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DIVISIBILIDAD EN Z
1.Introducción
Estudia remos la divisibilidad en el conjunto de los enteros , dicho conjunto se simboliza con la letra Z.^1 Construir de los números enteros (Z) a partir de los naturales ( N ) parece cosa fácil pero no lo es tanto ya que se necesitan conocimientos que nosotros obtendremos a medida que avancemos en este curso. Trataremos ahora de verlo en una forma sencilla. Se trata de construirlos formalmente, pero firmemente anclada la construcción en los problemas de la vida diaria que exigen la existencia de estos nuevos números. Supongamos que tenemos el siguiente estado de cuenta:
Haber Debe 7
23
4
1
Los números naturales sirven para escribir el haber y el debe, pero no alcanzan a escribir el haber menos el debe, sólo cuando el deber es menor o igual al haber. Entonces a partir de (N, +, · , <) creamos una nueva herramienta para expresar el saldo, sin perder nada (sólo ganar). Consideramos el conjunto N x N de pares ordenados de números naturales. Definimos en N x N la relación:(a, b) ~ (c, d) a + d = b + c Queríamos decir a - b = c - d, pero no podemos decir esto porque no siempre se puede restar en N, así que lo que decimos es aquella que es equivalente. Con lo que sabemos de N vemos inmediatamente que esta es una relación de equivalencia en N x N:
1º Es reflexiva (a, b) N x N (a, b) ~ (a, b) porque a + b = b + a;
2º Es simétrica (a, b) ~ (c, d) (c, d) ~ (a, b) porque c + d = b + c c + b = d + a;
3ºEs transitiva (a, b) ~ (c, d) , (c, d) ~ (e, f) (a, b) ~ (e, f) porque a + d = b + c , c +f = d +
e (^) a + d + c + f = b + c + d +e a + f = b + e
(^1) Los enteros se denominan con la letra Z porque proviene de Zahl, que quiere decir número enteros en alemán.
Por tanto ~ induce una clasificación, por definición el conjunto de números enteros: Z = N x N / ~
Un número entero es lo que tienen en común todos los balances con el mismo saldo (tienen en común el saldo):
[(0, 4)] = [(2, 6)] = [(1, 5)] = -
2. Divisibilidad en Z
Definición 1: Dados dos números a y b enteros ,con b 0 se dice que “ b divide a a ” (
y lo escribimos b a ) si y solo si c Z tal que a = b. c Algunas otras acepciones de b a dice que “b es divisor de a” o también se dice que “ a es múltiplo de b”
Ejemplos:
1º 5 35 ya que 7 tal que 35 = 5. 7 2º –2 16 ya que - 8 tal que 16 = - 2. ( - 8 )
3º 4 - 20 ya que ( - 5 ) tal que – 20 = 4. ( - 5 )
2.1. Propiedades derivadas de la definición
1º a Z a 0 , a a ya que 1 Z tal que a = a. 1
Ejemplo: 2 2 ya que 1 Z tal que 2 = 2. 1
2º a Z , 1 a ya que a = a. 1
Ejemplo: Sea 3 Z , 1 3 ya que 3 = 3. 1
3º ^ a^ Z b Z ,^ conb ^0 , b a entonces b - a y - b a y -b -a
Ejemplo: Sean 6 y 3 0 , 3 6 entonces 3 -6 y -3 6 y -3 -
Demostración: Si b a entonces existe k tal que podemos escribir a = b. k multiplicando ambos miembros por - 1 tenemos ( - 1)a = (- 1 ) b. k entonces ( - 1)a = b. (-1 ). k entonces - a = b. (-k) podemos decir que b -a además
también podríamos decir que –a = -b. K con lo cual podríamos escribir que – b -a y también podemos decir que - b a ya que a = - b. ( - k )
4º a Z a 0 ,a 0 ya que existe 0 tal que 0 = a. 0
Ejemplo: 2 0 ya que existe 0 tal que 0 = 2. 0
5º a Z a 0 , b Z b 0 , a b y b c entonces a c ( propiedad transitiva )
Ejemplo: Sean los enteros 2 , 4 y 8 si 2 4 y 4 8 entonces 2 8
Demostración: Si a b esto quiere decir que existe k tal que b = a. k
Ejemplo: Sea 5 0 para 5 existe sus divisores triviales que son: 5,-5,1,- Sea 20 0 sus divisores son : -1,1 ,-2,2,-4,4,-5,5,-10,10 ,-20,
Divisores no triviales Divisores triviales de 20
Definición 3: Un número entero positivo es primo si y solo si admite solamente como divisores a los divisores triviales
Ejemplos : 2,3,5,7, ........... son primos
¿Porque 3 es primo? Porque admite como únicos divisores a 3 , -3 ,1 y –1 o sea solo admite a sus divisores triviales ,
Nota : El número uno no se considera primo porque admite solo 2 divisores
Definición 4.: Llamaremos número compuesta al número que no es primo o sea el que tiene mas de cuatro divisores
Ejemplos: 4, 6, 8, 9, .............son compuestos
Un número es primo si tiene solo
Yo tampoco
No tengo mas divisores
¿Y 1 es primo?
2.2.Propiedades ( sin demostración)
- Si n es entero positivo y es compuesto entonces existe algún número primo que lo divide.
- Existen infinitos números primos. 3. Algoritmo de la División Entera
3.1. Teorema. Dados 2 números enteros a y b ( con b 0 ) existen y son únicos enteros q y r tales que: 1) a = b.q + r
2) r o y r b o sea 0 r < b
Se hará parte de la demostración
Explicación: Consideramos 4 casos r a
- a > 0 ; b > 0 0 b 2b 3b qb (q+1 )b a debe estar en alguno de los intervalos dados por ejemplo q b < a < (q+1 ) b
Ejemplo : a = 21 y b = 2 entonces 21 = 2.10 + r = 1
20 a=21 22 entonces a = q. b + r con 0 r < b si a es igual a b entonces r =
-(q+1 )b -qb -b 0 b
- a< 0 , b> a
Nosotros somos 4
Dicen que 4 es un número compuesto ¿porque?
Porque tiene de divisores que no son solamente los triviales
Los divisores de 4 son :1,-1,2, -2, 4 y – 4 ¡!!Son 6 divisores ¡!!
O también llamado divisor común mayor ( el divisor común mayor entre dos enteros positivos esta formado por los factores comunes de su descomposición factorial con el menor exponente)
Ejemplo: Sean los números 98 y 42 su descomposición factorial en factores primos para cada uno de ellos es la siguiente:
98= 2.7 2 y para 42 = 2^2 .3.7 luego D.C.M. entre 98 y 42 es 2.7 = 2 y 7 son los factores comunes en la descomposición factorial y luego se los elige con el menor exponente con que aparecen en dicha descomposición.
Definición 5: Dados dos números a y b enteros con al menos uno de ellos distinto de cero, se denomina máximo común divisor de a y b al entero positivo d tal que :
- d a y a b
- d ´ a y d ´ b entonces d ´ d se simboliza d máximo común divisor entre a y b como ( a, b ) = d
Nota: Si ponemos ( a, b) nos estamos refiriendo al D. C. M. entre a y b
Ejemplo: Sea los números enteros 30 y 75 el máximo común divisor entre dichos números es 15
pues 15 30 y 15 75 y cualquier otro divisor de 30 y 75 como por ejemplo 3 o bien 5 ;
3 15 o bien 5 15
Casos particulares:
- a b entonces a = ( a , b )
- a = 0 entonces b = ( a , b ) 5. Algoritmo de Euclides^2 ( para hallar D. C. M .)
(^2) Euclides. (?, h. 330 a.C.-?, h. 275 a.C.) Matemático griego. Poco se conoce a ciencia cierta de su vida,una vez un joven principiante en el estudio de la geometría le preguntó qué ganaría con su aprendizaje; Euclides, tras explicarle que la adquisición de un conocimiento es siempre valiosa en sí misma, ordenó a su esclavo que diera unas monedas al muchacho, dado que éste tenía la pretensión de obtener algún provecho de sus estudios. Fue autor de diversos tratados, pero su nombre se asocia principalmente a uno de ellos, los Elementos, que rivaliza por su difusión con las obras más famosas de la literatura universal, como la Biblia o el Quijote. Se trata, en esencia, de una compilación de obras de autores anteriores (entre los que destaca Hipócrates de Quíos), que las superó de inmediato por su plan general y la magnitud de su propósito. De los trece libros que la componen, los seis primeros corresponden a geometría elemental.Los libros del séptimo al décimo tratan de cuestiones numéricas y los tres restantes se ocupan de geometría de los sólidos, hasta culminar en la construcción de los cinco poliedros regulares y sus esferas circunscritas, que había sido ya objeto de estudio por parte de Teeteto.. Más allá, incluso, del ámbito estrictamente matemático, fue tomado como modelo, en su método y exposición, por autores como Galeno, para la medicina, o Espinoza, para la ética. De hecho, Euclides estableció lo que, a partir de su contribución, había de ser la forma clásica de una proposición matemática: un enunciado deducido lógicamente a partir de unos principios previamente aceptados. En el caso de los Elementos, los principios que se toman como punto de partida son veintitrés definiciones, cinco postulados y cinco axiomas o nociones comunes. La naturaleza y el alcance de dichos principios han sido objeto de frecuente discusión a lo largo de la historia, en especial por lo que se refiere a los postulados y, en particular, al quinto (postulado de las paralelas). Su condición distinta respecto de los restantes postulados fue ya percibida desde la misma Antigüedad, y hubo diversas tentativas de demostrarlo como teorema; los esfuerzos por hallarle una demostración prosiguieron hasta el siglo XIX, cuando se puso de manifiesto que era posible definir geometrías consistentes, llamadas «no euclidianas», en las que no se cumpliera la existencia de una única paralela trazada a una recta por un punto exterior a ella.
Se lo llama también método por divisiones sucesivas
Ejemplo: Hallar el D. C. M. entre 235 y 25
q : cociente 9 2 2 235 25 10 5 r: resto 10 5 0
El último resto no nulo es el D. C .M. entonces 5 = ( 235 , 25)
Ejemplo :
Hallar el D. C. M. Entre 228 y 36
q 6 3 228 36 12 r 12 0 Luego (228,36 ) = 12
6.Algoritmo de Euclides para hallar el Máximo Común Divisor
Sabemos que dados dos enteros a y b con b 0, Existen enteros q y r tal que a = b q + r con
0 r < b
Sea D ( a , b ) el conjunto de divisores de a y de b o sea D ( a , b ) = {x Z : x a x b }
Por lo tanto definimos también el conjunto D ( b , r ) = { x Z : x b x r }
Ejemplo:
Dados los números enteros 75 y 30 el conjunto de divisores entre 30 y 75 lo denominamos D
(30,75)= {-1,1,-3,3,-5,5,-15, 15}
D(75,30) = D ( 30,15)
6.1. Teorema: D ( a, b ) = D ( b , r )
Dados dos números a y b los divisores comunes a ambos forman un conjunto
6.2.1. Corolario del Algoritmo de Euclides
Si ( a, b ) =d existen enteros s y t tal que ( a, b) = s a + t b es decir d = s a + t b
Tomemos el ejemplo ( 228 , 36 ) =
Podemos decir entonces que:
Luego podemos decir que 12 = 228. 1 + 36 .( - 6 )
s t
Ejemplo:
q 9 2 2 235 25 10 5 r 10 5 0
El último resto no nulo es el D. C .M. Entonces ( 235 , 25) =
Por lo tanto podemos decir que: 235= 25. 9 + 10 25 =10. 2 + 5 de aquí podemos decir que 5= 25 – 10. 2 luego reemplazamos a 10 por 235 - 25. 5= 25 – 2 (235-25.9 ) hacemos pocas cuentas 5 = 25 – 2. 235 + 25. 18 5 = - 2 235 + 19 .25 luego s = -2 y t = 19
s t
Otro Ejemplo : ( 943 , 414 )= 23 debemos hallar s y t para que 23 =s 943 + t 414
Para eso debemos hacer el algoritmo de Euclides
Último resto no nulo es 23 luego es D.C.M.
943= 414. 2 + 115
414 = 115. 3 + 69
115= 69. 1 + 46
69 = 46. 1 + 23
Ahora bien,
23 = 69 – 46. 1 siendo 46 = 115 – 69. 1 podemos reemplazar
23 = 69 –1. ( 115 – 69. 1 )
23 = - 115 + 2. 69 como 69 = 414 – 115. 3 reemplazamos
23= - 115 + 2 ( 414 – 115. 3 )
23 = 2. 414 -7 115 siendo que 115 es 943 – 2. 414 reemplazando
23 = 2. 414 – 7 ( 943 – 2. 414 ) esto es
s
t
Observación: d =( a, b) entonces existen t y s enteros tales que d = s. a + t. b pero esto
no implica que si un numero d = s. a+ t .b sea el máximo común divisor entre a y b
Tomamos un contraejemplo 12 = 1. 228 + (-6 ). 36
Pero a 24 lo puedo escribir como 24 = 2. 228 + ( -12 ). 36 y esto no quiere decir que 24 sea
el máximo común divisor de 228 y 36
6.2.2. Teorema de Bézoût^3 ( a, b ) = 1 si y solo si existen s y t enteros tales que :
1 = s a + t b
Demostración:
) por el algoritmo de Euclides esta probado
(^3) Bézout Étienne , (1730-1783 ), además de por sus creaciones propias, es célebre por su Cours de mathématiques en seis
volúmenes, que apareció por primera vez entre los años 1770 y 1772, y que fue reeditado muchas veces y traducido a otras lenguas.
q 2 3 1 1 2
943 414 115 69 46 23
r 115 69 46 23 0
