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Deducción de la Ecuación de Schrödinger
para una Partícula Libre
Guiándonos por la forma de la ecuación de ondas procedemos ahora de la
siguiente manera:
• El tipo de ondas viajeras mas simple son las llamadas ondas planas
descritas mediante la función
• Es natural pensar que una partícula libre, tiene asociada una onda
plana, por lo que podemos suponer que la función de onda es de la forma
• Hemos visto que el número de ondas k y el momento de la partícula
estan relacionados mediante la relación
• Tambien sabemos que la frecuencia angular esta relacionada con
la frecuencia y por lo tanto con la energía E de la
siguiente manera:
• La función de ondas por lo tanto se puede escribir como
• Si derivamos dos veces la función de ondas con respecto a x obtenemos
• Para una partícula libre la energía esta relacionada con el cuadrado
del momento y por lo tanto
• Por otra parte para obtener la energía E podemos derivar ahora la
función de ondas con respecto de t
De las ecuaciones anteriores se deduce la ecuación de Schrödinger
para una partícula libre
- (^) A diferencia de la ecuación de ondas general, la ecuación de
Schrödinger solo es de primer orden en el tiempo.
La ¿demostración? de la ecuación de Schrödinger
1 Comentario
por
Arri
el 06/02/2013 a las 20:48:52 (8798 Visitas)
Echando un vistazo al blog de Demostraciones de esta página web, me he encontrado con la demostración de la ecuación de Shrödinger independiente del tiempo, que después se usa en la demostración de la ecuación de Shrödinger dependiente del tiempo. Escribo esta entrada como respuesta a ambas (en las que no comento porque ya tienen su tiempo y porque pretendo extenderme bastante) porque no estoy de acuerdo con ellas.
Antes de continuar, quiero dejar claro que sólo soy un estudiante de 3º de Física y que lo único que sé de Física Cuántica es lo que he estudiado este semestre. Pero resulta que se contradice (en cierta manera) con lo que se dice en las demostraciones que menciono aquí. Así que pido disculpas por adelantado por posibles meteduras de pata que pueda decir a continuación.
Tal como a mí me lo han contado, la ecuación de Schrödinger es un postulado de la Mecánica Cuántica , y como postulado que es no se puede demostrar. Sí es cierto que puede justificarse con argumentos físicos como los que en estas demostraciones se explican (a saber, la ecuación de ondas y el postulado de De Broglie ). De hecho, podemos encontrar una "demostración" en base a esto en el libro "Física Cuántica" de Eisberg-Resnick. Pero insisto: no es una demostración, sino un razonamiento que justifica la ecuación.
Lo que a mí me han explicado es que un sistema cuántico viene descrito por su función
de ondas , la cual ha de cumplir la ecuación de Schrödinger:
Con el operador laplaciano, que en cartesianas es.
¿Y de dónde sale la famosa ecuación de Schrödinger independiente del tiempo?
La ecuación de espacio es la conocidísima ecuación de Shrödinger independiente del tiempo Ésta, como vemos, no describe por sí sola el sistema físico: es la que lo describe totalmente, la función que aparece en la ecuación independiente del tiempo es sólo una parte de la función de ondas completa. Lo que pasa es que, como la parte temporal es siempre la misma, basta con resolver la parte espacial para resolver el problema, pues siempre tenemos que, para potenciales independientes del tiempo:
