1Trabajo #02~Segundo corte
Presentado a
Nidia Esther Balmaceda castro
Presentado por
Kevin Pava y
Jamer Arrieta
Universidad del atlántico
Año 2022
1
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Ejercicios Resueltos de Cálculo Diferencial: Aplicaciones de la Derivada, Ejercicios de Cálculo diferencial y integral
ejercicios resueltos de derivadas
Tipo: Ejercicios
2021/2022
1 / 18
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1 Trabajo #02~Segundo corte
Presentado a
Nidia Esther Balmaceda castro
Presentado por
Kevin Pava y
Jamer Arrieta
Universidad del atlántico
Año 2022
Punto 1:
29. Un automovil recorre 290 mi entre los angeles y las vegas en 5 h.
¿Cuál es la velocidad media?
v
m
distancia
tiempo
290 mi
5 h
= 58 mi/h
30. Dos señalizaciones sobre una carretera recta estan a una distacia
de
mi entre si. Una
patrulla observa que un automovil cubre la distancia entre las marcas
en 40 s. suponiendo que la velocidad limite es 60 mi/h, ¿el automovil
sera detenido por exceso de velocidad?
Distancia entre las dos señalizaciones: 0,5 mi
Tiempo del auto en cubrir las dos marcas :40s
Vm=
0,5 mi
40 s
x
3600 s
1 h
= 45 mi /h
el automóvil no será detenido, porque su velocidad media fue de 45
mi/h y la velocidad limite es de 60 mi/h
31. Un avion se desplaza a 920 mi/h para recorrer los 3500 km que
hay entre Hawaii y San Francisco. ¿En cuantas horas realiza este
vuelo?
De la ecuación velocidad media
d
t
se despeja el tiempo y da como
resultado:
tiempo=
d
velocidad media
velocidad media= 920 mi /h d= 3500 km
s=t
2
5 t + 1
, t= 0
se realiza la primera derivada de la función y luego se reemplaza el
valor de t
s ( t )=t
2
5 t+ 1
t=0 s
t
5 t
3
+t
2
5 t + 1
s
'
(t )=
15 t
2
- 2 t
5 t + 1
−( 5 )( 5 t
3
+t
2
( 5 t+ 1 )
2
s
'
(t )=
75 t
3
- 15 t
2
- 10 t
2
- 2 t− 25 t
3
− 5 t
2
( 5 t + 1 )
2
s
'
t
50 t
3
- 20 t
2
- 2 t− 5
( 5 t+ 1 )
2
s
'
3
2
2
- La altura por arriba del suelo a que se suelta una pelota a una
altura inicial de 122.5 m esta dada por s(t)= -4.9t
2
- 122.5, donde s se
mide en metros y t en segundo.
a. ¿Cuál es la velocidad instantanea en t= ½?
b. ¿En que instante la pelota golpea el suelo?
c. ¿Cuál es la velocidad de impacto?
Punto 2.
Encuentra la derivada de las siguientes funciones por definicion.
1. f(x)=3x
2
f ´ ( x )=lim
h → 0
3 ( x +h )
2
− 3 x
2
h
f ´ ( x )=lim
h → 0
3 ( x
2
- 2 xh+h
2
) − 3 x
2
h
f ´
x
=lim
h → 0
3 x
2
- 6 xh+ 3 h
2
− 3 x
2
h
f ´
x
=lim
h → 0
6 xh + 3 h
2
h
f ´ ( x )=lim
h → 0
h( 6 x + 3 h)
h
f ´ ( x )=lim
h → 0
6 x+ 3 h
f ´ ( x )=lim
h → 0
6 x+lim
h → 0
3 h
f ´ ( x )= 6 x + 0
f ´ ( x )= 6 x
2. f(x)=-x
2
f ´ ( x )=lim
h → 0
−( x+h)
2
- 1 −( x
2
h
f ´
x
=lim
h → 0
−x
2
− 2 xh−h
2
- 1 + x
2
h
f ´
x
=lim
h → 0
− 2 xh−h
2
h
f ´ ( x )=lim
h → 0
h(− 2 x−h)
h
f ´ ( x )=lim
h → 0
− 2 x−h
f ´ ( x )=lim
h → 0
− 2 x−lim
h → 0
h
f ´ ( x )=− 2 x − 0
f ´ ( x )=− 2 x
3. f(x)=-x
2
+4x-
f ´ ( x )=lim
h → 0
−( x+ h)
2
- 4 ( x +h) + 1 −(−x
2
- 4 x + 1 )
h
f ´
x
=lim
h → 0
−x
2
− 2 xh−h
2
- 4 x+ 4 h+ 1 +x
2
− 4 x− 1
h
f ´ ( x )=lim
h → 0
x
2
- 2 xh+h
2
- 2 x+ 2 h+ 1 −x
2
− 2 x− 1
h
f ´ ( x )=lim
h → 0
2 xh+ h
2
- 2 h
h
f ´ ( x )=lim
h → 0
h( 2 x+h+ 2 )
h
f ´ ( x )=lim
h → 0
2 x+lim
h → 0
h+lim
h→ 0
f ´ ( x )= 2 x + 0 + 2
f ´ ( x )= 2 x + 2 x
f ( x )=( 2 x− 5 )
2
f
x
= 4 x
2
− 20 x + x 25
f ´
x
=lim
h → 0
4 ( x +h)
2
x+ h
f ´ ( x )=lim
h → 0
4 (x
2
- 2 xh+h
2
)− 20 x− 20 h+ 25 − 4 x
2
- 20 x− 25
h
f ´ ( x )=lim
h → 0
4 x
2
- 8 xh+ 4 h
2
− 20 x− 20 h+ 25 − 4 x
2
- 20 x− 25
h
f ´ ( x )=lim
h → 0
8 xh+ 4 h
2
− 20 h
h
f ´ ( x )=lim
h → 0
h( 8 x + 4 h− 20 )
h
f ´ ( x )=lim
h → 0
8 x+¿ ¿
lim
h→ 0
4 h−lim
h → 0
f ´ ( x )= 8 x + 0 − 20 f ´ ( x )= 8 x− 20
f
x
=x
3
- x
f ´ ( x )=lim
h → 0
(x +h)
3
( x¿¿ 3 + x )
h
f ´
x
=lim
h → 0
x
3
- 3 x
2
h+ 3 x h
2
+h
3
- x +h−x
3
−x
h
f ´
x
=lim
h → 0
3 x
2
h+ 3 x h
2
+h
3
- h
h
f ´ ( x )=lim
h → 0
h( 3 x
2
- 3 xh+ h
2
h
f ´ ( x )=lim
h → 0
3 x
2
- 3 xh+ h
2
f ´ ( x )=lim
h → 0
3 x
2
- lim
h → 0
3 xh+lim
h → 0
h
2
+lim
h → 0
f ´
x
= 3 x
2
f ´ ( x )= 3 x
2
f
x
= 2 x
3
- x
2
f ´ ( x )=lim
h → 0
2 (x +h)
3
+( x +h)
2
( 2 x
¿ 3 + x
2
h
f ´ ( x )=lim
h → 0
2 (x
¿ 3 + 3 x
2
h+ 3 x h
2
+h
3
x
2
- 2 xh+ h
2
− 2 x
3
−x
2
h
f ´
x
=lim
h → 0
2 x
3
- 6 x
2
h+ 6 x h
2
- 2 h
3
+x
2
- 2 xh+h
2
− 2 x
3
−x
2
h
f ´ ( x )=lim
h → 0
6 x
2
h+ 6 x h
2
- 2 h
3
- 2 xh+h
2
h
f ´ ( x )=lim
h → 0
h( 6 x
2
- 6 xh+ 2 h
2
- 2 x +h)
h
f ´
x
=lim
h → 0
6 x
2
- 6 xh + 2 h
2
- 2 x +h
f ´
x
=lim
h → 0
6 x
2
- lim
h → 0
6 xh+ lim
h → 0
2 h
2
- lim
h → 0
2 x+ lim
h → 0
h
f ´
x
= 6 x
2
- 0 + 0 + 2 x + 0
f ´
x
= 6 x
2
- 2 x
y=−x
3
- 15 x
2
−x
y ´=lim
h → 0
−( x+ h)
3
- 15 (x +h)
2
−( x−h)−
(x
¿ 3 + 15 x
2
−x)
h
y ´=lim
h → 0
−x
3
− 3 x
2
h− 3 xh
2
−h
3
- 15 x
2
- 30 xh+ 15 h
2
−x−h+ x
3
− 15 x
2
+x
h
y ´=lim
h → 0
− 3 x
2
h− 3 xh
2
−h
3
- 30 xh+ 15 h
2
−h
h
y ´=lim
h → 0
h(− 3 x
2
− 3 xh−h
2
- 30 x + 15 h− 1 )
h
y ´=−lim
h → 0
3 x
2
−lim
h → 0
3 xh+ lim
h → 0
h
2
+lim
h→ 0
30 x + lim
h→ 0
15 h−lim
h→ 0
y ´=− 3 x
2
- 0 + 0 + 30 x + 0 − 1
y ´=− 3 x
2
- 30 x− 1
y= 3 x
4
- f ( x )=( x
2
− 1 )(x
2
− 10 x +
x
2
f ´ ( x )=(x
2
− 1 )´( x
2
− 10 x +
x
2
)+( x
2
− 1 )( x
2
− 10 x +
x
2
f ´ ( x )=( 2 x)( x
2
− 10 x+
x
2
)+( x
2
(
2 x− 10 −
x
3
)
f ´ ( x )= 2 x
3
− 20 x
2
x
- 2 x
3
− 10 x
2
x
− 2 x + 10 +
x
3
f ´ ( x )= 4 x
3
− 30 x
2
− 2 x+
x
3
- f
x
x
2
2 x
2
+x+ 1
f ´ ( x )=(x ¿¿ 2 ) ´
2 x
2
- x + 1
( x¿¿ 2 )( 2 x
2
+ x+ 1 ) ´
2 x
2
- x+ 1
2
f ´ ( x )=
2 x
2 x
2
- x + 1
−x
2
4 x + 1
2 x
2
- x + 1
2
f ´
x
4 x
3
- 2 x
2
- 2 x− 4 x
3
−x
2
( 2 x
2
+x + 1 )
2
f ´
x
x
2
- 2 x
( 2 x
2
+ x + 1 )
2
- f ( x )=
x
2
− 10 x + 2
x(x ¿¿ 2 − 1 )¿
f ´ ( x )=
x
2
− 10 x + 2
´ [ x ( x ¿¿ 2 − 1 )]−
x
2
− 10 x + 2
[ x (x ¿¿ 2 − 1 )]´
f ´ ( x )=( 2 x− 10 ) ( x
3
−x)−( x
2
− 10 x + 2 )
( 3 x¿ ¿ 2 − 1 )
f ´
x
2 x
4
− 2 x
2
− 10 x
3
- 10 x− 3 x
4
- x
2
- 30 x
3
− 10 x− 6 x
2
f ´
x
−x
4
− 8 x
2
- 20 x
3
- x
2
f ´
x
−x
4
- 20 x
3
− 7 x
2
- f ( x )=( x+ 1 )( 2 x+ 1 )( 3 x+ 1 )
f ´
x
2 x
2
- 3 x+ 1
3 x+ 1
2 x
2
- 3 x+ 1
3 x + 1
f ´ ( x )=( 4 x + 3 ) ( 3 x + 1 ) +( 2 x
2
+ 3 x + 1 ) ( 3 )
f ´
x
= 12 x
2
- 4 x + 9 x+ 3 + 6 x
2
- 9 x + 3
f ´
x
= 18 x
2
- 22 x + 6
- f
x
=( x
2
- 1 )( x
3
−x)( 3 x
4
- 2 x− 1 )
f
x
x
5
−x
( 3 x
4
- 2 x− 1 )
f ´ ( x )=( x
5
−x) ´ ( 3 x
4
+ 2 x− 1 )( x
5
−x ) ( 3 x
4
- 2 x − 1 ) ´
f ´
x
5 x
4
( 3 x
4
- 2 x− 1 )
x
5
−x
( 12 x
3
f ´
x
= 15 x
8
- 10 x
5
− 5 x
4
− 3 x
4
− 2 x + 1 + 12 x
8
- 2 x
5
− 12 x
4
− 2 x
f ´
x
= 27 x
8
- 12 x
5
− 20 x
4
− 4 x+ 1
- f ( x )=
( 2 x+ 1 )( x− 5 )
3 x + 2
f
x
2 x
2
− 10 x + x− 5
3 x + 2
2 x
2
− 9 x− 5
3 x+ 2
f ´ ( x )=
2 x
2
− 9 x− 5
3 x+ 2
2 x
2
− 9 x− 5
( 3 x + 2 )´
( 3 x + 2 )
2
f ´ ( x )=
4 x− 9
3 x+ 2
2 x
2
− 9 x− 5
( 3 x+ 2 )
2
f ´ ( x )=
12 x
2
- 8 x− 27 x− 18 − 6 x
2
- 27 x + 15
( 3 x+ 2 )
2
f ´
x
6 x
2
- 8 x− 3
( 3 x + 2 )
2
- f
x
x
5
( x
2
- 1 )( x
3
f ( x )=
x
5
x
5
- x
3
- 4 x
2
f ´ ( x )=
x
5
x
5
- x
3
- 4 x
2
x
5
( x
5
+x
3
- 4 x
2
(x
2
2
(x
3
2
f ´ ( x )=
5 x
4
( x
5
- x
3
- 4 x
2
+ 4 ) −( x
5
) ( 5 x
4
- 3 x
2
- 8 x )
( x
2
2
( x
3
2
En los problemas 21-24, encuentra una ecuacion de la recta tangente
a la grafica de la funcion dada en el valor indicado de x.
- y= 2 x
3
− 1 , x=− 1
f (− 1 )= 2 (− 1 )
3
Tangente
y= 2 x
3
y ´= 6 x
2
y ´ (− 1 )= 6 (− 1 )
2
y ´ (− 1 )= 6 m. tangente.
y-y 1
=m(x-x 1
y+3 = 6 (x +1)
y+3 = 6x +
y= 6x +6 – 3
y= 6x+
- y=−x +
x
, x= 2
f ( 2 ) =−( 2 ) +
Tangente
y=−x+
x
y ´=− 1 −
8 ´ ( x )− 8 ( x ) ´
x
2
y ´=− 1 −
x
x
2
x
2
−x
2
x
2
y ´ ( 2 )=
2
2
=− 3 m. tangente
y-y 1
=m(x-x 1
y-2 = -3 (x -2)
y-2 = -3x +
y= -3x +6 +
y= -3x+
- f ( x )=
√
x
√
x , x= 4
f ( 4 )=
√
- 2 √ 4 = 2 + 4 = 6
Tangente
f ( x )=
√
x
√
x
f ´ ( x )=
x
3
2
√
x
f ´ ( 4 ) =
3
2
√
f ´ ( 4 ) =
f ´ ( 4 ) =
m. tangente
y-y 1
=m(x-x 1
y-6 =
(x -4)
y-6 =
x
y =
x
-1+6 y =
x
- f ( x )=−x
3
- 6 x
2
, x= 1
f ( 1 ) =−( 1 )
3
2
Tangente
f ( x )=−x
3
- 6 x
2
f ´ ( x )=− 3 x
2
- 12 x
f ´ ( 1 ) =− 3 ( 1 )
2
- 12 ( 1 )=− 3 + 12 = 9 m .tangente
y-y 1
=m(x-x 1
y-5 =9(x -1)
y-5 =9x -
y =9x -9+5 y =9x -
y ´= 5 (x−
x
2
4
x−
x
2
y ´= 5 (x−
x
2
4
x
3
y ´=
x
3
(x−
x
2
4
- y=
( x
3
− 2 x
2
4
y=(x
3
− 2 x
2
− 4
y ´= 4 ( x
3
− 2 x
2
− 5
( x
3
− 2 x
2
y ´= 4 ( x
3
− 2 x
2
− 5
( 3 x
2
− 4 x )
y ´=
3 x
2
− 4 x
( x
3
− 2 x
2
5
- y=
√
x
2
− 4 x + 1
y=
( x
2
− 4 x + 1 )
1
2
y=
( x
2
− 4 x + 1 )
1
2
y ´=
( x
2
− 4 x + 1 )
1
2
x
2
− 4 x + 1
1
2
[
x
2
− 4 x+ 1
1
2
]
2
y ´=
[
x
2
− 4 x+ 1
1
2
]
[
x
2
− 4 x+ 1
1
2
( 2 x− 4 )
]
[( x
2
− 4 x + 1 )
1
2
]
2
y ´=
( x
2
− 4 x+ 1 )
1
2
5 ( 2 x− 4 )
( x
2
− 4 x+ 1 )
1
2
[( x
2
− 4 x+ 1 )
1
2
]
2
y ´=
5 ( 2 x− 4 )
( x
2
− 4 x + 1 )
1
2
x
2
− 4 x+ 1
y ´=
10 x − 20
( x
2
− 4 x + 1 )
1
2
( x
2
− 4 x+ 1 )
y ´=
10 x− 20
( x
2
− 4 x+ 1 )
3
2
- y=( 3 x− 1 )
4
(− 2 x + 9 )
5
y ´=[ 4 ( 3 x− 1 )
3
( 3 ) ] [(− 2 x + 9 ) ¿
¿ 5 ]+¿ ¿
y ´=¿
y ´= 12 ( 3 x− 1 )
3
(− 2 x+ 9 )
5
- y=x
4
(x
2
6
u=x
4
v=( x
2
6
du= 4 x
3
dv= 12 x (x
2
5
y ´=x
4
( 12 x ( x
2
5
) +( x
2
6
( 4 x
3
y ´= 12 x
5
( x
2
5
- 4 x
3
( x
2
6
y ´=x
4
( 12 x ( x
2
5
) +( x
2
6
( 4 x
3
- y=sen √
2 x
y ´=[cos √
2 x ].
√
√
x
y ´=
[ cos √ 2 x
]
√
√
x
- y=sec x
2
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