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PROBLEMAS RESUELTOS DE LA ECUACIÓN DE LA
RECTA
- Hallar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los
puntos A(-3, 2) y B(7, -3) Solución
tan
entonces
ycomom tan
2 1
2 1
m
x x
y y m
- Los segmentos que una recta determina sobre los ejes X e Y son
respectivamente 2 y -3. Hallar su ecuación Solución Usando la ecuación de segmentos tenemos
x y
x y
x y
- Una recta pasa por el punto A(7, 8) y es paralela a la recta que pasa por los
puntos C(-2, 2) y D(3, -4). Hallar su ecuación Solución Como la recta debe ser paralela a la que pasa por los dos puntos dados, entonces deben tener igual pendiente.
mCD
Usando esta pendiente, el punto A y la ecuación punto pendiente, se tiene
x y
y x
y x
- Demostrar que los puntos A(-5, 2), B(1, 4) y C(4, 5) son colineales.
Solución Que sean colineales significa que están ubicados sobre la misma recta es decir la pendiente entre A y B debe ser la misma que la que está entre B y C.
mAB mBC
Por lo tanto son colineales
- Hallar la ecuación de la simetral del segmento que los ejes coordenados
determinan en la recta 5x + 3y – 15 = 0 Solución Comenzaremos determinando las intersecciones de la recta con los ejes coordenados, para luego determinar el punto medio del segmento, enseguida calculamos la pendiente de la recta dada para obtener la de la perpendicular a ella para finalmente determinar la recta simetral. Intersección eje X
x
x
Intersección eje Y
y
y
y
Calculamos ahora el punto medio del segmento que va desde (3, 0) a (0, 5)
P M
Obtenemos la pendiente de la recta dada
y x
y x
x y
La pendiente es entonces 3
, y la pendiente de la perpendicular es 5
Determinamos la ecuación de la recta con 5
m y que pasa por
x y
y x
y x
y x
ii) ecuación por AC solución
x y
y x
y x
y x
iii) ecuación por BC
x y
y x
y x
y x
8.2 Hallar la ecuación de la recta que pasa por A y es paralela al lado BC
Solución
Determinamos la pendiente de la recta por BC y luego usando el punto A
obtenemos la recta pedida
x y 11 0 tiene pendiente -1, entonces
x y
y x
y x
- Encuentre una expresión para determinar la distancia de un punto a una recta.
Solución Sea el punto P ( x 0 , y 0 )y la recta Ax + By + C = 0.
i) Determinamos la pendiente de la recta
B
A
m
ii) Obtenemos la pendiente de la recta perpendicular a ella
A
B
m (^)
iii) Ahora calculamos la ecuación de la recta que pasa por P y con pendiente m
0 0
0 0
Bx Ay Ay Bx
Ay Ay Bx Bx
x x A
B
y y
iv) Hallamos la intersección de las dos rectas
Bx Ay Bx 0 Ay 0
Ax By C
Multiplicando por A la primera y por B la segunda
0 0
2 2
2
B x ABy B x BAy
Ax ABy AC
Y sumando
2 2
0 0
2
0 0
2 2 2
A B
B x BAy AC x
Ax B x B x BAy AC
Ahora multiplicando por B la primera y por – A la segunda se tiene
0 0
2 2
2
ABx A y Ay ABx
ABx B y BC
Sumando
2 2
0 0
2
0 0
2 2 2
A B
A y ABx BC y
B y Ax A y ABx BC
Luego el punto de intersección es
2 2
0 0
2
2 2
0 0
2 , A B
A y ABx BC
A B
B x BAy AC
Ahora calculamos la distancia entre el punto P y el punto de intersección de las dos rectas.
2 2
0 0
2 2 2
2 0 0
2 2
2 2 2
2 0 0
(^22) 0 0
2
2
2 2
0 0
(^22)
2 2
0 0
2
2 2 2
0 0
2 0
2 0
2 2 2 2
0 0
2 0
2 0
2
2 2 2
0 0
2
0
2 2 2
0 0
2
0
A B
Ax By C
A B
A B Ax By C
A B
A Ax By C B By Ax C
A B
B y ABx BC
A B
Ax BAy AC
A B
A y B y A y ABx BC
A B
Ax B x B x BAy AC
A B
A y ABx BC y A B
B x BAy AC d x
Por lo tanto la distancia de un punto a una recta puede calcularse como el cuociente entre la ecuación de la recta reemplazándole las coordenadas del punto dado y la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los coeficientes de x y de y.
- Las coordenadas de un punto P son (2, 6) y la ecuación de una recta L es
4x + 3y = 12. Hallar la distancia del punto P a la recta L. Solución Aplicando el resultado anterior se tiene que
2 2
d
ii) hallamos la ecuación de la recta que pasa por los dos puntos
y x
O bien
y x
y x
y x
iii) y finalmente debemos probar que el punto medio encontrado pertenece a la recta, para ello lo reemplazamos en la ecuación de la recta.
- Reducir la recta de ecuación 5x – 7y -11 = 0 a la forma normal
Solución Multiplicamos la ecuación por R
R
R
Rx Ry R
sin 7
cos 5
Elevando al cuadrado ambas igualdades
2 2
2 2
sin 49
cos 25
R
R
Sumando miembro a miembro
cos sin 74
2
2
2 2 2
R
R
R
R
Como C es negativo tomamos el signo positivo para el radical Y la ecuación en su forma normal es
x y
- Hallar la distancia al origen de la recta 2x – 3y + 9 = 0
Solución 1 usando la distancia de un punto a una recta
d
Solución 2: sabiendo que al escribir una recta en su forma normal el término constante indica la distancia de la recta al origen.
13
1
1 13
cos sin 13
sin 3
cos 2
2 3 9 0
2
2 2 2
R
R
R
R
R
Rx Ry R
Como C es positivo se toma el signo negativo para el radical
x y
Se tiene entonces que la distancia es 13
- Determinar el valor de k para que la distancia del origen a la recta x + ky
- 7 = 0 sea 2. Solución Usando la relación para la distancia de un punto a una recta tenemos
2
2
2 2
2
2
2 2
0 0
k
k
k
k
k
k
k
A B
Ax By C d
- Hallar la distancia entre las dos rectas paralelas 3x + 5y – 11 = 0, y la
recta 6x + 10 y – 5 = 0.
Solución 1 (método Alamos)
Tomamos un punto de la primera recta sea este (2, 1)
Calculamos la pendiente de la segunda recta
m
Obtenemos la pendiente de su perpendicular
m
Determinamos la ecuación de la recta que pasa por (2,1) con pendiente m
x y
y x
y x
Hallamos la intersección de esta recta con la segunda recta dada
- Los vértices de un triángulo son A(-2, 3), B(5, 5) y C(4, -1). Hallar la
ecuación del la bisectriz del ángulo interior ACB
Solución
i) encontramos las ecuaciones de los lados AC y BC ecuación por AC
x y
x y
y x
y x
y x
Ecuación por el lado BC
x y
y x
y x
y x
ii) Consideramos un punto P ( x , y ) sobre la bisectriz, este punto debe
cumplir la condición que debe ser equidistante de los lados AC y BC
x y
x y x y
x y x y
x y x y
El signo menos se debe a que se encuentran en lados opuestos del origen
