Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Prepara tus exámenes
Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Prepara tus exámenes con los documentos que comparten otros estudiantes como tú en Docsity
Los mejores documentos en venta realizados por estudiantes que han terminado sus estudios
Estudia con lecciones y exámenes resueltos basados en los programas académicos de las mejores universidades
Responde a preguntas de exámenes reales y pon a prueba tu preparación
Consigue puntos base para descargar
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Comunidad
Pide ayuda a la comunidad y resuelve tus dudas de estudio
Descubre las mejores universidades de tu país según los usuarios de Docsity
Ebooks gratuitos
Descarga nuestras guías gratuitas sobre técnicas de estudio, métodos para controlar la ansiedad y consejos para la tesis preparadas por los tutores de Docsity
la desarrollo de los ejercicios de las ecuaciones de primer grado
Tipo: Ejercicios
1 / 149
Esta página no es visible en la vista previa
¡No te pierdas las partes importantes!
2
d y dy a by dx dx
n n X n
a x x s
Jaime Alberto Leal Afanador
J aime Leal Afanador Rector
Gloria Herrera Vicerrectora Académica
Roberto Salazar R amos Vicerrector De Medios y Mediaciones Pedagógicas
Maribel Córdoba Guerrero Secretaria General
TERCERA EDICIÓN
Universidad Nacional Abierta y a Distancia
P asto Colombia
I N TRODUCCI ON
La educación a distancia ha sido tema de estudio de gran interés, debido, entre otros factores, al crecimiento demográfico y a los cambios acelerados en la tecnología y el nuevo entorno internacional. Hemos pasado, en mayor o menor grado, de una educación tradicional, escolarizada, cerrada, a una educación moderna, abierta, a distancia, sin restricciones de acceso, continua y para toda la vida, implicando nuevas formas de aprender, formas que implican importantes cambios tanto para los estudiantes como para los docentes y aún más, para el propio sistema educativo.
El curso académico tratará los siguientes aspectos de mucha importancia en la ingeniería y sus diferentes proyecciones a la solución de problemas así: estudio de las ecuaciones diferenciales, clasificación según su orden, tipo, linealidad y métodos de solución para las ecuaciones de variables separadas y homogéneas. Donde los tipos de ecuaciones diferenciales a trabajar principalmente son las exactas y las lineales, veremos sus características, su modo de identificación y la manera de resolver cada una de ellas, dando ejemplos, ejercicios explicativos y aplicaciones para cada unidad. Además trabajaremos las ecuaciones diferenciales utilizando series de potencias para su respectiva solución.
El curso está orientado a la autogestión estudiantil de los conocimientos teóricos para la comprensión de la estructura y funcionamiento de las ecuaciones diferenciales y series.
La estrategia pedagógica del curso hará énfasis en el desarrollo de competencias básicas (prepositivas, argumentativas Interpretativa, latitudinales, comunicativas, socioaf ectivas, disciplinares, cognitivas, metodológicas, complejas, y transversales) mediante el desarrollo de actividades situaciones y actuaciones de aprendizaje que involucran las fases de reconocimiento, profundización y transferencia, planificadas en la guía de actividades.
J USTI FI CACI ON
Las ecuaciones diferenciales constituyen uno de los más importantes instrumentos teóricos y a su vez herramienta para la praxis y así interpretar y modelar fenómenos científicos y técnicos de la mayor variedad. Son por eso de especial importancia práctica y teórica para los ingenieros de cualquier rama.
El área de los sistemas ha penetrado prácticamente en todas las áreas de la tecnología, porque permite abordar y manejar sistemáticamente aspectos de optimización y logro de comportamientos deseados. El área de los sistemas es transversal y genérica. Transversal por aplicarse a varias áreas de conocimiento: sistemas mecánicos, eléctricos, de procesos, humanos, económicos entre otras áreas, por eso se encuentra todo género de investigadores: ingenieros de todas las disciplinas, economistas, físicos, matemáticos entre otros.
útiles para optimizar tu rendimiento académico. Por último, las Actividades de Aprendizaje contienen un conjunto de ejercicios, actividades y/o asignaciones estructuradas y organizadas en diez franjas o categorías, para facilitar tu proceso de aprendizaje. Ellas en sí mismas, representan un modelo de aprendizaje, del cual podrás apropiarte o enriquecerte, a medida que avances en el proceso de aprendizaje. Las franjas son las siguientes:
Para obtener una mejor comprensión y manejo de las franjas, a continuación te Presentamos el significado de cada una de ellas:
Incluye información referida al objetivo de aprendizaje (norte), beneficios, utilidad y aplicabilidad de los conocimientos que deberás adquirir a través del estudio de cada unidad.
Son orientaciones didácticas particulares de cada unidad y signatura que te permitirán conocer el ¿cómo?, ¿dónde? y ¿cuándo? realizar una actividad conducente al logro del objetivo de aprendizaje planteado.
Son ejercicios, actividades y/o asignaciones que te facilitarán la validación del nivel o grado de comprensión del material de lectura estudiado.
Son actividades, ejercicios y/o asignaciones presentadas con fines interpretativos y técnicos. Están orientadas a facilitarte, a partir de las lecturas realizadas; el auto análisis, la extrapolación, la generación de nuevas ideas, cambios a nivel personal o profesional, nuevas perspectivas, paradigmas o posiciones ante planteamientos o ideas realizadas o expuestas por otras personas.
Son asignaciones, ejercicios y/o actividades orientadas a facilitarte la asociación de la nueva información. Contenida en la Selección de Lecturas; con las que ya tenías para inducirte al replanteamiento, contraste o generación de nuevas ideas o conclusiones. Esta acción representa el proceso de construcción de tu nuevo aprendizaje.
Son ejercicios, actividades y/o asignaciones dirigidas a fomentar en ti el aprendizaje, el intercambio de ideas o experiencias; a través de otras personas (estudiantes, docentes/ tutores, padres, familiares, compañeros de trabajo, miembros de la comunidad, etc.). A esta actividad se le denomina aprendizaje colaborativo. Cuando la contribución está orientada hacia un propósito u objetivo común de un determinado grupo o equipo, se denomina aprendizaje cooperativo.
Son actividades, ejercicios y/o asignaciones orientadas a estimular en ti el aprender haciendo, es decir, a construir, diseñar o concebir un producto propio, principalmente en función de los nuevos conocimientos adquiridos a través del material estudiado. Constituye una oportunidad para que puedas aportar un producto aprovechable para ti mismo y para otras personas.
ECUACIONES DIFERENCIALES
DE PRIMER ORDEN
( ) ( )
dy P x y Q x dx
dy P x y Q x dx
Al terminar el estudio de la presente unidad, el estudiante presentará los siguientes indicadores de logro:
∑ Reconoce y distingue una ecuación diferencial. ∑ Clasifica ecuaciones diferenciales de acuerdo con su tipo, orden y linealidad. ∑ Reconoce la diferencia entre una solución particular y una solución general de la ecuación diferencial. ∑ Define campo de direcciones correspondientes a la ecuación diferencial. ∑ I dentifica ecuaciones diferenciales de variables separadas y homogéneas. ∑ Emplea el método de separación de variables para resolver ecuaciones diferenciales. ∑ Resuelve correctamente ecuaciones diferen ciales homogéneas. ∑ Reconoce una ecuación diferencial exacta y las resuelve. ∑ Encuentra el factor integrante para una ecuación diferencial lineal. ∑ Resuelve ecuaciones diferenciales lineales. ∑ I dentifica, distingue y resuelve correctamente ecuaciones diferenciales de Bernoulli. ∑ Realiza sustituciones adecuadas para poder resolver ecuaciones diferenciales con tipos ya conocidos empleando sustituciones. ∑ El estudiante plantea problemas correctamente empleando la modelación con ecuaciones diferenciales. ∑ P or ultimo, resuelve correctamente ecuaciones diferenciales lineales y cuantifica la importancia de la modelación matemática con ecuaciones diferenciales en la solución de problemas científicos.
Significa saber con anticipación hacia dónde se dirige el aprendizaje para emprender el contenido de esta unidad, que contienen aspectos básicos teóricos y prácticos de las ecuaciones diferenciales de primer orden.
f x ( ) + f ¢( )x - 7 x= 0
y¢ = 3 x
y¢ - cos( )x = 0
y¢¢¢ - y = 3 x+ 2
5 0
y x x
d
d
5 3
4 3 6
u u
x x
∂ ∂
En los anteriores ejemplos se observa que las ecuaciones cumplen la
definición de ecuación diferencial, por que tienen derivadas de diferente
orden y tipo (ordinarias y parciales), además en los ejemplos se
observan diferentes notaciones de derivada como lo hemos aprendido
en el cálculo diferencial. En resumen podemos decir que una ecuación
que tiene derivadas se llama ecuación diferencial.
A través de los ejercicios y actividades de esta franja, tendrás la oportunidad de verificar la comprensión del material en el cual las ecuaciones diferenciales parciales son muy importantes y útiles; sin embargo su manejo requiere del conocimiento profundo de las ecuaciones diferenciales ordinarias.
1.1.2. Resolución de una ecuación diferencial
Una función y^ =^ f^ (^ x) se dice que es una solución de una ecuación
diferencial si al sustituir y y sus derivadas en la ecuación la reduce a una identidad. Por ejemplo, derivando y sustituyendo es fácil comprobar
que
2 x y e
= (^) es una solución de la ecuación diferencial:
Se puede demostrar que toda solución de esta ecuación diferencial es
Donde C denota cualquier número real.
Derivando la ecuación
derivando
Reemplazando en la ecuación diferencial la función y su respectiva
Ejemplo:
Averiguar si las funciones dadas son solución de la ecuación diferencial:
a)
2x y = e
x y 4e
=
y =Cex
Averigüemos:
a) Como:
2 2 0
d y y d x
y =sen x ( )
y = senx
es solución.
d) Como y = Cex
x Ce
x Ce
Ejemplo: Solución particular
solución y hallar la solución particular determinada por la condición
Solución:
Sabemos que
Solución general es
y remplazando la condición inicial se
tiene: ( )
3
Luego concluimos que la solución particular es:
dy
dx
=
d y
dx
=
d y x y d x
( ) ( )
2 3 3 x 3 Cx – 3 Cx 0
dy x y dx
2 3
2 7
x y = -
d y d x
2
2
d y
dx
2 2 7
Ejemplo:
4
y y = +c es la solución general de 3 0
Derivando y Tenemos:
dy (^) x 3 dx
= al sustituir en la ecuación diferencial, la
convierte en una identidad
Geométricamente, la solución general de una ecuación diferencial de primer orden representa una familia de curvas o familia de soluciones, una para cada valor asignado a la constante arbitraria C.
El término “condiciones iníciales” proviene de que, con frecuencia, en problemas donde interviene el tiempo, se conoce el valor de la variable
El problema de valor inicial implica hallar la solución de una ecuación diferencial sujeta a una condición inicial Y Xo(^ ) =^ Yo, y es el punto de partida para encontrar la familía de curvas.
Cabe aclarar que la solución del problema de valor inicial no es una familia de curvas, sino una curva de ellas que cumple las condiciones.
Para determinar una solución particular, el número de condiciones iníciales ha de coincidir con el de constantes arbitrarias en la solución general. Recordemos que la solución de una ecuación diferencial no es una sola función, sino todo un conjunto de funciones (familía de soluciones).
