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DETERMINANTES
1.Introducción
Es casi increíble, pero se encuentra un método matricial en la China del 200 a.C. Se trata de un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas. Ya en el siglo XVI, Cardano 1 ofreció un método para resolver un sistema lineal de dos ecuaciones, que es básicamente lo que conocemos como la "regla de Cramer'' (aunque no llega a la noción de determinante). Pero, ¿De dónde surgieron los determinantes? Por supuesto, en el contexto de la solución de sistemas de ecuaciones lineales. Pero no solamente ahí se los puede encontrar tambien dentro del cálculo diferencial e integral, también en los sistemas de ecuaciones diferenciales, cambios de variables en métodos de integración, y en el estudio de propiedades de las formas cuadráticas en 3 o más variables que se pueden ver asociadas, por ejemplo, a la teoría de números, pero que aparecen en muchas otras partes de las matemáticas. Es entonces que podemos decir que la historia del desarrollo de los determinantes es azarosa. Una prueba de ello es que la extensa obra “ Thre Theory of determinants in the Historical Order of Development “dedica los cuatro primeros volúmenes a los resultados obtenidos hasta el año 1900. El término “determinante” fue empleado por Gauss 2 por primera vez en 1801 en su obra “ Disquisiciones Aritméticas” aunque no le dio el significado actual. Laplace 3 , Vandermonde 4 y Lagrange 5 realizaron algunos trabajos pioneros sobre determinantes aunque Laplace lo usaba con el nombre de “resultante” pero el primer texto que podría
(^1) Cardano Jérôme ( 1501- 1576) Nació en Pavía actual Italia Matemático italiano. Se graduó en la
Universidad de Pavía y se doctoró en medicina (1526) en la de Padua. En 1536 se trasladó a Milán, donde empezó a ejercer como profesor de matemáticas. Publicó su obra científica más importante, el Ars magna , donde se recoge un exhaustivo estudio de las ecuaciones de tercer grado o cúbicas, y en la que se ofrece la regla para la resolución de las mismas que lleva su nombre. Por la publicación de dicho resultado fue duramente criticado
(^2) Gauss Karl Friedrich (!777-1855) Matemático, físico y astrónomo alemán. Nacido en el seno de una familia humilde, desde muy temprana edad Gauss dio muestras de una prodigiosa capacidad para las matemáticas (según la leyenda, a los tres años interrumpió a su padre cuando estaba ocupado en la contabilidad de su negocio para indicarle un error de cálculo), hasta el punto de ser recomendado al duque de Brunswick por sus profesores de la escuela primaria conocido por sus muy diversas contribuciones al campo de la física, especialmente por sus estudios del electromagnetismo
(^3) Laplace,Pierre (1749-1827) Nació en Francia.A la edad de dieciocho años, Laplace se distinguía como maestro y matemático en la escuela militar de la pequeña población de Beaumont. Pero, para él, París era la única ciudad por la que entraría en el gran mundo de la ciencia. Con la ayuda de D’Alambert, obtuvo más tarde el nombramiento de profesor de matemáticas en la escuela Militar de París, y quedó asegurado su ingreso en el mundo de la ciencia. Entre 1799 y 1825, Laplace reunió sus escritos en una obra de cinco volúmenes, titulada Mecánica Celeste, en la que se proponía dar una historia de la astronomía, sistematizando la obra de generaciones de astrónomos y matemáticos, y ofreciendo una solución completa a los problemas mecánicos del sistema solar. Más tarde publicó un volumen titulado El sistema del mundo. En 1812 publicó su Teoría analítica de las probabilidades, que es un estudio sobre las leyes de probabilidad.
(^4) Vandermonde Alexandre (1735-1796) Matemático francés. Nació en Paris,Francia. Sus trabajos versaron principalmente sobre los determinantes y sobre la teoría de los grupos de sustitución. Indicó la posibilidad de obtener las raíces de la ecuación x n - 1 = 0 para todo n primo. También se ocupó de temas de mecánica y de metalurgia.
(^5) Lagrange, Joseph. (1736-1813) Nació en Turín, Italia Lagrange, procedía de una ilustre familia parisiense, que tenía profundo arraigo en Cerdeña, y algún rastro de noble linaje italiano. Pasó sus primeros años en Turín, su activa
considerarse que desarrolla este tema fue el que presentó Cauchy 6 en 1812. En esta obra la definición de “determinante “y la notación era diferente a la actual. Las notación de las dos barras para el determinante se debe a otro gran matemático inglés, Cayley^7. Una definición axiomática de determinante fue dada por Weierstrass 8 , aparece en un libro póstumo de 1903.
2.Determinantes 9
Definición 1: Dada una matriz A K pxp^ llamaremos “ menor i,j” el cual denotaremos M (^) ij al determinante de la matriz de orden (p-1)x(p-1) que queda formada cuando se suprime de la matriz A la fila i y la columna j.
Ejemplo:
Sea
el “menor 2,3” el cual denotamos M2,3 esta dado por la
matriz que obtenemos al suprimir fila 2 columna 3
entonces M (^) 2,3 = 0 2 5
madurez en Berlín, y sus últimos años en París, donde logró su mayor fama. Después de varios años del mayor esfuerzo intelectual sucedió a Euler en Berlín. De vez en cuando estaba gravemente enfermo, debido al exceso de trabajo. En Alemania, el rey Federico, que siempre le había admirado, pronto comenzó a gustar de sus modales modestos, y le reprendía por su intemperancia en el estudio, que amenazaba con desquiciar su mente.
(^6) Cauchy,Agustin (1789-1857)Nació en Paris, Francia. Matemático. Con veintisiete años ya era uno de los matemáticos de mayor prestigio y empezó a trabajar en las funciones de variable compleja, publicando las 300 páginas de esa investigación once años después. En esta época publicó sus trabajos sobre límites, continuidad y sobre la convergencia de las series infinitas. En 1830 se exilió en Turín, donde trabajó como profesor de física matemática hasta que regresó a París (1838). Pasó el resto de su vida enseñando en La Sorbona.
(^7) Cayley,Arthur. (1821-1895) Modulo de vectores y matrices
(^8) Weierstrass Kart.(1815-1897) Matemático alemán. En 1839 fue aceptado en la Academia de Teología y Filosofía de Münster, donde encontró la inspiración matemática. En 1854 envió un trabajo sobre funciones abelianas a una publicación matemática de prestigio, y sorprendió a la comunidad matemática con su genio. Por este trabajo recibió el doctorado honorífico de la Universidad de Königsberg y en 1856 fue aceptado como profesor asociado en la Universidad de Berlín.
(^9) Sea dará la definición de determinantes por recurrencia partiendo de matrices de dimensión (p-1)x(p-1) hasta llegar a
las matrices de 1x1 donde A=( ) y |A| =| |= K
En símbolos:
1º Sea A K2x2^ tal que A= (^)
21 22
11 12 a a
a a el determinante de A esta dado por
21 22
11 12 a a
a a =a 11 A11+ a 12 A 12 =a 11 a 22 -a 12 a 21
Por lo tanto:
2º Sea A K3x3^ tal que A =
31 32 33
21 22 23
11 12 13
a a a
a a a
a a a
|A|=a 11 A 11 +a 12 A 12 +a 13 A 13 = a 11 (-1) 1+1^ 32 33
22 23 a a
a a a 12 (-1) 1+ 31 33
21 23 a a
a a
21 22 a a
a a
a 11 (a 22 a 33 -a 23 a 32 ) - a 12 ( a 21 a 33 -a 23 a 31 ) + a 13 (a 21 a 32 -a 22 a 31 )=
a 11 a 22 a 33 -a 11 a 23 a 32 + a 12 a 23 a 31 –a 12 a 21 a 33 + a 13 a 21 a 32 -a 13 a 22 a 31
Ejemplo:
Observación Importante: Esta regla fue desarrollada por la primera fila pero esta puede ser sustituida por cualquier otra fila o columna y el resultado será el mismo.
|A|= ..... , ,...
1 1
a A a A r s
p
i
rj is is
p
j
rj ^
2.1 Desarrollo del determinante por una fila o columna .Método de Laplace
Como ya hemos hecho un determinante se puede desarrollar por la suma de los elementos de su primera fila por sus cofactores correspondientes. pero también hemos dicho que esta fila puede sustituirse por otra fila o columna y sus cofactores correspondientes. Este método se denomina método o regla de Laplace.
Llamada Regla de Sarrus
Ejemplo:
desarrollo el determinante por los elementos de la segunda columna multiplicado
por sus correspondientes cofactores ya que esta columna es la que mas ceros tiene.
=0.(-1) 1+2^0 ( 1 ) ( 2. 4 3. 1 )
^ +0=5 (1)
Desarrollando por la primera fila
=2(-1) 1+1^ ^
3 0
Desarrollamos por la tercera fila
=3(-1) 3+1^ ^
4 1
Desarrollamos por la tercera columna
=1.(-1) 1+3^ ^
4 1
Vemos que a pesar de desarrollarlo por distintas filas o columnas el resultado es el mismo (1)=(2)=(3)=(4)
2.2. Regla Práctica de Sarrus 11 y 12
Un determinante de orden 3 se calcula mediante la regla de Sarrus:
(^11) Sarrus, Pierre.(1798-1861) Matemático francés. Profesor de análisis matemático en la universidad de Estrasburgo.
Extendió el método de las variaciones a las integrales múltiples para la resolución de maximizar una función. (^12) Solo en determinantes de orden 3
Ejemplos:
Calcula el valor del determinante = 16 +15 +0+18 -10+0 = 2 0 - -1 2 1
De la otra forma
3 5
2.3. Propiedades de los Determinantes.
2.3.1. El determinante de una matriz A Kpxp (cuadrada) es igual al determinante de su traspuesta A t
En símbolos :
|A| = |At^ |.
Ejemplo:
El determinante de la matriz A dada por
es 3 0 4
Luego |A|=5 (1)
El determinante de la matriz At^ dada por
es 1 1 4
Luego |A t^ |= 5 (2)
(1) =(2)
Nota: Desarrollar |A| por la primera fila es lo mismo que por la primera columna
2.3.2. Si todos los elementos de una fila (o columna) correspondiente a una matriz A K^ pxp son nulos, el determinante de dicha matriz también es nulo
Ejemplo:
Sea A =
su determinante 3 0 4
Nota: en cada término hay un coeficiente nulo Ya que en el desarrollo se utiliza esta columna
2.3.3. Si dos filas (o columnas) correspondientes a una matriz A Kpxp son iguales (o proporcionales) el determinante de dicha matriz A es 0.
Ejemplos:
2.3.3.1. Filas Iguales
2.3.3.2. Filas Proporcionales
Demostraremos que si la matriz tiene dos filas o dos columnas iguales entonces su determinante es igual a cero
Esta propiedad puede ser demostrada por inducción completa matemática sobre p( orden de la matriz y su determinante) comenzando por p=
Demostración:
Sea p=
A=
21 21
11 11 a a
a a
|A|=a 11 a 21 -a 11 a 21 =
Hi) Sea A K (^ p ^1 ) x ( p ^1 ) tal que:
tiene dos columnas iguales
k A
ka ka ka ka ka
ka ka ka ka j ka
ka ka ka ka ka
ka ka ka ka ka
ka ka ka ka ka
kA p
p p p pj pp
p
j p
j p
j p
, 1 , 2 , 3 , ,
41 42 43 4 4 ,
31 32 33 3 3 ,
21 22 23 2 2 ,
11 12 13 1 1 ,
Ejemplos:
1º Sea A una matriz cuyo determinante es (^)
3 5 4
ya que tiene dos filas proporcionales ; pero también los elementos de la segunda fila son
múltiplos de 2 por lo tanto
3 5 4
ya que tiene dos filas iguales.
Comparando (1)=(2)
2º Sea una matriz cuyo determinante es
5 5 20
53 (2.1.4-3.1.1)=5^3 .5=5^4 = 625 (2)
(1)=(2)
Esta propiedad se demuestra por inducción completa matemática sobre p Comenzando por p=
Demostración:
Sea |kA| =
p
j
kaij Aij 1
Sea p=
|kA| = ka ka ka ka k a a a a k A ka ka
ka ka ka A j
ij ij
2 11 22 12 21
2 11 22 12 21 21 22
11 12 2
1
(^ )
Hi) Sea A K (^ p ^1 ) x ( p ^1 )tal que: |kA|=kp-1^ |A|
Ti) Sea A Kpxp^ tal que : |kA|=kp-1^ |A|
|kA|=ka 11 kp-1^ A 11 +k a 12 kp-1^ A 12 +……….+k a (^) 1p kp-1^ A1p =
kp^ a 11 A 11 +kp^ a 12 A 12 +……….+k pa1p A1p =
k p^ (a 11 A 11 +a 12 A 12 +……….+a1p A1p ) = kp^ |A|
2.3.5. Si todos los elementos de una fila o columna correspondientes a una matriz A K^ pxp , el determinante de dicha matriz A se puede descomponer en suma de dos determinantes de la siguiente forma : Sea A Kpxp una matriz cuyo determinante esta dado por:
p p p pj p p
p
j p
j p
j p
a a a a a
a a a a j a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
, 1 , 2 , 3 , ,
41 42 43 4 4 ,
31 32 33 3 3 ,
21 22 23 2 2 ,
11 12 13 1 1 ,
tal que los elementos de la columna j-esima , los
puedo descomponer el la suma de dos escalares obteniendo:
p p p p p pp
p
p
p
p
a a a a b a
a a a a b a
a a a a b a
a a a a b a
a a a a b a
, 1 , 2 , 3 , ,
41 42 43 4 4 4 ,
31 32 33 3 3 3 ,
21 22 23 2 2 2 ,
11 12 13 1 1 1 ,
p p p p p p
p
p
p
p
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
, 1 , 2 , 3 ,
41 42 43 4 4 ,
31 32 33 3 3 ,
21 22 23 2 2 ,
11 12 13 1 1 ,
p p p p p p
p
p
p
p
a a a b a
a a a b a
a a a b a
a a a b a
a a a b a
, 1 , 2 , 3 ,
41 42 43 4 4 ,
31 32 33 3 3 ,
21 22 23 2 2 ,
11 12 13 1 1 ,
A^1 A^2 A^3 Aj^ Ap^ columnas del determinante
por lo tanto:
|A|=| A^1 A^2 A^3 Ai^ …. Aj^ …. Ap^ |
Y sea |A´|= | A^1 A^2 A^3 Aj^ …. Ai^ …. Ap|
Sea ahora, la matriz C cuyo determinante esta dado por :
p pi pj pi pj p p
i j i p
i j i j p
i j i j p
i j i j p
a a a a a a
a a a a a j a
a a a a a a
a a a a a a
a a a a a a
, 1 , , ,
41 4 4 4 4 4 ,
31 3 3 3 3 3 ,
21 2 2 2 2 2 ,
11 1 1 1 1 1 ,
como vemos el determinante de C
tiene dos columnas iguales
Por lo tanto,por propiedad 2.3.3.1 |C|= 0
Por propiedad anterior 2.3.5.el determinante de C lo podemos pensar como la suma de dos determinantes
p pi pi pj p p
i i p
i i j p
i i j p
i i j p
a a a a a
a a a a j a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
, 1 , , ,
41 4 4 4 4 ,
31 3 3 3 3 ,
21 2 2 2 2 ,
11 1 1 1 1 ,
p pj pi pj p p
j i p
j i j p
j i j p
j i j p
a a a a a
a a a a j a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
, 1 , , ,
41 4 4 4 4 ,
31 3 3 3 3 ,
21 2 2 2 2 ,
11 1 1 1 1 ,
Cada uno de estos, lo podemos pensar como suma de dos determinantes aplicando propiedad 2.3.
p pi pi p p
i i p
i i p
i i p
i i p
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
, 1 , ,
41 4 4 4 ,
31 3 3 3 ,
21 2 2 2 ,
11 1 1 1 ,
p pi pj p p
i p
i j p
i j p
i j p
a a a a
a a a j a
a a a a
a a a a
a a a a
, 1 , , ,
41 4 4 4 ,
31 3 3 3 ,
21 2 2 2 ,
11 1 1 1 ,
p pj pi p p
j i p
j i p
j i p
j i p
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
, 1 , ,
41 4 4 4 ,
31 3 3 3 ,
21 2 2 2 ,
11 1 1 1 ,
p pj pj p p
j j p
j j p
j j p
j j p
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
, 1 , ,
41 4 4 4 ,
31 3 3 3 ,
21 2 2 2 ,
11 1 1 1 ,
El primer determinante y el último son cero ya que tienen dos columnas iguales propiedad 2.3.3.1. Mientras que el segundo corresponde al determinante de A el tercero al de A´
Por lo tanto |A|+|A´|=0 |A| = - |A´|
2.3.7. Si multiplicamos (o dividimos ,recordamos que no se puede dividir por cero) un determinante correspondiente a una matriz A Kpxp por un escalar (un número) equivale a multiplicar o dividir una fila o una columna por dicho escalar el determinante queda multiplicado por dicho número.
k. |A|=k.
p pi pj p p
i p
i j p
i j p
i j p
a a a a
a a a j a
a a a a
a a a a
a a a a
, 1 , , ,
41 4 4 4 ,
31 3 3 3 ,
21 2 2 2 ,
11 1 1 1 ,
p pi pj p p
i p
i j p
i j p
i j p
a ka a a
a ka a j a
a ka a a
a ka a a
a ka a a
, 1 , , ,
41 4 4 4 ,
31 3 3 3 ,
21 2 2 2 ,
11 1 1 1 ,
Ejemplo:
Multiplicamos la columna 3 por dos
