifica que se cumpla la igualdad.
Referencias:
16 de febrero de 2025. Recuperado de https://es.khanacademy.org/math/differential-
equations/second-order-differential-equations
McGraw-Hill.
Cengage Learning.
2 𝑎
característica?
𝑦(𝑥) = 𝐶 1 𝑒𝑟 1 𝑥 + 𝐶 2 𝑒𝑟 2 𝑥
𝑦(𝑥) = 𝐶 1 𝑒𝑟 1 𝑥 + 𝐶 2 𝑥𝑒𝑟 2 𝑥
𝑦(𝑥) = 𝑒𝛼𝑥 (𝐶 1 𝑐𝑜𝑠(𝛽𝑥) + 𝐶 2 𝑠𝑖𝑛(𝛽𝑥))
lineal homogénea con coe cientes constantes?
2
Resolver:
3 𝑦′′ − 4𝑦′ − 4𝑦 = 0
3 𝑟2 − 4𝑟 − 4 = 0
𝑟 = −(−4)±√(−4)2−4(3)(−4)
2(3) = 𝑟 = 4±√ 64
6 = 4
6 ± 8
6 , 𝑟1 = 2, 𝑟2 = − 2
3
𝑦(𝑥) = 𝐶 1 𝑒 2 𝑥 + 𝐶 2 𝑒−
3 𝑥
Tema 2: EDO Lineal Homogénea de Orden n≥ 3
𝑎𝑛𝑦𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑦𝑛−1 + ⋯ + 𝑎 1 𝑦′ + 𝑎 0 𝑦 = 0
Donde los coe cientes 𝑎𝑖 son constantes.
𝑎𝑛𝑟𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑟𝑛−1 + ⋯ + 𝑎 1 𝑟 + 𝑎0 = 0
o Factorización si es posible.
o División sintética o Ruf ni.
o Métodos numéricos o fórmulas para polinomios de mayor grado.
𝑦(𝑥) = 𝐶 1 𝑒𝑟 1 𝑥 + 𝐶 2 𝑒𝑟 2 𝑥 + ⋯ 𝐶𝑛𝑒𝑟𝑛𝑥
𝑦(𝑥) = (𝐶1 + 𝐶 2 𝑥 + ⋯ 𝐶𝑘𝑥𝑘−1)𝑒𝑟𝑥
3
𝑦(𝑥) = 𝑒𝛼𝑥 (𝐶 1 𝑐𝑜𝑠(𝛽𝑥) + 𝐶 2 𝑠𝑖𝑛(𝛽𝑥))
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Si una raíz 𝑟 = 𝑎 es conocida, se usa la división sintética para reducir el grado del
polinomio y encontrar las demás raíces.
Resolver:
𝑦′′′ − 3𝑦′′ + 3𝑦′ − 𝑦 = 0
𝑟3 − 3𝑟2 + 3𝑟 − 1 = 0
(𝑟 − 1)3 = 0
𝑦(𝑥) = 𝐶 1 𝑒𝑥 + 𝐶 2 𝑥 𝑒𝑥 + 𝐶 3 𝑥 2 𝑒𝑥
Tema 3: Obtención de una EDO a partir de la solución
partir de su solución general?
Hay que llevar a cabo los pasos anteriormente mencionados, pero en sentido
opuesto. Esto es, dada la solución general de una ecuación diferencial:
Sustituyéndola en la ecuación al derivar la función 𝑦(𝑥) que nos dieron al principio,
y veri cando que se cumple la igualdad.
4
trigonométricas?
Si la solución es 𝑦 = 𝐴𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐵𝑠𝑖𝑛𝑥 , la ecuación será:
𝑦′′ + 𝑦 = 0
Si la solución es 𝑦 = 𝐶 1 𝑒 2 𝑥 + 𝐶 2 𝑒−3𝑥, la ecuación será:
𝑦′′ + 𝑎𝑦′ + 𝑏𝑦 = 0
donde 𝑎, 𝑏 dependen de las raíces 2, −3.
Si la solución es:
𝑦(𝑥) = 𝐶1 + 𝐶 2 𝑒−3𝑥 + 𝐶 3 𝑒 2 𝑥
Sabemos que las raíces son 𝑟 = (0, −3, 2)
Para obtener la ecuación característica: 𝑟(𝑟 + 3)(𝑟 − 2)
Multiplicamos y obtenemos la ecuación característica: 𝑟3 + 3𝑟2 − 2𝑟 = 0
Entonces en función de 𝑦 la ecuación diferencial sería:
𝑦′′′ + 3𝑦′′ − 2𝑦′ = 0
Para comprobar se deriva la solución 𝑦(𝑥) original, se sustituye en la ecuación
diferencial y se veri ca que se cumpla la igualdad.
Referencias:
16 de febrero de 2025. Recuperado de https://es.khanacademy.org/math/differential-
equations/second-order-differential-equations
McGraw-Hill.
Cengage Learning.
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