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DESARTICULACIÓN DE LAS PRAXEOLOGÍAS QUE SE PONEN
EN JUEGO EN LOS TEXTOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL E
INTEGRAL.
Rojas Salinas, Patricia Universidad del Bío-Bío ; paesrojas@gmail.com Resumen Los textos han sido un referente a lo largo de la historia de la Educación Matemática, desde el punto de vista del profesor: para preparar las clases, citar los teoremas, buscar ejercicios o problemas y desde la visión de alumno: para estudiar los teoremas, revisar los ejercicios desarrollados para ver los mecanismos y seleccionar del listado de ejercicios propuestos los que les parezcan más pertinentes para resolver; no obstante en muchas oportunidades las Praxeologías presentadas en los textos son incompletas, lo que torna esta revisión, sea cual sea su uso, un simple repetir técnicas de resolución, provocando una desarticulación entre las tareas, los problemas, las técnicas que se construyen y utilizan con los aspectos descriptivos que las organizan. Palabras clave : Teoría Antropológica de lo Didáctico (TAD), Praxeología, Organización Matemática (OM). INTRODUCCIÓN El objetivo de este trabajo es exhibir el análisis del Fenómeno de la Desarticulación del Cálculo Diferencial del Integral desde el punto de vista de la institución, se enmarca dentro de un trabajo doctoral, pero para efecto de este escrito se exhibirá el análisis de texto del concepto de derivada y se mostrarán las conclusiones generales. El diseño metodológico fue flexible puesto que la TAD tiene su propia metodología de investigación, para lo relacionado con los instrumentos de toma de datos se utilizó un paradigma cuantitativo. Se analizan las Praxeologías que se ponen en juego en una Universidad, para lograrlo se desarrollaron varias actividades: Se parte por la confección de un instrumento, el cual se validó usando juicio de expertos, éste permitió descifrar cuales son los textos de mayor uso por los profesores de Cálculo Diferencial e Integral para la planificación de sus clases y cuáles son los textos que mayormente recomiendan a sus estudiantes. La razón: “Al momento de planificar una asignatura, los libros de texto tienen gran influencia, pues cada uno tiene una perspectiva de los conceptos que se ve reflejado tanto en el orden que se da a estos, como en los ejercicios o ejemplos que se muestran en ellos”. En muchas oportunidades se trabaja en base sólo a las acciones de repetir desde un modelo prescrito por el profesor o en este caso dado por los textos de mayor uso. Se recurre a “La Teoría Antropológica de lo Didáctico” (TAD), y tomamos de ella el constructo de Praxeología. Para esto diremos que, la Praxeología Matemática u Organización Matemática es la herramienta que permite modelizar en detalle las actividades matemáticas, posee componentes fundamentales, como lo son según Chevallard, Bosch y Gascón (1997), las Tareas, que son las cuestiones problemáticas presentadas y Las Técnicas que son una manera de realizar dichas tareas, ambas conforman el bloque de la “Praxis”. Por otro lado la Tecnología, que es el discurso racional sobre la técnica y la Teoría que es el argumento formal que justifica a la tecnología, estos conforman el bloque del “Logos”.
Rojas Salinas , Patricia Se espera describir la actividad matemática, como actividad humana, observando cómo son dispuestas, es decir cuál es la estructura, funciones de estas en los libros de textos, analizando como han sido diseñados y gestionados los procesos didácticos. Es decir las Organizaciónes Matemáticas (OM) que se analizarán son las correspondientes a las siguientes cuestiones: Q (^) 0: ¿Cómo es presentado para su estudio el concepto de Derivada e Integral? Q 1 : ¿Cómo son las tareas planteadas, las técnicas y tecnologías usadas en la resolución de problemas? Y Q 2 : ¿Qué relación existe en ellas? El objetivo es identificar cuáles son las praxeologías usadas en la construcción de los libros de textos, tomando en cuenta que el profesor al usarlos tomará de estos elementos que influirán de cierta manera en su quehacer, es más, en oportunidades, son esas mismas reconstrucciones de saberes matemáticos las que se enseñan, siendo los libros de texto reales intermediarios entre los diseños curriculares y la práctica docente en aula. Desarrollo Para hacerlo se observó que tipo de problemas se plantean, las técnicas de resolución, los discursos, como son planteadas las teorías, como se interpretan las soluciones, que tipos de relaciones se formulan, ¿Son realmente problemas o sólo ejercicios? Además se analizarán los teoremas más importantes, observando el lenguaje utilizado además de la articulación entre derivadas e Integrales. Caracterizamos los problemas planteados en los textos según: Tarea, Técnica Matemática, Tecnología y Teoría; separando así los bloques Práctico-Técnico del Tecnológico-Teórico, además del análisis de la cantidad de ejercicios resueltos en cada caso y los propuestos en cada uno de ellos. Para lograrlo se partió entrevistando a 20 profesores que imparten la asignatura de Cálculo Diferencial e Integral y se les solicitó responder entre otros a las siguientes cuestiones: ¿Cuáles son los tres textos que usa preferentemente para la planificación de un curso de Cálculo Diferencial e Integral? Y ¿Cuáles son los tres textos que mayormente recomienda a sus estudiantes de Cálculo Diferencial e Integral? No podemos olvidar que el objetivo no es generar un ranking entre los textos, ni una comparación entre ellos, sino muy por el contrario se desea analizar las Praxeologías existentes en los textos de mayor uso. La Hipótesis planteada es que las Praxeologías presentadas y trabajadas en los libros de textos, usados tanto por estudiantes, como profesores son incompletas. El siguiente gráfico muestra el resultado de la pregunta realizada a los 20 profesores respecto de: ¿Cuáles son los tres textos que usa preferentemente para la planificación de un curso de Cálculo Diferencial e Integral?
Rojas Salinas , Patricia Se construyó una tabla, para permitir un mejor análisis de manera tal de observar la separación de los bloques y la cantidad de ejercicios resueltos en cada caso, luego se indica los ejercicios propuestos correspondientes a cada secci Tareas Ejerc. Técnicas Tecnologías Teoría Identificar una recta tangente. 1 Los cuatro pasos a) 𝑫𝒂𝒅𝒐 𝑓 𝑥 𝑠𝑒 𝑖𝑛𝑐𝑟𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑥 𝑒𝑛 ∆𝑥, 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑓(𝑥 + ∆𝑥). b) 𝑺𝒆 ℎ𝑎𝑐𝑒 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑓 𝑥 + ∆𝑥 𝑐𝑜𝑛 𝑓(𝑥). c) 𝑺𝒆 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 ∆𝑥 𝑦, d) 𝑺𝒆 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 lim∆!→! 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑟 𝒍𝒂 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝒇´ 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚∆!→!^!^ !!∆ ∆!!^ !!(!) Definición de la derivada de una función 𝒇´ 𝑥 = (^) ∆𝑙𝑖𝑚!→! 𝑓 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑓(𝑥) ∆𝑥 “Si f está definida en un intervalo abierto que contiene a c y además existe el límite ∆^ 𝑙𝑖𝑚!→! ∆𝑦 ∆𝑥 = (^) ∆𝑙𝑖𝑚!→! 𝑓 𝑐 + ∆𝑥 − 𝑓(𝑐) ∆𝑥 = 𝑚 entonces, la recta que pasa por (c,f(c)) y cuenta con una pendiente m es la recta tangente a la gráfica de f en el punto (c, f( c) )”. la derivada de f en x viene dada por f´(x) = (^) ∆𝑙𝑖𝑚!→! 𝑓 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑓(𝑥) ∆𝑥 siempre que exista ese límite. para todos los x para los que exista este límite, f´ es una función de x. derivable implica continua: si f es derivable en x = c, entonces f es continua en x = c. Encontrar la pendiente de: a) la gráfica f(x) en un punto. b) la gráfica paralela a la recta dada. c) recta tangente a la gráfica de f(x). 1 1 1 Calcular la derivada de f(x) 3 Figura N°2: Sección 1: La derivada y su interpretación geométrica La revisión del texto I, nos entrega 8 ejercicios guía desarrollados paso a paso, claramente se muestran tres tipos de tareas para una misma técnica, se usa la noción de límite, como es común a encontrar en otros textos; además cuenta con 104 ejercicios propuestos, que se pretende realicen con el uso de la técnica descrita en la tabla. El texto parte con el análisis de La derivada y su interpretación geométrica, presentando una noción histórica de trabajos matemáticos del siglo XVII, refiriéndose al la noción de límite dispuesta en problemas como: La recta tangente, La velocidad y Aceleración, Máximos – Mínimos y Área. Es la noción de límite la que prevalece en la definición de recta tangente y derivada de una función, lo que se ve reflejado en los ejemplos que presentan la utilidad de la derivada para calcular ritmos de cambio, mencionando una función de velocidad y posición. Además, los Teoremas se demuestran usando límites, no obstante promueven el cálculo de las derivadas sin el uso directo de la definición de límites sino el mecanismo estos. Del mismo modo se revisaron los demás capítulos, en general texto de uso bastante automático, con tendencia a la repetición de teoremas, observada en la forma de plantear los ejercicios, ya que estos solicitan el resolver, calcular, determinar sin permitir la deducción por parte del lector, en sus ejercicios se tiende a mecanizar las técnicas matemáticas. No se observa relación directa de la Derivada con su función inversa lo que induce a pensar que trabaja los conceptos como totalmente
Desarticulación de las Praxeologías que se ponen en juego en los textos de cálculo Diferencial e Integral 5 aislados. Esto repercute en que el estudiante no genere un aprendizaje que le permita contextualizar luego en problemas que involucran ambas concepciones. Es característica en el texto una cercanía entre la técnica y la tecnología, evidenciado en los ejemplos y su resolución. Si bien hay una concordancia en el orden del texto presenta la antiderivada, permitiendo al lector adentrarse en la búsqueda del conocimiento, los ejemplos y problemas planteados, no son más que ejercicios que carecen de Discusiones y la posibilidad para el lector avanzar en el conocimiento de forma que no sea solo funcional. Se observa que es un texto que permite al estudiante, por su gran cantidad de ejercicios, impregnarse de los teoremas, pero al analizar los bloques técnicos nos damos cuenta que tienden a mecanizar las respuestas usando teoremas fijos sin permitir en el lector realice deducciones, responda usando otras nociones matemáticas. Por otro lado, al analizar el bloque de lo tecnológico observamos teoremas fijos, no un descubrir de concepciones, sino estándares de resolución. Conclusiones en el análisis de los textos Se evidencia que no existe búsqueda de modelos sino modelos estructurados, incitando un aprendizaje memorístico más que significativo. Si bien los teoremas presentados en los textos son suficientes para la resolución de los ejercicios, estos no salen del Calcular, resolver, determinar, demostrar; carecen del Discutir, evaluar, comprender, analizar, crear. Se espera que en este momento seamos capaces de idear, diseñar o tal vez construir elementos gracias a los conceptos, por tanto la necesidad está en llevar el conocimiento al nivel más alto posible. Se recomienda reorganizar las OM, de manera tal que las tareas sugeridas permitan resolver mediante la elaboración de nuevas técnicas. Las tecnologías van al encuentro con la técnica, es decir el nivel de la praxis no aparece muy alejado del nivel del logos, no obstante como son planteados los ejemplos en un nivel básico del pensamiento así serán reproducidos tanto por profesores como estudiantes para así fomentar la construcción de Praxeologías mas completas. Referencias Barquero, B. (2009). Ecología de la Modelización Matemática en la Enseñanza Universitaria de las Matemáticas. Tesis Doctoral. Universidad Autónoma de Barcelona. Chevallard, Y. (1985). La Transposition Didactique. Du savoir savant au savoir eneigné. Grenoble: La Pensée Sauvage. Chavallard, Y. Bosch, M. Gascón, J.(2000). Estudiar Matemática, El Eslabón Perdido entre Enseñanza y Aprendizaje. Barcelona: Editorial Horsori. Larson, R. Hostetler, R. Edwards, B. (2009). Cálculo Integral. México: McGraw-Hill. Larson, R. Hostetler, R. Edwards, B. (2009). Cálculo Diferencial. México: McGaw- Hill. Otero, M. (2013). La Teoría Antropológica de lo Didáctico en el Aula de Matemática. Argentina. ISBN 978- 987 - 02 - 7071 - 3. Protter, M. Morrey, Ch. (1986). Cálculo con Geometría Analítica. E.U.A.: Addison_Wesley Iberoamericana,S.A. Taylor, H. Wade, T. (2012). Cálculo Diferencial e Integral. México: Limusa S.A.
