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Definición.- La ecuación es una igualdad entre dos expresiones matemáticas en la que al menos este presente una variable que ahora recibirá el nombre de incógnita. Ej.:
3 y x 5 ;
2
2 x 4 x 7
Solución (cero o raíz) de una Ecuación
Es el valor o valores de las incógnitas que al ser reemplazadas en la ecuación, verifican la igualdad.
Conjunto solución.- Es aquel conjunto formado por todas las soluciones de la ecuación.
CLASIFICACION DE LAS ECUACIONES
I) Según el grado.- Pueden ser de primer grado, segundo grado, tercer grado, etc.
II) Según sus coeficientes.- Pueden ser numéricas o literales.
III) Según el número de incógnitas.- Pueden ser de una, dos, tres o más incógnitas.
IV) Según sus soluciones Pueden ser:
a) Compatibles: Cuando tienen por lo menos una solución. A su vez estas ecuaciones se dividen en:
a.1 Determinadas.- Si tienen un número limitado de soluciones Ej.:
2 x 3 x 1 , tiene una solución 2
x 3 6 ,^ tiene dos soluciones
a.2 Indeterminadas.- Si tienen un número ilimitado de soluciones. Ej.:
( x 1)^2 x^2 2 x 1
3 x 5 3 x 5
b) Incompatibles: Es aquella ecuación que no admite solución, o cuya solución no admite no satisface a la ecuación. Ej.:
2x+4 = 2x+7 ; 2 0 x 3
V) Por su Forma.- Pueden ser:
a) Fraccionarias.- Cuando la incógnita se encuentra en el denominador. Ej.:
x x
x x
b) Irracionales.- Cuando la incógnita se encuentra dentro de un radical
x 1 x 1
Llamadas también ecuaciones lineales, tienen la siguiente forma general:
; Donde:
b
x
a
DISCUSIÓN DE LA RAÍZ
1.- Si a 0 b 0 ; la ecuación es
determinada y el valor de x es único.
2.- Si a 0 b 0 ; la ecuación es
determinada y la raíz es nula.
3.- Si a 0 b 0 : la ecuación es
incompatible o absurda.
4.- Si a 0 b 0 ; la ecuación es
indeterminada y su conjunto solución son
ECUACIONES DE PRIMER GRADO
ECUACIONES
ax b 0
Recuerda el análisis de cada condición
EJERCICIOS
PROPUESTOS
1.- Resolver:
x x x
a)18 b)-18 c) d)-2 e)A.P.
2.- Resolver:
x
x x
a) Absurdo b)0 c) d)-3 e)
3.- Resolver: x x^2 21 7
a)5 b)4 c) d)2 e)
4.- Resolver e indicar el conjunto solución de:
x 1 3 3 x 2
a)2 b)17 c)2 y 17
d)-2 y -17 e)
5.- Resolver:
2 2
x x
x x x x
a) 1 b)2 c)- d) 3 e) imposible
6.- En la discusión de la solución de la
ecuación: ax b 0 , los valores de
verdad de las siguientes proposiciones son: I.- La ecuación es compatible
determinada, si a 0 b 0.
II.- La ecuación es incompatible, si
a 0 b 0.
III.- La ecuación es compatible
indeterminada, si a 0 b 0.
IV.- La ecuación es compatible
determinada, si a 0 b .
a)VVVV b)FFFV c)FFFF d)VVVF e)VVFF
7.- Si la ecuación en “x”:
a a a
x
^ ^ ^ ^
; es
Mónica. Hallar el conjunto solución.
a)C.S.={20} b)C.S.={-20} c)C.S.={43} d)C.S.={ } e)C.S.={-43}
8.- La ecuación: 2 2
x x x x
x x x x
a) Admite como solución x=3. b) Admite como solución x=1. c) Admite como solución x=2. d) Admite múltiples soluciones. e) No admite solución.
Son aquellas que presentan la siguiente forma general:
para: a 0
Resolución de una Ecuación de 2º Grado
1.- Por Factorización: La ecuación se factoriza y cada uno de los factores se iguala a cero.
2.- Por Formula general (BASKARA):
Donde: b^2^ 4 ac ; es el discriminante de
la ecuación y se denota por:
Estudio del Discriminante
o Si: 0 , las raíces son diferentes
x 1^ x 2 ^ y^ reales.^ La^ ecuación
presenta dos soluciones.
o Si: 0 , las raíces son iguales
x 1 x 2 ^ y reales. La ecuación posee
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
2
ax bx c 0
2 1,
b b ac
x
a
2
b 4 ac
5.- Hallar “n” para que el producto de las raíces de la ecuación, sea 6. 2
( n 2) x 5 x 2 n 0
a)4 b)3 c) d)1 e)
6.- Hallar “n” en: nx^2^ ( n 5) x 1 0 si
se cumple que: x x 1. 2 x 1 x 2
a)8 b)-4 c) d)7 e)
7.- Hallar “n” si la suma y el producto de las raíces son iguales en: 2 2 x nx 2 x 4 n a)3 y -2 b)3 c)- d)-3 y 2 e)
8.- Hallar “m” si la diferencia de sus raíces es 1. 2 2 x ( m 1) x ( m 1) 0 a)11 b)-1 c)-11 d) e)N.A.
9.- En la ecuación: 2 x nx 36 0
Hallar “n” tal que: 1 2
x x 12
a)25 b)12 c) d)24 e)
10.- Encontrar el valor de “n”, para el cual la ecuación
x^2 2( n 3) x 4 n 0 ,^ tenga^ raíces
iguales. a)8 y 2 b)3 y 4 c)9 y 1 d)5 y 3 e)N.A.
11.- Hallar “m” si las raíces de:
x^2^ 2( m^2^ 4 m x ) m^4 0 son iguales.
a)1 b)4 c)-2 d)-4 e)
12.- Hallar “n” si las raíces de la ecuación son iguales.
x^2^ 2 (1 x 3 ) n 7(3 2 ) n 0
a)5 y 2 b)1 y -3/5 c)2 y -10/ d)4 y 2 e)3 y -
13.- Determine el valor de “k”, de modo que la ecuación:
2
k
x x ^ ; admita raíces
reales e iguales. a)-2 b)3 c)4 d)-5 e)
14.- Formar una ecuación de segundo grado sabiendo que sus raíces son:
x 1 1 y x 2 2
a) x^2^ 3 x 2 0 b) x^2 3 x 2 0
c) x^2^ 2 x 3 0 d) x^2^ 2 x 3 0
e) x^2^ 2 x 3 0
15.- Si m y n son las raíces de la
ecuación: x^2 2 x 2 0
Calcular: . . m n m n m n
a)2 b)4 c) d)8 e)
16.- Dada la ecuación cuadrática 2
ax bx c 0 , ¿Cuál o cuales de las
siguientes proposiciones son verdaderas? I.- La ecuación es compatible
determinada si a 0, b 0 y c 0
II.- La ecuación es incompatible, si
a 0, b 0 y c 0
III.- La ecuación no tiene raíces reales, si 2
b 4 ac 0
IV.- La ecuación tiene raíces iguales
imaginarias, si b^2^ 4 ac 0
a)II y IV b)Solo II c)II y III d)I y II e)II, III y IV
17.- Hallar los valores de “m” para que
la ecuación ( m 3) x^2 2 mx 4 0 ,
tenga una única solución: a)7 y 5 b)6 y -2 c)-6 y - d)5 y -3 e)-4 y 8
