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ELECTRÓNICA
Guía de estudio 8:
Circuitos RLC serie
Nivel: Secundario - Modalidad Educación Técnico-Profesional.
Ciclo: Segundo ciclo.
Especialidades: Electrónica, Electricidad.
Fuente de esta guía: Material de estudio de Escuela ORT.
Autores: Ing. Rubén Bernardoni, Ing. Oscar D. Novodvoretz.
Introducción
En esta guía se ve el comportamiento de circuitos serie que incluyen tres componentes: resistencias, capacitores e inductores. A través de diagramas fasoriales y expresiones matemáticas se muestran los desfasajes entre corrientes y tensiones, así como las mag- nitudes de corrientes, tensiones e impedancias. Se incluyen cálculos numéricos. Por último, se analiza el concepto de resonancia.
¿Qué estamos aprendiendo?: Análisis y resolución de circuitos RLC serie.
Es conveniente haber completado las guías 6 y 7 para comprender esta guía.
Materiales de estudio:
Recursos: Apunte de Cátedra de la Facultad de Ciencias Exactas, Ingeniería y Agrimensura de la Universidad Nacional de Rosario
https://www.fceia.unr.edu.ar/tci/utiles/Apuntes/Cap11- 2013%20Res%20de%20fase.pdf
Conceptos relevantes, explicaciones y ejercitaciones.
Circuitos RLC
Un circuito en alterna con inductores y/o capacitores varía su comportamiento de- pendiendo de la frecuencia y del valor de estos componentes.
En general, teniendo en cuenta todas las posibilidades, podemos encontrarnos con circuitos que tengan los siguientes comportamientos:
● Resistivo puro. ● Inductivo puro. ● Capacitivo puro. ● Resistivo-Inductivo (o R-L ). ● Resistivo-Capacitivo (o R-C ). ● Inductivo-Capacitivo (o L-C ). ● Resistivo-Inductivo-Capacitivo (o R-L-C ).
Circuito RL Serie
En la figura 1 se muestra un circuito del tipo R-L serie. A partir de los datos que se proporcionan a continuación, analizaremos inicialmente la resolución que nos permita calcular la impedancia del circuito y la intensidad de la corriente que circula por el mismo. Los datos son:
Figura 1: Circuito R-L serie. Se indican la corriente y las dos caídas de tensión que se producen en el mismo.
Como ocurre en todo circuito serie, la corriente es el elemento común a los compo- nentes del mismo. En nuestro caso, dicha corriente produce dos caídas de tensión
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6
Si ahora dividimos cada uno de los fasores del diagrama de tensiones de la figura 2 por el fasor de la corriente, obtendremos el diagrama de impedancia correspondiente al circuito R-L, tal como se muestra en la figura 3:
Figura 3: Obtención del diagrama de impedancias a partir del diagrama de tensiones.
El diagrama (o triángulo) de impedancia de la figura 3 nos muestra que la impedancia Z de nuestro circuito es un vector que, en general, puede escribirse en la forma expo- nencial, o bien en la forma binómica. Ambas formas se indican, respectivamente, en las expresiones 7 y 8:
7
8
Mediante la aplicación del Teorema de Pitágoras podemos calcular el módulo Z del vector impedancia, tal como indica la expresión 9, y mediante la expresión 10 calcula- remos el ángulo de dicho vector:
9
10
Ahora estamos en condiciones de calcular la impedancia del circuito. En primer lugar, calcularemos la reactancia inductiva XL :
Mediante la expresión 9 calculamos el módulo de la impedancia:
Mediante la expresión 10 calculamos el argumento (o ángulo) de la impedancia:
En definitiva, el valor de la impedancia de nuestro circuito R-L es:
... o bien, expresada en su forma binómica:
Esta última expresión es la que permite dibujar el diagrama o triangulo de impedan- cias del circuito que estamos analizando, y que se representa en la figura 4:
Figura 4: Diagrama o triángulo de impedancias del circuito R-L del ejemplo (en escala).
Ahora, conociendo los valores de las componentes de la impedancia del circuito (R y XL), podremos calcular la intensidad de la corriente que circula por el mismo. Puesto que po- seemos el dato de la tensión de alimentación, aplicaremos la Ley de Ohm:
Circuito RC Serie
Figura 6: Circuito R-C serie. Se indican la corriente y las dos caídas de tensión que se producen en el mismo.
Para el circuito de la figura 6 propondremos los siguientes datos:
Nuevamente, y por tratarse de un circuito serie, la corriente es el elemento común a los componentes del mismo. Dicha corriente (hasta aquí de valor desconocido) pro- duce dos caídas de tensión que sumadas deben verificar la Segunda Ley de Kirchoff; de esta manera, es posible escribir:
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Los valores de estas caídas de tensión también se desconocen. Pero, otra vez, es po- sible plantear una solución aplicando los conceptos resultantes del capítulo de “Cir- cuitos en Régimen Alterno Senoidal”. Allí concluimos que:
● La caída de tensión en la resistencia (fasor VR ) está en fase con la corriente (fasor I ). ● La caída de tensión en el capacitor (fasor VC ) atrasa 90º respecto de la corriente (fasor I ).
...en base a lo cual podremos trazar un diagrama vectorial cualitativo de corriente y tensión, tal como el que se representa en la figura 7:
Figura 7: Diagrama vectorial de corriente y tensiones del circuito R-C serie.
El diagrama de la figura 7 es la representación gráfica de la expresión 11. En él se ve que el vector representativo de la tensión V forma un ángulo φ con el vector represen- tativo de la corriente I. Este ángulo representa el desfasaje resultante entre la tensión de alimentación del circuito y la corriente, y se aprecia que la tensión adelanta respec- to de la corriente. El valor del ángulo φ depende de los valores de los módulos de VR y VC, pero, por tratarse de un circuito R-C serie, dicho ángulo será siempre negativo.
En base al diagrama de la figura 7, la expresión 11 se puede reescribir en la forma:
12
De la expresión 12 se obtiene el módulo del vector V aplicando el Teorema de Pitágo- ras, y también el ángulo del vector V empleando la trigonometría; entonces, sucesi- vamente:
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En resumen, si tomamos el vector de corriente como referencia, los fasores de co- rriente y tensión del circuito R-C serán, en general:
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Dividiendo cada uno de los fasores del diagrama de tensiones de la figura 7 por el fasor de la corriente, obtendremos el diagrama o triángulo de impedancias del circuito R-C, que se muestra en la figura 8:
Figura 8: Obtención del diagrama de impedancias a partir del diagrama de tensiones.
Por lo tanto, el valor de la impedancia de nuestro circuito R-C es, expresado en forma exponencial:
... mientras que expresado en forma binómica es:
Esta última expresión permite dibujar, en escala, el triángulo de impedancias corres- pondiente al circuito bajo análisis:
Figura 9: Diagrama o triángulo de impedancias del circuito R-C del ejemplo (en escala).
Conociendo el valor de la impedancia del circuito, podemos calcular la intensidad de la corriente que circula por el mismo aplicando la Ley de Ohm:
Tal como era de esperar, el carácter capacitivo de la impedancia del circuito hace que la corriente esté adelantada un cierto ángulo respecto de la tensión de alimentación. Luego, el conocimiento del valor de la corriente permite calcular los valores de las caídas de tensión que se producen en el circuito.
La caída de tensión en el resistor es:
Nuevamente, la caída de tensión en el resistor está en fase con la corriente.
Por otra parte, la caída de tensión en el capacitor es:
Se verifica que la caída de tensión en el capacitor retrasa 90º respecto de la corriente.
Con los resultados obtenidos podemos construir el diagrama vectorial de tensiones, que también se denomina “triángulo de tensiones”. Este diagrama se encuentra re- presentado en la figura 10, y en él se aprecia la relación de fase entre cada una de las caídas de tensión, la tensión de alimentación y la corriente que circula por el circuito.
Figura 10: Diagrama vectorial de tensiones del circuito R-L serie.
Circuito RLC serie
Figura 11: Circuito R-L-C serie. Se indican la corriente y las tres caídas de tensión que se producen en el mismo.
Para el circuito de la figura 11 propondremos los mismos valores de componentes empleados en los dos ejemplos anteriores. Así, los datos son los siguientes:
Este último resultado pone de manifiesto que el circuito R-L-C que hemos planteado posee una impedancia equivalente formada por una resistencia de 100 Ω conectada en serie con un inductor cuya reactancia es de 135,5 Ω cuando la frecuencia del gene- rador es de 50 Hz. Aquí debe observarse que, si el valor de la frecuencia fuese otro, la componente imaginaria XL-XC también poseería un valor diferente al actual, puesto que tanto XL como XC dependen de la frecuencia.
Mediante la expresión 22 calcularemos el módulo Z de la impedancia:
Mediante la expresión 23 calcularemos el argumento φ de la impedancia:
Por lo tanto, la notación exponencial de la impedancia de este circuito es:
La corriente que circula por el circuito es:
La caída de tensión en cada uno de los componentes es:
Figura 13: Construcción en escala del diagrama fasorial de tensiones del circuito R-L-C serie. El diagrama de la izquierda representa a cada una de las caídas de tensión con su ángulo de fase respecto de la corriente. El diagrama central representa la suma vectorial de las caídas de tensión. El diagrama de la derecha es el resultado de dicha suma.
Figura 14: Diagrama vectorial de tensiones y corriente del circuito R-L-C serie. A la derecha se observan las señales senoidales correspondientes a cada una de las caídas de tensión, la ten- sión de alimentación y la corriente. Estas señales son el resultado de los vectores giratorios armónicos o fasores.
En este punto resulta de interés analizar qué ocurre a la hora de efectuar mediciones de tensión y corriente en los circuitos de corriente alterna senoidal que contienen compo- nentes reactivos. Tal como hemos visto en el presente capítulo, tensiones y corrientes están caracterizadas por un módulo que equivale a su valor numérico, y por un argu- mento o ángulo que se mide respecto de un eje de referencia. En otras palabras, las tensiones y las corrientes son magnitudes vectoriales (rigurosamente, fasoriales).
Pero también puede ocurrir que la componente imaginaria de la impedancia sea nula.
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...o bien: 26
...o bien:
27
La igualdad de la expresión 27 puede cumplirse en las siguientes tres condiciones:
● Cuando la inductancia posea el valor particular L=LO dado por la expresión:
28
● Cuando la capacidad posea el valor particular C=CO dado por la expresión:
29
● Cuando la frecuencia posea el valor particular f=fO , denominada “frecuencia de resonancia” , que está dado por la expresión:
30
Se dice que un circuito tipo “serie” se encuentra en estado de resonancia
cuando la componente imaginaria de su impedancia es nula.
En definitiva, el cumplimiento de cualquiera de las tres condiciones analizadas hace que la componente imaginaria de la impedancia se anule, razón por la cual su expre- sión se convierte en:
31
La expresión 31 permite adelantar algunas conclusiones iniciales de suma importancia:
1) Cuando el circuito R-L-C serie se encuentra en estado de resonancia la impedancia del mismo alcanza su valor mínimo, y éste coincide con el valor de la resistencia R.
2) Puesto que la impedancia alcanza su valor mínimo, el valor de la corriente del cir- cuito es el máximo posible.
3) Puesto que la impedancia del circuito es de carácter resistivo puro, la corriente del circuito está en fase con la tensión de alimentación, es decir que φ=.
4) La potencia activa es máxima.
Entonces, continuando con nuestro ejemplo de circuito R-L-C serie, calcularemos el valor de la frecuencia que debería tener el generador de tensión para que el circuito entre en estado de resonancia. Posteriormente determinaremos las consecuencias mediatas que se desprenden de dicho estado.
Reemplazando los valores conocidos de L y C en la expresión 30 tendremos:
Por lo tanto, y de acuerdo con la expresión 31, la impedancia en estado de resonancia es:
En consecuencia, el nuevo valor de la corriente, que es la corriente de resonancia, será:
Puesto que la frecuencia de funcionamiento del generador ha sido modificada, será necesario calcular los nuevos valores de las reactancias inductiva y capacitiva (XLO y XCO respectivamente). Pero, en base a la expresión 26, los módulos de ambas reac- tancias deben ser iguales. Entonces:
Figura 16: Diagramas de tensiones y de impedancias (en escala) correspondiente al circuito R-L-C serie en estado de resonancia.
Supongamos ahora que volvemos a implementar el circuito de medición representado en la figura 15 teniendo en cuenta que nuestro circuito R-L-C serie se encuentra en estado de resonancia. En estas condiciones encontramos que el valor de tensión indi- cado por cada uno de los voltímetros será:
● El voltímetro V1 indica el valor eficaz de la caída de tensión en el resistor R, es decir, el módulo del fasor VR. O sea: VR = 100 V. ● El voltímetro V2 indica el valor eficaz de la caída de tensión en el capacitor C, es decir, el módulo del fasor VC. O sea: VC = 153,1 V. ● El voltímetro V3 indica el valor eficaz de la caída de tensión en el inductor L, es decir, el módulo del fasor VL. O sea: VL = 153,1 V. ● El voltímetro V4 indica la sumatoria entre el valor eficaz de la caída de tensión en el capacitor C y el valor eficaz de la caída de tensión en el inductor L (la dife- rencia de potencial entre el borne izquierdo del capacitor y el borne derecho del inductor), es decir, el módulo del fasor VL - VC. O sea: VL-VC = 0 V (pues ambos fasores son iguales y opuestos). ● El voltímetro V5 indica el valor eficaz de la tensión de alimentación, es decir, el módulo del fasor V. O sea: V = 100 V.
Ejercicio Nº 1
Para los siguientes circuitos hallá la impedancia entre los puntos A y B y la frecuencia de resonancia:
Nº CIRCUITO DATOS INCOGNITAS
a)
R = 20 Ω L = 63,7 mHy C=318,5 μF f= 50 Hz
Z= f0=
b)
R = 20 Ω L = 63,7 mHy C=318,5 μF f= 50 Hz
Z= f0=
c)
R = 20 Ω L = 63,7 mHy C=318,5 μF f= 50 Hz
Z= f0=
d)
R = 20 Ω L = 63,7 mHy C=318,5 μF f= 50 Hz
Z= f0=
e)
R = 20 Ω L = 63,7 mHy C=318,5 μF f= 50 Hz
Z= f0=
f)
R = 20 Ω L = 63,7 mHy C=318,5 μF f= 50 Hz
Z= f0=
g)
R = 20 Ω L = 63,7 mHy C=318,5 μF f= 50 Hz
Z= f0=
