Definición y conceptos de Variables aleatorias, Esquemas y mapas conceptuales de Probabilidad

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Instituto Tecnológico De Cancún

Carrera:

Ingeniería Civil

Materia:

Probabilidad y estadística

Catedrático:

Luis Aarón Chulin

Tema

Variables aleatorias

Nombre:

Bryan Manuel Tamay Cruz

1 Definición y conceptos de Variables aleatorias

Variable aleatoria

una variable es un símbolo que actúa en las funciones, las fórmulas, los algoritmos y las proposiciones de las matemáticas y la estadística. Según sus características, las variables se clasifican de distinto modo. Se denomina variable aleatoria (o estocástica) a la función que adjudica eventos posibles a números reales (cifras), cuyos valores se miden en experimentos de tipo aleatorio. Estos valores posibles representan los resultados de experimentos que todavía no se llevaron a cabo o cantidades inciertas. Cabe destacar que los experimentos aleatorios son aquellos que, desarrollados bajo las mismas condiciones, pueden ofrecer resultados diferentes. Arrojar una moneda al aire para ver si sale cara o ceca es un experimento de este tipo. La variable aleatoria, en definitiva, permite ofrecer una descripción de la probabilidad de que se adoptan ciertos valores. No se sabe de manera precisa qué valor adoptará la variable cuando sea determinada o medida, pero sí se puede conocer cómo se distribuyen las probabilidades vinculadas a los valores posibles. En dicha distribución incide el azar. Las variables pueden ser discreta o continua. Las variables aleatorias discretas son aquellas cuyo rango está formado por una cantidad finita de elementos o que sus elementos pueden enumerarse de manera secuencial. Supongamos que una persona arroja un dado tres veces: los resultados son variables aleatorias discretas, ya que pueden obtenerse valores del 1 al 6. En cambio, la variable aleatoria continua se vincula a un recorrido o rango que abarca, en teoría, la totalidad de los números reales, aunque solo sea accesible una cierta cantidad de valores (como la altura de un grupo de personas).

2 Calcular las siguientes probabilidades: Solución Sea una variable aleatoria discreta cuya función de probabilidad es: 1 Calcular la función de distribución. 2 Calcular las siguientes probabilidades:

3 Función distribución

4 Cálculo de probabilidad Ejercicio resuelto

Ejemplo

Una variable aleatoria X es continua si su función de distribución es una función continua. En la práctica, se corresponden con variables asociadas con experimentos en los cuales la variable medida puede tomar cualquier valor en un intervalo: mediciones biométricas, intervalos de tiempo, áreas, etc. Función de densidad Igual que una variable aleatoria discreta viene caracterizada por su función de probabilidad, las variables aleatorias continuas vienen caracterizadas por una función llamada función de densidad, que es una generalización de la función de probabilidad. Matemáticamente, una función ff es una función de densidad si verifica dos propiedades:  f(x)f(x) es mayor o igual que cero en cualquier punto xx (el dibujo de la función debe estar por encima del eje horizontal).  ∫∞−∞f(x)dx=1∫−∞∞f(x)dx=1 (el área bajo la curva y el eje horizontal vale uno). Matemáticamente, una función (el área bajo la curva y el eje horizontal vale uno). El concepto de función de densidad procede de considerar que tenemos una población con todos sus (infinitos) datos o posibles valores y dibujamos el histograma, polígono de frecuencias o estimación de la densidad. Supongamos que nos ponemos en medio de la calle y a cada mujer mayor de 18 años le preguntamos su estatura. Hacemos esto hasta tener una muestra de 15

datos y, a continuación, clasificamos los datos en intervalos, construimos el histograma y el polígono de frecuencias. Con cada gráfica, el polígono de frecuencias acaba convirtiéndose en una curva que verifica las dos propiedades de la función de densidad (es una función no negativa y el área bajo la curva es uno, puesto que es el área bajo el polígono de frecuencias. Puede demostrarse geométricamente que el área bajo un polígono de frecuencias coincide con el área existente bajo un histograma de frecuencias, y el área total del histograma corresponde al cien por cien de los datos). La función de densidad corresponde, desde un punto de vista teórico, al polígono de frecuencias cuando tenemos todos los datos de la población (en teoría, infinitos). Una vez expuesto que, en una variable aleatoria continua, las propiedades de la misma vendrán descritas por la función de densidad, indiquemos que las probabilidades se calcularán como una integral definida: Es decir, la probabilidad de que la variable aleatoria X tome valores entre dos números a y b corresponde al área bajo la curva f, el eje X y los puntos a y b. En el caso de una variable aleatoria continua, la probabilidad de cualquier punto concreto a es cero, porque no hay área bajo la curva:

Solo nos queda calcular el valor del área sombreada y en este caso se puede realizar de 2 formas diferentes: mediante la fórmula del rectángulo y mediante la integral definida de f(x) desde x igual a 1 hasta 3. Con áreas: Con integrales:

Como verás, obtuvimos el mismo resultado con ambos métodos, una probabilidad de 0,5 o 50%****.

6 Distribución. Normal de Probabilidades Campana de Gauss

Características Esta distribución es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadísticas. Su propio nombre indica su extendida utilización, justificada por la frecuencia o normalidad con la que ciertos fenómenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta distribución. Muchas variables aleatorias continuas presentan una función de densidad cuya gráfica tiene forma de campana. En otras ocasiones, al considerar distribuciones binomiales, tipo B(n,p), para un mismo valor de p y valores de n cada vez mayores, se ve que sus polígonos de frecuencias se aproximan a una curva en "forma de campana". En resumen, la importancia de la distribución normal se debe principalmente a que hay muchas variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de la normal  Caracteres morfológicos de individuos (personas, animales, plantas,) de una especie, p. tallas, pesos, envergaduras, diámetros, perímetros, ...  Caracteres fisiológicos , por ejemplo: efecto de una misma dosis de un fármaco, o de una misma cantidad de abono.  Caracteres sociológicos , por ejemplo: consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos, puntuaciones de examen.

Ejemplo Veamos un ejemplo de distribución normal para entender bien este concepto. Si el “eje x” refleja la altura de todos los ciudadanos de España mayores de edad, y el “eje y” el número de personas correspondiente a cada medida, está claro que habrá menos personas que midan 1,98 ó 1,52, que personas que midan 1,75. Pues esa idea es lo que nos muestra la distribución normal, que en muchos casos, cuando un resultado es aleatorio, los valores tienden a concentrarse en el centro. ¿En qué disciplinas se suele utilizar? Campos tan distintos como la biología, psicología, sociología, farmacia o economía, son solo algunos ejemplos de áreas en las que su estudio es fundamental. Como ejemplo ilustrativo, veamos una imágen que representa mediante una Campana de Gauss los datos de los niveles de inteligencia en la población. ¿Y qué aplicación le podemos dar en un entorno digital? En redes sociales como Twitter, Facebook o Pinterest, los usuarios dan constantemente sus opiniones sobre

gustos, datos personales o intereses. Podemos comprobar que esta cantidad enorme de datos, en muchos casos, sigue una distribución normal. Además, una de las ventajas que tiene este estudio, es que, si probamos que una muestra representativa de la población se aproxima respecto a un dato a nuestra distribución, la población total (tomando como población los elementos de estudio) tenderá a cumplirla, por lo que nos podemos ahorrar el análisis de gran cantidad de datos. Ello conlleva a que, de manera muy sencilla, a partir de la muestra poblacional, podemos aproximar de manera muy exacta la cantidad de individuos que pertenecen a un cierto intervalo de la variable que estamos estudiando. Como ejemplo, podríamos aproximar las personas en España que miden entre 1,70 y 1, m ó el número de personas que tienen un pie mayor a la talla 46, sin necesidad de tener los datos de todos. La interpretación de esos valores, puede resultar muy interesante para empresas de publicidad o de venta de productos, puesto que, realizando un estudio, pueden conocer el número de clientes potenciales antes de lanzar una campaña, y así, decidir si les interesa publicitarse en ese medio o no.

7 Distribución. Normal estándar Explicación y ejercicios

Ejemplo Hallar la probabilidad p (z ≤ 0,45 ) En la tabla podemos leer directamente la probabilidad de valores menores o iguales que un número positivo.

Para poder utilizar la tabla tenemos que transformar la variable que sigue una distribución en otra variable que siga una distribución. Por lo que la operación necesaria es la siguiente:

Ejemplo

La vida media de una lámpara, según el fabricante, es de 68 meses, con una desviación típica de 5. Se supone que se distribuye según una distribución normal En un lote de 10.000 lámparas. a) ¿Cuántas lámparas superarán previsiblemente los 75 meses? b) ¿Cuántas lámparas se estropearán antes de 60 meses? ß a) t = (75 - 68) /5 = 1, P (X > 75) = (t > 1,4) = 1 - P (t ≤ 1,4) = 1 - 0,9192 = 0, Luego, el 8,08% de las lámparas (808 lámparas) superarán los 75 meses b) t = (60 - 68) /5 = - 1, P (X ≤ 60) = (t ≤ - 1,6) = P (t> 1,6) = 1 - P (t ≤ 1,6) = 0, Luego, el 5,48% del lote (548 lámparas) no llegarán probablemente a durar 60 meses

10 Distribución. Casos prácticos normales

Ejemplo