Instituto Tecnológico Superior de
Las Choapas.
Alumno: Esteban Osorio Callejas.
Materia: Análisis Numérico.
Docente:
Trabajo: Investigación de la Unidad V.
Fecha de Entrega: Viernes 22 de Noviembre del 2019.
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Análisis Numérico: Derivadas Numéricas y Integración Numérica, Apuntes de Matemáticas
El proceso de derivación numérica y la aproximación de derivadas utilizando fórmulas de Taylor y diferencias finitas. Además, se presentan métodos de integración numérica como el método del trapecio y métodos de Simpson. El documento también incluye teorías y demostraciones.
Tipo: Apuntes
2019/2020
1 / 12
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Instituto Tecnológico Superior de
Las Choapas.
Alumno: Esteban Osorio Callejas.
Materia: Análisis Numérico.
Docente:
Trabajo: Investigación de la Unidad V.
Fecha de Entrega: Viernes 22 de Noviembre del 2019.
5.1 Derivación numérica.
Consideremos una función f(x) de la cual se conoce un conjunto discreto de valores (x0, f0), (x1, f1), ..., (xn, fn). El problema que vamos a abordar es el de calcular la derivada de la función en un punto x que en principio no tiene por qué coincidir con alguno de los que figuran en los datos de que disponemos. La forma más sencilla de resolver el problema de la diferenciación numérica consiste en estimar la derivada utilizando fórmulas obtenidas mediante la aproximación de Taylor, que se denominan fórmulas de diferencias finitas. Es importante tener en cuenta que el proceso de diferenciación numérica es inestable. Los errores que tengan los datos, por ejemplo, los cometidos en la adquisición de los mismos o los debidos al redondeo aumentan en el proceso de diferenciación como veremos a lo largo de este capítulo. Fórmulas de diferencias de dos puntos Este proceso de paso al límite presenta distintos problemas para ser realizado en situaciones prácticas donde no se conozca la forma explícita de f′(x). En primer lugar, un límite no puede calcularse de modo aproximado en un computador donde los números que se manejan son finitos. A pesar de todo es de esperar que si la función f(x) no se comporta mal y h0 es un número finito, pero pequeño se cumpla: Es más, la misma definición de la derivada implica que si f′(x) existe, entonces hay algún h0 a partir del cual nuestra aproximación dista menos de una cantidad δ del valor
real para la derivada. El problema es que esto sólo es cierto con precisión infinita ya que h0 puede ser tan pequeño que no pueda representarse en el ordenador o que la diferencia f (x + h0) − f(x) esté seriamente afectada por el error de redondeo. La ecuación (2.1) es la forma más sencilla de aproximar una derivada conocidas f(x) y f(x+h0). El siguiente teorema nos proporciona información sobre la precisión de esta aproximación. Teorema. Sea f(x) ∈ C1 (a, b) y existe f′′(x) en (a, b), entonces se cumple que: Demostración. Escribamos la aproximación de Taylor para la función en un punto x+h: Reordenando la expresión anterior queda demostrado el teorema. El teorema anterior nos indica que el error cometido al aproximar la derivada primera por su fórmula de diferencia adelantada es una función lineal de h. Cuanto menor sea h (o sea al tomar valores de f(x) más cercanos) la derivada numérica será más precisa. Este error se denomina error de truncación o discretización y puede acotarse fácilmente, obteniéndose que: E ≤ máx(x,x+h) |f′′(z)|. En realidad, para datos obtenidos a partir de una tabla esta acotación no es de gran utilidad directa ya que si no se conoce la derivada primera menos aún se conocerá la segunda, pero al menos nos permite conocer el orden de aproximación de la fórmula. Geométricamente el error O(h) procede del hecho de aproximar la derivada por la pendiente de la cuerda que une los puntos f(x) y f(x + h), Por otro lado, si existe la derivada deben existir las derivadas laterales y entonces Un problema que presenta esta fórmula es que la precisión de la misma es baja y por lo tanto en situaciones donde sólo dispongamos de un muestreo de baja precisión de f(x), como ocurre en ensayos, datos experimentales, etc., será conveniente utilizar otras fórmulas de derivación más precisas.
Fórmulas de orden superior
Utilizando el valor de la función en más puntos se construyen fórmulas más precisas para las derivadas. Alguna de ellas se muestra en la tabla siguiente junto con las que hemos deducido ya. Derivadas de orden superior El mismo procedimiento que se ha seguido al deducir fórmulas para calcular numérica- mente las derivadas primeras puede usarse para construir derivadas de orden superior partiendo del desarrollo de Taylor y eliminando las derivadas primeras. Consideremos por ejemplo las expresiones: Sumando las ecuaciones anteriores y despejando se encuentra que:
Procediendo de la misma forma es posible encontrar aproximaciones que usen diferentes puntos y aproximaciones para derivadas de orden superior. La tabla siguiente presenta algunas de las fórmulas más comunes para calcular derivadas de orden superior.
5.2 Integración numérica: Método del trapecio, Métodos de Simpson 1/3 y
En los cursos de Cálculo Integral, nos enseñan como calcular una integral definida de una función continua mediante una aplicación del Teorema Fundamental del Cálculo: Teorema Fundamental del Cálculo Sea f(x) una función continua en el intervalo [a,b] y sea F(x) una anti derivada de f(x). Entonces:
REGLA DE SIMPSON DE UN TERCIO.
Suponemos que tenemos los datos: a xm b f(a) f(xm) f(b) donde xm es el punto medio entre a y b. En este caso se tiene que: Donde f2(x) es el polinomio de interpolación para los datos en la tabla anterior. Usaremos el polinomio de LaGrange. Así, tenemos que: Si denotamos h= (b-a) /2 = xm-a = b-xm, entonces: Simplificando términos: Vemos que cada uno de los términos anteriores, es esencialmente de la misma forma, es decir, una constante por (x-α) (x-β).) (x-β).). Así, calculamos la siguiente integral por partes:
Obteniendo, por lo tanto, Usamos esta fórmula para calcular la integral de cada uno de los tres términos de f2(x) y obteniendo como resultado final Debido al factor h/3 se le conoce como la regla de Simpson de un tercio. En la práctica, sustituimos el valor de h = (b-a) / 2 para obtener nuestra fórmula final: REGLA DE SIMPSON DE TRES OCTAVOS Este caso corresponde a n=3, es decir, donde f3(x) es un polinomio de interpolación para los siguientes datos: x0 x1 x2 x f(x0) f(x1) f(x2) f(x3) Y donde a= x0, b= x3 y x1, x2 son los puntos que dividen en tres partes iguales al intervalo [a,b]. Igual que en el caso anterior, se usa el polinomio de interpolación de Lagrange, y usando el método de integración por partes se llega a la siguiente fórmula: donde h = (b-a) / 3. Debido al factor 3h / 8 es que se le dio el nombre de Regla de Simpson de 3/8. En la práctica, se sustituye el valor de h para obtener: