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Documento que presenta dos ejemplos prácticos sobre el cálculo de probabilidades utilizando distribuciones especiales discretas: el ensayo de Bernoulli y la distribución binomial. Se calculan probabilidades, esperanzas y desviaciones estándar.
Tipo: Apuntes
1 / 7
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Año:
Tema 1: Ensayo de Bernoulli
Cátedra : Probabilidad
Ejemplo 1: En una rifa donde el premio es una computadora participan 123
personas (persona 1, persona 2, …, persona 123) de los cuales solo uno será
el ganador.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la persona 100 gane el premio?
P ( x= 1 )=( 1 / 123 )
1
P ( x= 1 )=
(
)
1
(
)
0
P ( x= 1 )=
(
)
1
P ( x= 1 )=
∴ La probabilidad de que la persona 100 gane la computadora es de 0,
es decir, un 0,813%.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la persona 100 no gane el premio?
P ( x= 0 ) =
(
)
0
(
(
))
1 − 0
x= 0
(
)
0
(
)
1
P ( x= 0 ) = 1 ∙
P ( x= 0 ) =0,
∴ La probabilidad de que la persona 100 no gane la computadora es de
0,991869 es decir un 99,1869%.
c) Calcular el valor esperado de que la persona 100 gane el premio.
Luego:
E ( X ) =p
∴ Se espera que la persona 100 gane el premio es del 0,
d) Calcular la desviación estándar de que la persona 100 gane el premio
√
p·q
Cátedra : Probabilidad
Si se revisan 5 aparatos, calcular:
p : Probabilidad de que sea defectuoso
q : Probabilidad de que no sea defectuoso
n : Total de aparatos
x : Aparatos defectuosos
a) De un total de 5 aparatos calcular la probabilidad de que 2 aparatos
sean defectuosos
p ( X=x ) =
(
n
x
)
p
x
· q
n− x
p ( X= 2 )=
(
)
x
n− x
p ( X= 2 )=
2
5 − 2
p ( X= 2 )=
3
p ( X= 2 )=
3
p ( X= 2 )=
p ( X= 2 )=
p ( X= 2 )= 10 ·0,0144 · 0,
p ( X= 2 )=0,
p ( X= 2 )=9,81 %
Del total de 5 aparatos la probabilidad de que 2 aparatos sean defectuosos
es del 0,0981 o del 9,81%
b) La probabilidad de que menos de 3 aparatos sean defectuosos
p ( X ≤ x )= ∑
x= 0
n
(
n
x
)
p
x
· q
n−x
Como es equivalente decir que P( X< 3 )=¿
entonses
p ( X ≤ 2 ) = ∑
x= 0
2
(
x
)
x
5 −x
Datos
x= 2
Debemos de Calculamos P( X< 3 )
p ( X ≤ 2 ) =
(
)
0
5 − 0
(
)
1
5 − 1
(
)
2
5 − 2
Cátedra : Probabilidad
p
5
4
2
3
p ( X ≤ 2 ) = 1 · 1 · 0,5277+ 5 · 0,12· 0,5997+ 0,
p ( X ≤ 2 ) =0,5277+0,3598+ 0,
p ( X ≤ 2 ) =0,
p ( X ≤ 2 ) =98,56 %
∴ la probabilidad de que menos de tres aparatos sean defectuosos es del
0,9856 o del 98,56%
c) La probabilidad de que al menos 3 aparatos sean defectuosos
Para obtener la probabilidad usaremos una propiedad
∴ La probabilidad de que al menos 3 aparatos sean defectuosos es del 0,
o del 1,44%
d) La probabilidad de que ningún aparato sea defectuoso
p ( X=x ) =
(
n
x
)
p
x
· q
n− x
p ( X= 0 )=
(
)
0
5 − 0
p
5
p ( X= 0 )=0,
p ( X= 0 )=52,77 %
La probabilidad de que ningún aparato sea defectuoso es del 0,5277 o del
e) La probabilidad de que alguno de los aparatos sea defectuoso
Usaremos una propiedad anterior
Como es equivalente decir que
P( X< 3 )=¿ P ( X ≤ 2 ) entonses
Datos
x= 0
Cátedra : Probabilidad
∴ Se espera que de 3 de cada 4 amigos hallan visto el partido de futbol
b) ¿Cuál es la desviación estándar de que los 4 amigos hayan visto el
partido?
√
n·p·q
√
∴ La desviación estándar de que los 4 amigos hayan visto el parido es de 1
amigo
La relación que tiene la esperanza y la desviación estándar, de que hayan visto
los 4 amigos el partido de futbol es lo siguiente:
∴ Se espera que aproximadamente de que estos 4 amigos hayan visto el
partido de futbol, entre 2 a 4 amigos
