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Ecuaciones diferenciales aplicadas en mecanica de materiales
Tipo: Ejercicios
1 / 14
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Materia:
Ecuaciones
Diferenciale
s
Se resolverá la deflexión de una viga con valores en la frontera por
medio de la transformada de Laplace.
Catedrática: Ing. Karla Bojorquez Gutiérrez
Alumnos Matricula
Irving Martin Salcido Medrano 282103
Alejandro Romo González 281972
Marcos Gallegos Hernández 281834
La transformada de Laplace es un operador lineal sumamente útil a la hora
de resolver de manera más eficaz las ecuaciones diferenciales de orden
superior las cuales tienen una gran aplicación en diversas ramas de las
matemáticas y de la física.
En esta ocasión abordaremos una de sus aplicaciones en ingeniería civil, la
cual se centra en las vigas. Estas últimas son un elemento fundamental en la
construcción, no solo soportan presión y peso, sino también flexión y
tensión, además han ayudado a construir muchas estructuras incluso en el
mundo antiguo.
El problema que resolveremos se trata sobre la deflexión de una viga con
valores en la frontera, por lo tanto para iniciar necesitamos saber más sobre
estos elementos estructurales lineales o unidimensionales de la
construcción.
Después nos adentraremos en el modelo matemático del fenómeno que
analizaremos (deflexión de una viga), veremos los métodos con los cuales
vamos a solventar el problema que se nos plantea.
Por último nos centraremos en la resolución del problema en particular,
realizando los cálculos necesarios y explicándolos de manera detallada, una
vez hecho esto mostraremos la gráfica que se genera con el ejercicio caso
particular que se nos ha planteado, para así pasar a la conclusión del
problema.
Considérese una viga de longitud L de un material homogéneo y que
también es uniforme en su sección transversal tal como se muestra en la
figura a. El eje de simetría se indica por la línea punteada.
Si se aplica una carga a la viga en un plano vertical que contiene al eje de
simetría, la viga experimenta una distorsión y la curva que conecta los
centroides de las secciones transversales se llama curva de deflexión o
curva elástica, esto se muestra en la figura b.
La curvatura de deflexión se aproxima a la forma de una viga. El eje x
coincide con el eje de simetría de la viga y que la deflexión y (x ) , medida
desde este eje es positiva si es hacia abajo.
En la teoría de elasticidad se muestra que el momento de flexión M ( x) en un
punto x lo largo de la viga se relaciona con la carga por unidad de longitud
w (x) mediante la ecuación:
d
2
d x
2
=w (x)
Además, el momento de flexión M (x) es proporcional a la curvatura de κ de
la curva elástica.
M ( x ) =EIκκ
Donde E e I son constantes; E es el modulo de Young de elasticidad del
material de la viga e I es el momento de inercia de una sección transversal
de la viga. El producto se llama rigidez flexional de la viga.
La curvatura está dada por κ= y
' '
. Cuando la deflexión y(x) es pequeña, la
pendiente se acerca a cero, y por tanto y
' '
se acerca a uno. Si se permite
que κ ≈ y
' '
, la ecuación
M ( x ) =EIκκ se convierte en M=EIκ y
' '
. La segunda
derivada de esta última expresión es:
d
2
dx
2
=EIκ
d
2
dx
2
y
' '
=EIκ
d
4
y
dx
4
Por lo tanto la deflexión y(x) satisface la ecuación diferencial de cuarto
orden.
EIκ
d
4
y
dx
4
=w ( x)
Las condiciones de frontera (contorno o región donde está definida la
ecuación diferencial) asociadas con esta ultima ecuación depende de los
apoyos extremos de la viga.
Empotrada en ambos extremos
Las condiciones en la frontera en
x= 0 y
x=L son y=0, y
'
Libres
Las condiciones en la frontera del lado en voladizo son x= 0 y x=L son
y
' '
=0, y
' ' '
Apoyados
La función escalón unitario también se puede usar para escribir funciones
definidas por tramos en forma compacta, tenemos 2 tipos distintos los
cuales son:
f ( t )=
{
g ( t ) , 0 ≤ t<a
h
t
,t ≥ a
}
Estas se puede escribir como:
f ( t )=g ( t )−g ( t ) u ( t−a )+h ( t) u(t−a)
Y análogamente tenemos.
f ( t )=
{
0, 0 ≤ t< a
g
t
, a ≤ t<b
0, t ≥ b
}
f ( t )=g ( t ) [u (t−a)−u (t−b)]
Transformada de Laplace
La transformada de Laplace puede ser usada para resolver ecuaciones
diferenciales lineales y ecuaciones integrales, comúnmente a problemas con
coeficientes constantes.
Cuando se resuelven estas ecuaciones usando la técnica de la transformada,
se cambia de una ecuación diferencial a una ecuación algebraica.
Sea f una función definida para t ≥ 0 , la transformada de Laplace de f (t) se
define como
{
f ( t) }
∫
0
+∞
e
−st
f (t) dt
Transformada de una derivada
Si necesitamos encontrar la transformada de Laplace de una derivada de
orden
n de una funcion f (t) se aplica lo siguiente.
d
n
d t
n
f (t)}=S
n
s
n− 1
f
n− 2
f
'
n − 3
f
' '
−…−f
n− 1
La función es a tramos por lo tanto convertimos
w (x)=
w
0
, 0 < x<
< x< L
a su forma compacta a partir de la función escalón, por lo cual para dejar un
cero en la primera parte tal como en la función de Heaviside, de la función a
tramos extraemos
w
0
y realizamos la operación necesaria para hacer que la
segunda parte de la función siga siendo cero.
w ( x )=wo
0, 0 <x<
−wo ,
< x <L
La segunda parte de la función a tramos es la que se multiplica por la
función de escalón unitario dando como resultado lo siguiente.
w
0
−w
0
u( x−
Ya que nuestra viga esta empotrada en x= 0 y apoyado simplemente en x=L
tenemos las siguientes condiciones:
y ( 0 )=0, y
'
( 0 )=0, y
' '
( L)= 0 Y y
' ''
Igualamos w(x) a la ecuación diferencial de cuarto orden que satisface la
deflexión de una viga.
EIκ y
' '' '
=w
0
[ 1 −u( x−
Aplicamos la transformada de una derivada a la ecuación anterior.
EIκ L { y
'' ' '
}=w
0
[ 1 −u( x −
4
4
w
0
EIκ
[
e
−LS
2
]
4
3
4
w
0
EIκ
[
5
e
−LS
2
5 ]
Aplicamos la transformada inversa para encontrar y (x ).
− 1
{
}
− 1
{
3
4
w
0
EIκ
[
5
e
−LS
2
5
]}
− 1
{Y ( S)}= y (x )
Aplicando linealidad.
− 1
{
3
}
n= 2 , 2 != 2 ∴
x
2
− 1
{
4
}
n=3, 3 != 6 ∴
x
3
− 1
{
5
}
n=4, 4 != 24 ∴
x
4
− 1
{
(
e
LS
2
)
(
5
) }
n=4, 4 !=24, a=
(
x −
)
4
La expresión general es.
y ( x )=
x
2
c 2
x
3
w
0
EIκ
Tomamos nuestras segundas condiciones
y ( L)= 0 y y
' '
( L)= 0 por lo tanto
igualamos a cero nuestra expresión general y sustituimos nuestras variables
por la longitud L.
Aplicamos la primera condición.
y ( L)=
2
3
w
0
EIκ
Ya que
no “desactiva” la función por lo cual no se multiplica por la
función escalón unitario, entonces:
y ( L)=
2
3
w
0
EIκ
y ( L)=
2
3
w
0
EIκ
[
4
4
]
y ( L)=
2
3
5 w
0
4
128 EIκ
Aplicamos la segunda condición por lo tanto sacamos la segunda derivada.
y (x )
'
=C 1 x +
x
2
w
0
EIκ
[
x
3
(
x−
)
3
]
y (x )
' '
=C 1 +C 2 x +
w
0
EIκ
[
x
2
(
x−
)
2
]
y (L)
''
w
0
EIκ
[
2
(
)
2
]
y (L)
''
w
0
EIκ
[
2
2
]
y (L)
''
3 w
0
2
8 EIκ
Entonces tenemos nuestro sistema de ecuaciones para averiguar el valor de
las constantes.
2
3
5 w
0
4
128 EIκ
3 w
0
2
8 EIκ
Resolviendo el sistema de ecuaciones, despejamos “C1” en la segunda
ecuación.
3 w
0
2
8 EIκ
Lo sustituimos en la segunda ecuación.
w
0
EIκ
3 w
0
2
8 EIκ
Resolvemos.
(
)
w
0
2
EIκ
w
0
2
EIκ
w
0
2
EIκ
w
0
2
EIκ
Sustituimos los valores de C1 y C2 en la expresión general.
y ( x )=
w
0
2
EIκ
x
2
w
0
EIκ
x
3
w
0
EIκ
Simplificando
y ( x )=
9 w
0
2
2 56 EIκ
x
2
19 w
0
256 EIκ
x
3
w
0
EIκ
Factorizando
y ( x )=
9 w
0
2
2 56 EIκ
x
2
19 w
0
256 EIκ
x
3
w
0
24 EIκ
[
x
4
(
x−
)
4
u
(
x−
)
]
A continuación se observa la representación gráfica de la deflexión de la
viga, con el caso particular de w 0
= 48 EIκ , Iκ = 1 kgm
2
con la viga de granito y un
metro de largo.
Bibliografía:
Dennis G. Zill y Michael R. Cullen. Ecuaciones diferenciales con problemas con valores
en la frontera. 7th ed.; 2009.
F.P. Beer & F- Russell.. Mecánica de materiales. 2nd ed.; 1982
