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Análisis Modal: Método de Superposición Modal - Ejercicios Resueltos, Ejercicios de Dinámica

Universidad ESAN (UE)Dinámica

metodo modal ejercicio lo analizamos

Tipo: Ejercicios

2019/2020

Subido el 21/07/2020

iqueo
iqueo 🇵🇪

4.7

(6)

17 documentos

1 / 13

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bg1
EJERCICIO RESUELTO ANALISIS MODAL-METODO SUPERPOSICIÓN MODAL
Lasmatricesdemasayrigidezparalaestructuramostradaenla
figura1son:
[]
lg
00.200.000.0
00.050.100.0
00.000.000.1
2/pusegklbm ⋅
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
[]
lg 600
00.500.200.0
00.200.300.1
00.000.100.1
2/pusegklbK ⋅∗
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−
−
=
1V
2V
3V
50.1
00.2
lg/ 00.1 pusegklb⋅
Figura1
a)Determinelasfrecuenciasnaturalesyformasmodalesdelsistema(Figura1).
b)Calculelarespuestadelsistemaenvibraciónlibresisesabeque:
lg
3.0
4.0
5.0
)0( puV ⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=spuV lg/
0
9
0
)0( ⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
•
pf3
pf4
pf5
pf8
pf9
pfa
pfd

Vista previa parcial del texto

¡Descarga Análisis Modal: Método de Superposición Modal - Ejercicios Resueltos y más Ejercicios en PDF de Dinámica solo en Docsity!

EJERCICIO RESUELTO ANALISIS MODAL-METODO SUPERPOSICIÓN MODAL

Las

matrices

de

masa

y

rigidez

para

la

estructura

mostrada

en

la

figura

1

son:

[

]

lg

2

/pu

seg

klb

m

[

]

lg

600

00 .

5

00 .

2

00 .

0

00 .

2

00 .

3

00 .

1

00 .

0

00 .

1

00 .

1

2

/pu

seg

klb

K

⋅

∗

⎤ ⎥ ⎥ ⎥⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢⎣

−

−

−

−

=

V

V

V

lg

pu

seg

klb

Figura

1

a)

Determine

las

frecuencias

naturales

y

formas

modales

del

sistema

(Figura

1).

b)

Calcule

la

respuesta

del

sistema

en

vibración

libre

si

se

sabe

que:

lg

pu

V

s

pu

V

lg/

R: Empleando la ecuación 49 de la clase 5, se tiene:

[

]

[

]

det(

2

m

w

K

(

)

(

)

(

)

det(

2

2

2

×

×

× − ⋅ − × −

w

w

w

Haciendo

2

w

1

1a

det(

2

EJERCICIO RESUELTO ANALISIS MODAL-METODO SUPERPOSICIÓN MODAL

35145 .

0

1

=

β

182 .

2125

96 .

936

88 .

210

35145 .

0

600

2 2 2 2 3 1

= =

=

×

=

w w^ w

⇒ ⇒ ⇒

s

rad

w

s

rad

w

s

rad

w

(^123)

Empleando

los

resultados

en

la

ecuación

de

la

clase

5,

se

calculan

las

formas

modales,

como

se

muestra

a

continuación:

5

5a

5

51

Para

y

suponiendo

(^21)

w

1

11

=

U

×

×

1 2 3

U U U

6

De

la

primera

ecuación

,

se

tiene:

6

2

×

U

⇒

21

U

De

la

tercera

ecuación

:

6

31

U

⇒

21

U

De

la

segunda

ecuación

comprobamos

que:

6

ok

Realizando

el

mismo

procedimiento

para

,

se

tiene

:

96 .

963

(^22)

=

w

×

×

2

1 2 3

U U U

7

suponiendo

1

12

=

U

De

la

primera

ecuación

:

7

De

la

tercera

ecuación

:

7

U

2

⇒

22

U

3

U

⇒

32

U

Finalmente,

para

repitiendo

el

procedimiento

visto,

se

obtiene:

182 .

2125

(^23)

=

w

13

U

23

U

33

U

Ordenando

los

resultados,

podemos

escribir:

[

]

Que

es

la

matriz

de

formas

modales

del

sistema

(sin

normalizar).

8

Para

determinar

la

respuesta

de

la

estructura

a

partir

de

las

condiciones

iníciales

dadas,

empleando

el

método

de

superposición

modal,

debemos

calcular,

usando

los

,

la

rigidez

generalizada

(ver

ecuación

clase

y

la

carga

generalizada

(ver

ecuación

clase

además

de

las

condiciones

iníciales

en

el

espacio

de

coordenadas

generalizadas

(ver

ecuación

clase

6).

80

80

80

{

}

n

[ ]

Formas

modales

normalizadas

con

relación

a

la

masa

.

9a

Con

los

valores

de

y

la

ecuación

clase

6,

se

calculan

las

formas

modales

normalizadas

con

relación

a

la

masa:

67

[

]

M

ˆ

{ }

{ }

{ }

3 3 3 2 2 2 1 1 1

M U M U M U

φ

φ

φ

{ }

{ }

{ }

596 .

22

1

/

4382 .

2

5405 .

2

000 .

1

ˆ

;

474 .

2

1

/

6790 .

0

6066 .

0

000 .

1

ˆ

;

813 .

1

1

/

3018 .

0

6485 .

0

000 .

1

ˆ

3

2

1

⎫ ⎪⎬ ⎪⎭

⎧ ⎪⎨ ⎪⎩

−

=

⎫ ⎪⎬ ⎪⎭

⎧ ⎪⎨ ⎪⎩

− −

=

⎫ ⎪⎬ ⎪⎭

⎧ ⎪⎨ ⎪⎩

=

φ

φ

φ

9

Las

condiciones

iníciales

buscadas

quedan:

} [

]{

{ } [

]{

{ } [

]{

3

3

2

2

1

1

v

m

y

v

m

y

v

m

y

T T T

φ φ^ φ

(Ecuación

,

clase

75 10

[ ] [

]{

v

m

y

T

φ

=

Ó:

10a

Dados

en

el

enunciado

(Ver

ecuación

,

clase

75

Teniendo

en

cuenta

que

[

] [

]{ }

1

ˆ

ˆ

=

n

T

m

φ

φ

[ ] [

][ ]

[ ]

)

(

)

,...

3 ,

2 ,

1

(

I

m

N

n

T n

=

=

φ

φ

Ó:

[

]

[ ]

I

m

=

ˆ

10b

De

la

ecuación

tenemos

las

condiciones

iníciales

(coordenadas

generalizadas):

10a

Ver

ecuación

para

el

cálculo.

9a

⎫ ⎪⎬ ⎪⎭

⎧ ⎪⎨ ⎪⎩

⎤ ⎥ ⎥ ⎥⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢⎣

−

−

−

=

⎫ ⎪⎬ ⎪⎭

⎧ ⎪⎨ ⎪⎩

6 .

0

6 .

0

5 .

0

5129 .

0

4317 .

0

2241 .

0

5344 .

0

3857 .

0

4816 .

0

2104 .

0

6358 .

0

7427 .

0

)

0 (

)

0 (

)

0 ( 1 2 3

T

y y y

lg

0923 .

0

1725 .

0

7948 .

0

)

0 (

)

0 (

)

0 ( 1 2 3

pu

y y y

⎫ ⎪⎬ ⎪⎭

⎧ ⎪⎨ ⎪⎩

−

=

⎫ ⎪⎬ ⎪⎭

⎧ ⎪⎨ ⎪⎩

11

De

igual

manera

para

la

velocidad

inicial

se

tiene:

⎫⎪⎬ ⎪⎭

⎧⎪⎨ ⎪⎩

=

⎫⎪⎬ ⎪⎭

⎧⎪⎨ ⎪⎩ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢⎣

⎫⎪⎬ ⎪⎭

⎧⎪⎨ ⎪⎩ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢⎣

0 0 0

)

(

)

(

)

(

8 .

2122

0

0

0

964

0

0

0

9 .

210

)

(

)

(

)

(

1

0

0

0

1

0

0

0

1

1 2 3

1 2 3

t

y

t

y

t

y

t

y

t

y

t

y &&^ &&

& &

14a

Note

que

la

matriz

contiene

los

en

su

diagonal

(error

de

redondeo

que

se

compensará)

[

]

K

ˆ

(^2) i

w

Las

ecuaciones

dadas

en

la

ecuación

quedan:

14a

0

)

(

9 .

210

)

(

1

1

=

t

y

t

y

& &

⎧⎨ ⎩

= =

5020 .

6

) 0 (

7948 .

0

) 0 ( (^11) y^ & y

0

)

(

964

)

(

2

2

=

t

y

t

y

& &

Con

C.I.

Con

C.I.

⎧ ⎨ ⎩

−

=

−

=

2064 . 5

) 0 (

1725 . 0

) 0 ( 2 2 y^ & y

0

)

(

8 .

2122

)

(

3

3

=

t

y

t

y

& &

Con

C.I.

⎧⎨ ⎩

−

=

=

2150 . 7

)

0 (

0923 . 0

) 0 (

3

3

y

y &

14a

Expandida

Observe

que

el

procedimiento

indicado

desacopló

las

ecuaciones

de

movimiento.

Sabemos

del

estudio

anterior,

que

la

solución

general

para

cualquiera

de

las

ecuaciones

es:

14a

cos

t

w

sen

w y t w y t y

n n n n n n

15

De

está

forma,

se

tiene:

cos(

1

t

sen

t

t

y

cos(

2

t

sen

t

t

y

cos(

3

t

sen

t

t

y

15a

Recordando

la

ecuación

(clase

se

puede

concluir

que

la

respuesta

en

coordenadas

geométricas

reales

es:

70

{

}

[ ]{ }

y

t

V

φ

16

De

forma

expandida

(empleando

la

matriz

de

formas

modales

normalizada

con

relación

a

la

masa,

ecuación

)

se

puede

escribir:

9a

lg

)

(

)

(

)

(

5129 .

0

4317 .

0

2241 . 0

5344 .

0

3857 .

0

4816 .

0

2104 .

0

6358 . 0

7427 .

0

)

(

)

(

)

(

1 2 3

1 2 3

pu

t

y

t

y

t

y

t

V

t

V

t

V

⎫⎪⎬ ⎪⎭

⎧⎪⎨ ⎪⎩ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢⎣

−

−

−

=

⎫⎪⎬ ⎪⎭

⎧⎪⎨ ⎪⎩

16a

De

la

ecuación

se

obtiene:

16a

3

2

1

1

t y t y t y t V

Pregunta:

Realizar

los

cálculos

para

obtener

y

sin

normalizar

los

modos

con

relación

a

la

masa

(Ver

ecuación

).

8

Pregunta:

Si

el

movimiento

fuera

forzado,

Cómo

procedería

para

obtener

la

solución?

NOTA:

Repasar

el

contenido

de

los

seminarios,

el

examen

incluirá

preguntas

sobre

los

temas

vistos.

),

(

2

t

V

),

(

1

t

V

)

(

3

t

V