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1. Introducción: Repaso de mecánica de fluidos
El transporte de energía es un tema crucial para cualquier alumno interesado en comprender las ciencias básicas e ingeniería. Aunque el enfoque que tiene este texto está orientado hacia la ingeniería, sus fundamentos recaen en la mecánica del medio continuo y las aplicaciones de los conceptos vistos aquí trascienden los casos meramente industriales clásicos. De los textos de termodinámica se sabe que la energía de un sistema se transfiere a través de sus interacciones con los alrededores en forma de calor y trabajo. Sin embrago, en los textos introductorios de termodinámica el interés está en los estados del sistema sin prestar atención al tipo y naturaleza de las interacciones. El propósito de este texto es precisamente comprender estas interacciones, en particular en la conversión de energía térmica (o calor) a energía interna de un sistema.
Los alumnos que toman este curso normalmente ya han tenido una primera experiencia con los fenómenos de transporte mediante el curso de Mecánica de Fluidos. En el presente texto se seguirá un esquema similar al utilizado en Mecánica de Fluidos, esto es: Primeramente se deducirán cuidadosamente las ecuaciones que gobiernan el transporte de energía y las correspondientes condi- ciones de frontera. Posteriormente, se estudiarán problemas con diferentes grados de complejidad, empezando con problemas meramente conductivos en estado estacionario (ecuaciones ordinarias), seguido de problemas en estado transitorio (ecuaciones parciales). Posteriormente, se acoplará la transferencia de calor con el transporte de cantidad de movimiento en problemas de capa límite, para después discutir acerca de la transferencia de calor en régimen turbulento. Finalmente, se presentará un esquema de promediado de las ecuaciones a la escala puntual (o microscópica) para así desarrollar las ecuaciones válidas a un nivel de escala macroscópico. Las herramientas matemáticas para cumplir este objetivo son las mismas que las que se requieren para deducir las ecuaciones a escala microscópica. Esto es, los teoremas del transporte y de la divergencia.
Para un mejor aprovechamiento del texto es recomendable que los alumnos cuenten con bases sólidas en la solución (analítica y numérica) de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales, análisis vectorial y el uso de software como Comsol Multiphysics. Si los alumnos no cuentan con dichas bases, se recomienda que el profesor dedique algunas sesiones a remediar esta situación.
El resto de este capítulo está dedicado a repasar la deducción de las ecuaciones gobernantes de la transferencia total de masa y de cantidad de movimiento en una fase y en una interfase.
12 Capítulo 1. Introducción: Repaso de mecánica de fluidos
∮𝛂 d 𝝈
Modelado
i)
ii)
iii)
iv)
a)
b)
c)
d)
e)
i) F´ısico ii) Operaci´on iii) Dise˜no iv) Redise˜no
a) Matem´atico b) Determinista c) Estoc´astico d) Fundamental e) Observacional
Figura 1.1: Esquema de la clasificación del modelado. Las flechas amarillas llevan al tipo de modelo a utilizar en este texto.
El Propósito es revisar los pasos involucrados en la deducción de estas ecuaciones así como el herramental matemático necesario. Estos elementos son de especial importancia para la deducción de la ecuación de energía, como se discute en el Capítulo 2.
1.1 Generalidades sobre el modelado
Un modelo puede entenderse, en general, como una representación de la realidad, la cual puede llevarse a cabo de manera experimental (en cuyo caso se habla de modelos físicos) o teórica (que para los propósitos de este texto corresponde a los modelos matemáticos) como se muestra en la figura 1.1 (Herrera y Pinder, 2012). Un modelo físico puede definirse como una representación de la realidad por medios experimentales. El trabajo experimental puede, a grandes rasgos, clasificarse en tres actividades: operación (usar un equipo existente), diseño (construir un equipo o técnica experimental) y rediseño (mejoramiento de una técnica o equipo ya existente). Por su parte, los modelos matemáticos pueden definirse como una representación matemática de aspectos no matemáticos (Aris, 1994). Como primera clasificación, se pueden distinguir dos tipos de modelos matemáticos: los deterministas, en los cuales las mismas entradas producen siempre las mismas salidas y los estocásticos donde lo anterior no siempre se cumple y el resultado está sujeto a probabilidades (Himmelblau y Bischoff, 1968). De acuerdo al origen de su formulación, los modelos matemáticos deterministas se clasifican en: los modelos basados en la observación y los modelos basados en principios fundamentales. Los primeros (también conocidos como modelos empíricos) necesitan de modelos experimentales que aporten datos confiables para posteriormente encontrar expresiones matemáticas que los representen (Gershenfeld, 1998). En este caso, un modelo será más aceptable que otro en función de qué tan cerca se ajusten las predicciones teóricas a los datos experimentales. La formulación de los modelos basados en principios fundamentales,
14 Capítulo 1. Introducción: Repaso de mecánica de fluidos
variedad de aplicaciones prácticas de interés. Además de estos temas, se incluyen algunos tópicos relevantes como el transporte de calor en medios porosos y el transporte en sistemas energéticos tales como pozos geotérmicos y paneles fotovoltaicos.
1.3 Tres tipos de regiones y de derivadas temporales
Para los propósitos de este texto, es conveniente adoptar la hipótesis del continuo. Bajo esta perspectiva, la materia se considera que está constituida por fases, las cuales están separadas entre sí por interfases. Esta postura es una simplificación de la realidad, donde se sabe que dichas fases se componen de átomos y moléculas, los cuales están separados por espacio vacío. Para describir lo que ocurre en una o varias fases se pueden definir tres tipos de regiones espaciales de estudio: Definición 1.3.1 — Regiones espaciales.
- Región fija (Euleriana): Su forma y tamaño son fijos en el espacio y en el tiempo y permite entradas y salidas de materia a través de su superficie.
- Región material (Lagrangiana): A pesar de que su forma y tamaño pueden variar en la posición y el tiempo, tiene la restricción de que siempre debe contener a la misma cantidad de materia. Su movimiento corresponde a la velocidad del fluido, v.
- Región arbitraria (general): No tiene restricciones respecto a su forma y tamaño, su movimiento es independiente y su velocidad se denota como w. Permite entrada y salida de materia a través de sus fronteras.
Estas regiones corresponden a tres tipos de observadores imaginarios que podrían considerarse para estudiar un determinado proceso. El uso de estos tres t Asociadas a estas tres regiones, pueden definirse los siguientes tres tipos de derivadas temporales: Definición 1.3.2 — Derivadas temporales.
- Derivada parcial (Euleriana): Este tipo de derivada consiste en medir los cambios temporales de una propiedad, f , desde un punto fijo en el espacio. Usando al vector r para representar la posición de dicho punto, se tiene entonces que
d f dt
r
∂ f ∂t
- Derivada material (Lagrangiana): Este tipo de derivada está asociada a la región ma- terial, por lo que la posición desde la que se mide a la propiedad f se mueve con la velocidad del fluido. Bajo esta perspectiva, la propiedad es función de la posición y del tiempo, por lo que usando la regla de la cadena se tiene que
D f Dt
d f dt
∣r^ +
i= 3
i= 1
dri dt
∣t
d f dri
∣t^ =^
∂ f ∂t
Aquí se usó la definición v = d dtr
t.
- Derivada total (general): Esta derivada está asociada a una región arbitraria, la cual se mueve a una velocidad w. El desarrollo es similar al de la derivada material, con la diferencia que la derivada temporal del vector de posición corresponde ahora a la velocidad arbitraria del observador, w, esto es:
d f dt
d f dt
r
i= 3
i= 1
dri dt
t
d f dri
t
∂ f ∂t
1.4 Teoremas integrales 15
1.4 Teoremas integrales
1.4.1 Teoremas del transporte y de la divergencia
En los párrafos anteriores se definieron derivadas asociadas a propiedades definidas en cada punto de un sistema (es decir, propiedades puntuales); sin embargo, a menudo el interés está en calcular derivadas temporales de integrales volumétricas de propiedades puntuales. El resultado de tomar la derivada total de una integral en una región arbitraria constituye el teorema general del transporte (la deducción de este teorema puede consultarse en los textos como los de Aris, 1990; Gray y Gray, 2017)
Teorema 1.4.1 — Teorema general del transporte. Sea f una función continua en el espacio y en el tiempo, la derivada total de la integral volumétrica de f en una región arbitraria satisface la siguiente igualdad
d dt
∫
VA
f (r,t) dV =
∫
VA
∂ f ∂t
dV +
∫
AA
n · ( f w) dA (1.4.1)
Ahora bien, cuando se desea tomar la derivada material de una integral volumétrica correspon- diente a una región material, el resultado es el teorema del transporte de Reynolds, el cual puede expresarse como:
Teorema 1.4.2 — Teorema del transporte de Reynolds. Sea f una función continua en el espacio y en el tiempo, la derivada material de la integral volumétrica de f en una región material satisface la siguiente igualdad
D Dt
∫
VM
f (r,t) dV =
∫
VM
∂ f ∂t
dV +
∫
AM
n · ( f v) dA (1.4.2)
Por último, en el caso de la derivada parcial de una integral volumétrica correspondiente a una región fija, el resultado es simplemente la siguiente identidad
∂ ∂t
∫
V (^) f
f (r,t) dV =
∫
V (^) f
∂ f ∂t dV (1.4.3)
Como puede notarse, las ecuaciones (1.4.2) y (1.4.3) pueden deducirse a partir de la ecuación (1.4.1) fijando w = v y w = 0 , respectivamente. De la misma forma, Las definiciones de la derivada material (ecuación 1.3.2) y de la derivada parcial (ecuación 1.3.1) pueden deducirse a partir de la definición de la derivada total dada en la ecuación (1.3.3) al fijar w = v y w = 0 , respectivamente.
1.4.2 Teorema de la divergencia y fórmula de Green
Al comparar los teoremas general del transporte y del transporte de Reynolds con la identidad dada en la ecuación (1.4.3) pareciera que las integrales de superficies en ambos teoremas corrigen, por así decirlo, a dicha identidad al tomar en cuenta el desplazamiento de las regiones arbitraria y material, respectivamente. Para el desarrollo de las ecuaciones de transporte, es conveniente expresar dichas integrales de superficie como integrales volumétricas, para ello se recurre al teorema de la divergencia o teorema de Gauss (1813), el cual se enuncia como sigue:
Teorema 1.4.3 — Teorema de la divergencia. Sea a una función vectorial diferenciable en
1.5 Conservación de masa 17
Ecuación de continuidad (forma macroscópica con palabras) { La razón de cambio en el tiempo de la masa en la región
Tasa neta de entrada de masa por las fronteras de la región
El lado izquierdo de esta ecuación puede expresarse en lenguaje matemático como sigue { La razón de cambio en el tiempo de la masa en la región
d dt
∫
VA
ρ dV (1.5.2)
Note que la masa de la región se calculó sumando los productos de la densidad por el diferencial de volumen a lo largo de VA. Por su parte, la tasa de entrada de masa por las fronteras se traduce en lenguaje matemático mediante la siguiente integral de superficie { Tasa neta de entrada de masa por las fronteras de la región
∫
AA
n · ρ(v − w) dA (1.5.3)
donde el signo negativo se debe a que el vector unitario apunta hacia afuera de la superficie AA. Sustituyendo las ecuaciones (1.5.2) y (1.5.3) en la ecuación (1.5.1) da como resultado
Ecuación de continuidad (forma macroscópica)
d dt
∫
VA
ρ dV +
∫
AA
n · ρ(v − w) dA = 0 (1.5.4)
Esta forma del principio de conservación de masa es especialmente útil para estudiar problemas macroscópicos. Sin embargo, por el momento el interés está en deducir su forma microscópica, es decir una ecuación que sea válida en cada punto de una fase. Aplicando el teorema general del transporte (ecuación 1.4.1) al primer término de la ecuación anterior lleva a la siguiente expresión ∫
VA
∂ ρ ∂t
dV +
∫
AA
n · ρv dA = 0 (1.5.5)
O bien, usando el teorema de la divergencia en el segundo término y agrupando los dos términos resultantes en una sola integral ∫
VA
[
∂ ρ ∂t
]
dV = 0 (1.5.6)
Esta integral es satisfecha ya que el integrando es cero, por lo tanto se deduce de esta expresión la ecuación de continuidad
Ecuación de continuidad (forma microscópica)
∂ ρ ∂t
Esta ecuación es válida en cada punto de una fase y requiere además de una ecuación de estado que relacione a la densidad con la presión y temperatura. Para casos en los que la densidad sea constante en el espacio y en el tiempo, la ecuación anterior se deduce a
∇ · v = 0 (1.5.8)
la cual expresa la condición de flujo incompresible.
18 Capítulo 1. Introducción: Repaso de mecánica de fluidos
Ejercicio 1.1 Muestre que si se comienza por el principio de conservación de masa en una región material o arbitraria, se puede llegar a la ecuación (1.5.5).
Ejercicio 1.2 — Formulación alternativa de la ecuación de continuidad. Utilice la defi- nición de derivada material y lleve a cabo las operaciones algebraicas necesarias para demostrar que la ecuación de continuidad dada en la ecuación (1.5.7) puede expresarse como Dρ Dt
Ejercicio 1.3 — Teorema modificado de Reynolds. Utilice la ecuación de continuidad para deducir el teorema modificado de Reynolds
D Dt
∫
VM
ρψ dV =
∫
VM
ρ Dψ Dt
dV (1.5.10)
donde ψ es una función continua en el espacio y en el tiempo.
1.6 Conservación de cantidad de movimiento lineal
El principio de conservación de cantidad de movimiento lineal engloba a las tres leyes de Newton y corresponde a la primera ley de Euler como lo explica (Whitaker, 2009). Para un dominio arbitrario, este principio se puede expresar en palabras como (Gray y Gray, 2017)
Ecuación de movimiento lineal (forma macroscópica en palabras)
La razón de cambio en el tiempo de la cantidad de movimiento en un dominio arbitrario
Flujo neto de entrada de cantidad de movimiento por las fronteras del dominio
Fuerzas que actúan dentro del dominio
Fuerzas que actúan en las fronteras del dominio
Traduciendo al lenguaje matemático cada término de esta ecuación se obtiene
Ecuación de movimiento lineal (forma macroscópica)
d dt
∫
VA
ρv dV +
∫
AA
n · ρv(v − w) dA =
∫
VA
ρb dV +
∫
AA
tn dA (1.6.2)
donde b representa las fuerzas volumétricas por unidad de masa, mientras que tn es el vector de fuerzas superficiales. De acuerdo al teorema fundamental de Cauchy, dicho vector se relaciona con el tensor de esfuerzos totales como (Whitaker, 1992a):
tn = n · T (1.6.3)
20 Capítulo 1. Introducción: Repaso de mecánica de fluidos
donde el vector de fuerza volumétrica fue reemplazado por el vector de gravedad. Note que se incluyó el significado físico de cada término. Esta ecuación, junto con la ecuación de continuidad dada en la ecuación (1.5.8) forman un sistema cerrado de ecuaciones diferenciales, cuyas incógnitas son la presión y la velocidad y con las cuales se puede estudiar una amplia variedad de problemas como se muestra en los textos de mecánica de fluidos (Whitaker, 1992a; Batchelor, 2000). Para concluir, esta sección es interesante notar que al dividir la ecuación (1.6.10) entre la densidad y al reacomodar los términos resultantes se obtiene la siguiente expresión ∂ v ︸︷︷︸^ ∂t acumulación
= ν︸ ︷︷ ︸∇^2 v difusión
donde ν = μ/ρ es la viscosidad cinemática. La ecuación anterior está escrita en la forma clásica que incorpora términos de acumulación, convección y difusión así como un término fuente f = −∇w+g, donde w = p/ρ es el trabajo termodinámico específico (o por unidad de masa). Note que −∇w es una fuente interna, mientras que g es una fuente externa. Esta forma matemática de la ecuación de conservación de cantidad de movimiento es consistente con la que se usa en transferencia de calor y en transferencia de masa (Bird y col., 2006).
Ejercicio 1.4 Utilice la ecuación de continuidad y la definición de derivada material para deducir la ecuación (1.6.6) a partir de la ecuación (1.6.5).
Ejercicio 1.5 Tome la divergencia de ambos lados de la ecuación (1.6.9) y tome en cuenta la condición de flujo incompresible, para demostrar que ∇ · τττ = μ∇^2 v para casos en los que el coeficiente de viscosidad sea constante.
1.7 Ecuación de energía mecánica
Para los desarrollos que siguen es necesario deducir la ecuación de energía mecánica en una fase. Esta ecuación no parte en sí de un principio fundamental, sino que se deduce a partir de las ecuaciones de movimiento. Para ilustrar lo anterior se toma el producto interno de la primera ecuación de Cauchy con el vector de velocidad del fluido v,
ρ
Dv Dt · v = ρb · v + (∇ · T) · v (1.7.1)
Para avanzar, se toman en cuenta las siguientes identidades
Dv Dt
· v =
Dv^2 Dt
(1.7.2a) (∇ · T) · v = ∇ · (T · v) − T : ∇v (1.7.2b)
De esta forma, la ecuación (1.7.1) toma la siguiente forma
ρ 2
Dv^2 Dt = ρb · v + ∇ · (T · v) − T : ∇v (1.7.3)
Esta forma en particular de la ecuación de energía mecánica se usará en el siguiente capítulo para la deducción de la ecuación de energía térmica. Si se sustituye ahora la descomposición del tensor de esfuerzos totales dada en la ecuación (1.6.7), el resultado es
ρ 2
Dv^2 Dt = −∇ · (pv) + ρb · v + p(∇ · v) + ∇ · (τττ · v) − τττ : ∇v (1.7.4)
1.7 Ecuación de energía mecánica 21
Más aún, para un flujo Newtoniano e incompresible se tiene que
τττ = μ
[
∇v + (∇v)T^
]
Por lo tanto, el penúltimo término del lado derecho de la ecuación (1.7.4) toma la siguiente forma
∇ · (τττ · v) = μ∇ · (∇v · v) + μ∇ ·
(∇v)T^ · v
O bien, tomando en cuenta la identidad
∇v · v =
∇v^2 (1.7.7)
se tiene entonces que
∇ · (τττ · v) = μ 2
∇^2 v^2 + μ∇ ·
(∇v)T^ · v
El último término del resultado anterior puede modificarse al notar que
∇ ·
(∇v)T^ · v
= ∇ · (v · ∇v) = ∇v : ∇v + v · ∇ (∇ · v) = ∇v : ∇v (1.7.9)
En la última igualdad se tomó en cuenta la suposición de flujo incompresible. De esta forma, la ecuación (1.7.4) toma la siguiente forma:
ρ 2
Dv^2 Dt = −∇ · (pv) + ρb · v +
μ∇^2 v^2 + μ∇v : ∇v − τττ : ∇v (1.7.10)
Dirigiendo la atención al último término de la ecuación anterior, el resultado de sustituir la ley de Newton de la viscosidad es:
τττ : ∇v = μ∇v : ∇v + μ(∇v)T^ : ∇v (1.7.11)
Por lo que la forma final de la ecuación de energía mecánica es:
Ecuación de energía mecánica
ρ 2
∂ v^2 ∂t
= −∇ · (pv) + ρb · v +
μ∇^2 v^2 − μ∇vT^ : ∇v (1.7.12)
Los términos del lado izquierdo de la ecuación anterior representan la acumulación y el transporte convectivo de energía cinética, respectivamente. Por su parte, los términos del lado derecho representan: −∇ · (pv) : la tasa de trabajo de presión ejercida por los alrededores hacia el fluido; ρb · v la tasa de trabajo debida a fuerzas volumétricas; 12 μ∇^2 v^2 transporte difusivo de energía cinética; −μ∇vT^ : ∇v la tasa de conversión irreversible de energía mecánica a energía interna o disipación viscosa.
Ejercicio 1.6 Utilice notación indicial para demostrar las identidades dadas en las ecuaciones (1.7.2), (1.7.7) y (1.7.9).
Ejercicio 1.7 Deduzca el resultado dado en la ecuación (1.7.12) a partir de tomar el producto punto de la ecuación de Navier-Stokes con el vector de velocidad.
