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ECUACIONES DIFERENCIALES
DE ORDEN SUPERIOR
4.
4.
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4.
Teoría preliminar: ecuaciones lineales
4.1.1 Problemas de valor inicial y de valor en la frontera
4.1.2 Ecuaciones homogéneas
4.1.3 Ecuaciones no homogéneas
Reducción de orden
Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes
Coeficientes indeterminados, método de la superposición
Coeficientes indeterminados, método del anulador
Variación de parámetros
Ecuación de Cauchy-Euler
Sistemas de ecuaciones lineales
Ecuaciones no lineales
Ejercicios de repaso
Ahora pasaremos a resolver ecuaciones diferenciales de segundo orden o mayor. En
las siete primeras secciones del capítulo examinaremos algo de la teoría y métodos
para resolver ciertos tipos de ecuaciones lineales. En la sección 4.8 presentamos el
método de eliminación, para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias
lineales, porque es un método básico, que simplemente desacopla un sistema para
llegar a ecuaciones lineales individuales, de orden superior, en cada variable depen-
diente. El capítulo termina con un breve estudio de ecuaciones no lineales de orden
superior.
1 1 2
&.
Sxción 4.1 Teoría preliminar: ecuaciones heales
TEORíA PRELIMINAR: ECUACIONES LINEALES
n Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior n Problema de valores iniciales
n Existencia y unicidad n Problema de valores en lafiontera
n Ecuaciones diferenciales homogéneas y no homogéneas n Operador diferencial lineal
H Dependencia Zineal n Independencia lineal H Wronskiano n Conjuntofundamental de soluciones
H Principios de superposición n Solución general n Función complementaria n Solución particular
- 1 Problemas de valor inicial y de valor en la frontera
Problema de valores iniciales En la sección 1.2 definimos qué es un problema de
valores iniciales para una ecuación diferencial general de orden n. Para una ecuación diferencial
lineal, un problema de valores iniciales de orden n es
Sujeta f.7: y(n) = yo, y’(x0) = yl,.. ., y(“-‘)XO = y,-1. (1)
Recuérdese que, para un problema como éste, se busca una función definida en algún intervalo
I que contenga a XO, y satisfaga la ecuación diferencial y las n condiciones iniciales especifi-
cadasenxo:y(xo)=yo,y’(xo)=yl,.. .,y(*-‘)(xg)=y,-1.
Ya vimos que en el caso de un problema
de valores iniciales de segundo orden, una curva de solución debe pasar por el punto (~0, yo) y
tener ia pendiente y1 en ese punto.
Existencia y unicidad En la sección 1.2 enunciamos un teorema que especifica las
condiciones para garantizar la existencia y unicidad de una solución de un problema de valores
iniciales de primer orden. El teorema siguiente describe las condiciones suficientes de exis-
tencia de solución única para el problema representado por las ecuaciones (1).
sean a,(x), ua-1 (Tc),.. .,
q(x), a&) y g(x) contìmutg edlm int%rvaio r, p
toda x del intervalo. Si x = xo es cualquier pu& en el iWerv8& @xis& @%I SJ
intervalo y(x) del problema de valores i&i&ea representa& por &z!+ ~i#
única.
El problema de valores iniciales
Solución única de un problema de valores iniciales
I
3y’” + 5y” - y’ + 7y = 0, y(l) = 0, y’(l) = 0, y”(l) = 0
tiene la solución trivial y = 0. Como la ecuación de tercer orden es lineal con coeficientes
constantes, se satisfacen todas las condiciones del teorema 4.1; en consecuencia, y = 0 es la
única solución en cualquier intervalo que contenga x = 1.
n
Sección 4.1 Teoría pdiminar: ecuaciones hales 115
Para una ecuación diferencial de segundo orden, otros pares de condiciones en la frontera
podrían ser
Y’(U) = YO, y(b) =YI
~(4 = yo, y’(b) = y,
Y’(U) = YO, y’(b) = YI,
en donde yo y y1 representan constantes arbitrarias. Estos tres pares de condiciones sólo son
casos especiales de las condiciones generales en la frontera:
RY (4 + PlY ‘(a) = Yl
w(b) + W(b) = ~2.
Los ejemplos que siguen demuestran que aun cuando se satisfagan las condiciones del
teorema 4.1, un problema de valor en la frontera puede tener i) varias soluciones (Fig. 4.1); ii)
solución única, 0 iii) ninguna solución.
Un problema de valor en la frontera puede tener muchas soluciones, -
una 0 ninguna
En el ejemplo 5 de la sección 1.1 vimos que la familia a dos parámetros de soluciones de la
ecuación diferencial x” + 16x = 0 es
x = cl cos 4t + c2 sen4t.
(2)
a) Supongamos que queremos determinar la solución de la ecuación que además satisfaga
las condiciones de frontera x(O) = 0, x(7r/2) = 0. Obsérvese que la primera condición, 0 =
cl cos 0 + c2 sen 0, implica que CI = 0, de modo que x = c2 sen 4t. Pero cuando t = ~12,
0 = c2 sen 27r es satisfactoria para cualquier elección de ~2, ya que sen 27~ = 0. Entonces, el
problema de valores en la frontera
X” + 16~ = 0,
x(O) = 0, x ; = 0
tiene una cantidad infinita de soluciones. En la figura 4.2 vemos las gráficas de algunos de
los miembros de la familia a un parámetro x = c2 sen 4t que pasan por los dos puntos, (0,O)
y (7a 0).
FIGURA 4.
1 1 6 CAPíTULO 4 E C U A C I O N E S D I F E R E N C I A L E S D E O R D E N S U P E R I O R
b) Si se modifica como sigue el problema de valores en la frontera expresado por (3),
x” + 16~ = 0, x(O) = 0, x ; = 0
0
x(O) = 0 sigue determinando que cl = 0 en la solución (2). Pero al aplicar x(7rl8) = 0 a x = c
sen 4t se requiere que 0 = c2 sen(rr/2) = c2 1; en consecuencia, x = 0 es una solución de este
nuevo problema de valor en la frontera. En realidad, se puede demostrar que x = 0 es la
solución única del sistema (4).
c) Por último, al transformar el problema en
x” + 16x = 0, x(O) = 0, x ; = 1
0
(5)
vemos, que cr = 0 porque x(O) = 0 pero, al aplicar x(rr/2) = 1 a x = c2 sen 4t, llegamos a la
contradicción 1 = c2 sen 2n = c2. 0 = 0. En consecuencia, el problema de valores en
la frontera descrito por (5) no tiene solución.
n
4.1.2 Ecuaciones homogéneas
Una ecuación lineal de orden n de la forma
d”-‘y
a,(x) 2 + a,-](x) -
& n-l
+. + al(x) 2 + ao(x)y = 0
se llama homogénea, mientras que una ecuación
d”-‘y
a,(x) $ + a,-l(x) -
& n-l
+.. + al(x) f$ + ao(xly = g(x)
(6)
(7)
donde g(x) no es idénticamente cero, se llama no homogénea; por ejemplo, 2~” + 3y’ - 5y = 0
es una ecuación diferencial de segundo orden, lineal y homogénea, mientras que x3y”’ + 6y’ +
1 Oy = ex es una ecuación diferencial de tercer orden, lineal y no homogénea. En este contexto,
la palabra homogénea no indica que los coeficientes sean funciones homogéneas, como sucedía
en la sección 2.4.
Para resolver una ecuación lineal no homogénea como la (7), en primera instancia debemos
poder resolver la ecuación homogénea asociada (6).
Para evitar repeticiones inútiles en el resto del libro, establecemos las siguientes hipótesis importan-
tes al enunciar definiciones y teoremas acerca de las ecuaciones lineales (6) y (7): En un intervalo
común I:
n Los coeficientes ai( i = 0, 1,2,... , n son continuos
n El lado derecho, g(x), es continuo
n un(x) # o para toda x en el intervalo
texto
118 CAPíTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
DEMOSTRACIÓN Probaremos el caso k = 2. Sea L el operador diferencial definido en (8) y
sean yt(x) y yz(x) soluciones de la ecuación homogénea L(y) = 0. Si definimos y = ct yt(x) +
c2y&), entonces, por la linealidad de L,
Superposición, ecuación diferencial homogénea
Las funciones yt = x2 y y2 = x2 In x son soluciones de la ecuación lineal homogénea
X3Y"'
- 2xy’ + 4y = 0 para x en el intervalo (0, -). Según el principio de superposición, la
combinación lineal
y = c1x2 + c2.x’ In x
también es una solución de la ecuación en el intervalo. n
La función y = e7’ es una solución de y” - 9y’ + 14y = 0. Como la ecuación diferencial es
lineal y homogénea, el múltiplo constante y = ce” también es una solución. Cuando c tiene
diversos valores, y = 9e7x, y = 0, y = -6 e7x,... son soluciones de la ecuación.
Dependencia e independencia lineal Citaremos un par de conceptos básicos para
estudiar ecuaciones diferenciales lineales.
Se dice que un conjunto de fum3ones,~(~~&&~,
un intervalo I si existen constantes, CI,.. ,, C, no to&s
para toda x S i e l conjunto
intervalo, s e dice que es linealmente
En otras palabras, un conjunto de funciones es linealmente independiente en un intervalo si las
únicas constantes para las que se cumple
c,f,(x) + czfi(x> +... + cnh(x) = 0
para toda x en el intervalo son cl = c2 =... = c, = 0.
texto
Sección 4.1 Teoría preliminar: ecuaciones lineales 1 1 9
Es fácil comprender estas definiciones en el caso de dos funciones, h(x) y fz(x). Si las
funciones son linealmente dependientes en un intervalo, existen constantes, CI y ~2, que no son
cero a la vez, tales que, para toda x en el intervalo, clfl(x) + c&(x) = 0; por consiguiente, si
suponemos que CI f 0, entonces
c
ji(x) = - $iw;
esto es, si dos funciones son linealmente dependientes, entonces una es un múltiplo constante
de la otra. Al revés, sifi(x) = c*&(x) para alguna constante CZ, entonces
(-1) .fi(x) + c2.f!44 = 0
para toda x en algún intervalo. Así, las funciones son linealmente dependientes porque al menos
una de las constantes no es cero (en este caso CI = -1). Llegamos a la conclusión de que dos
funciones son linealmente independientes cuando ninguna es múltiplo constante de la otra en
un intervalo. Por ejemplo, las funciones f,(x) = sen 2x y yi = sen x cos x son linealmente
dependientes en (--, -) porquefi(x) es múltiplo constante defi(x). Con base en la fórmula de
doble ángulo para el seno, recuérdese que sen 2x = 2 sen x cos x. Por otro lado, las funciones
fl(x) = x yfi(x) = 1x1 son linealmente independientes en (-, -). Al ver la figura 4.3 el lector
se debe convencer de que ninguna de las funciones es un múltiplo constante de la otra, en el
intervalo.
(W
FIGURA 4.
De lo anterior se concluye que el cocientef2(x)/fl(x) no es constante en un intervalo en que
A(x) yfz(x) son linealmente independientes. En la siguiente sección utilizaremos este detalle.
Sección 4.1 Teoría preliminar: ecuaciones lineales 121
I
Critario para soluciones linealmente independientes
sean n soluciones,y~ ,y2,.. ., yn, de la ecuación diferencial (6), lineal, homog&rea y de orden
n, en un intervalo 1. Entonces, el conjunto de soluciones es linealmente independiente en I
si y ~610 si
4% Y2, *- * ,Yn)+O
para toda x en el intervalo.
De acuerdo con el teorema 4.3, cuandoyr,yz,.
. ., yn son n soluciones de (6) en un intervalo
I, el wronskiano W(y1, ~2,.. .,
y,) es idéntico a cero o nunca cero en el intervalo.
Un conjunto de n soluciones linealmente independientes de una ecuación diferencial lineal
homogénea de orden n tiene un nombre especial.
Conjunto fundamental de soluciones
Todo conjunto yl, ~2,.. ., y,, de n soluciones linealmente independientes de la ecuaci6n
diferencial lineal homogénea de orden n, ecuación (6), en un intervalo 1, se llama conjunta
fundamental de soluciones en el intervalo.
El asunto básico de si existe un conjunto fundamental de soluciones de una ecuación lineal
se contesta con el siguiente teorema.
Existencia de un conjunto fundamental
Existe un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial lineal homogenea
de orden n, (6), en un intervalo 1.
Así como cualquier vector en tres dimensiones se puede expresar en forma de una
combinación lineal de los vectores i, j, k, linealmente independientes, toda solución de
una ecuación diferencial lineal homogénea y de orden n, en un intervalo Z, se puede expresar
como una combinación lineal de n soluciones linealmente independientes en Z. En otras
palabras, n soluciones linealmente independientes (,vr , ~2,.. ., y,J son las unidades constructivas
básicas de la solución general de la ecuación.
Soluci6n general, ecuaciones homogéneas
Seww2,.. .,
y,, un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial lineal
homogénea de orden n, (6), en un intervalo 1. La solución general de la ecuación en el
intervalo es
y = ClJo) + C2Y2c4 +... + W”(X),
dondeci, i= 1,2,.. ., n son constantes arbitrarias.
1 2 2 CAPíTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
El teorema 4.5 establece que si Y(x) es cualquier solución de (6) en el intervalo, siempre
se pueden determinar las constantes Cr, C2,.. ., C,, de tal modo que
Y(x) = Cly&) + C&x) +... + C f l n ( x ).
A continuación demostraremos el caso cuando n = 2.
DEMOSTRACIÓN Sea Y una solución y seanyr y y2 soluciones linealmente independientes de
g y” + UI y’ + soy = 0 en un intervalo 1. Supongamos que x = t es un punto en 1 para el que
W(yr(t), yz(l)) f 0. Consideremos, también, que Y(r) = Kr y que Y’(t) = K2. Si examinamos las
ecuaciones
GYl(4 + GY2(f) = kl
Gy;W + Gy;(f) = kz>
veremos que podemos determinar CI y C2 en forma única, siempre que el determinante de los
coeficientes satisfaga
x(t) YzO)
I 1
0.
Yi(O YW
Pero este determinante no es más que el wronskiano evaluado en x = t, y, por hipótesis, W+ 0.
Si definimos G(x) = Cryr(x) + C&X), veremos que i) G(x) satisface la ecuación diferencial
porque es una superposición de dos soluciones conocidas, ii) G(x) satisface las condiciones
iniciales
G(t) = C,y&) + GY&) = kl
G’(t) = Cly; + G y ;(t) = kz;
iii) Y(x) satisface Za misma ecuación lineal y Zus mismas condiciones iniciales. Como la
solución de este problema lineal de valor inicial es única (teorema 4. l), entonces Y(x) = G(x),
o bien Y(x) = Cryr(x) + C&x). n
S o l u c i ó n g e n e r a l d e u n a e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l h o m o g é n e a
Las funciones yr = e3”yyz = eT3’ son soluciones de la ecuación lineal homogénea/’ - 9y = 0
en el intervalo (-, -). P or inspección, las soluciones son linealmente independientes en
todos los reales o en todo R. Podemos corroborar esto al observar que el wronskiano
e 3 x
e-3*
W(e 3 x, ee 3 X) =
3 e 3 ”
-3e-3*
=- 6 # 0
para toda x. Llegamos a la conclusión de que yr y ~3 forman un conjunto fundamental de
soluciones y, en consecuencia,
y = cle3’ + c2ee3’
es la solución general de la ecuación en el intervalo. w
124 CAPíTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
1
Solución general, ecuaciones no homogbas
Sea y,, cualquier solución particular de la ecuacibn diferenciai lineal, no homogénea, de
orden n, ecuacion (7), en un intervalo 1, y sean yr,‘y2,.. ., yn un conjunto fundanlental
de soluciones de la ecuación diferencial homogénea asociada (6), en 1. Entonces, la solucián
general de la ecuación en el intervalo es
y = ClyI(X) + c2yz(x) + * '. + cnyfI(x) + yp,
en donde las ci, i = 1,2,... , n son constantes arbitrarías.
DEMOSTRACIÓN Sea L el operador diferencial definido en (8) y sean Y(x) y y&) soluciones
particulares de la ecuación no homogénea L(y) = g(x). Si definimos u(x) = Y(x) - y&), por la
linealidad de L se debe cumplir
Uu) = Jw(4 - yp(4>= W(x)) - ~(Y,W = g(x) - g(x) = 0.
Esto demuestra que u(x) es una solución de la ecuación homogénea L(y) = 0; por consiguiente,
según el teorema 4.5, u(x) = CV,(X) + c~yz(x) +. + cny,( y así
Y(x) - Y,(X) = ClY&) + CzY2(X) + - * * + C”Y&)
0 sea
Y(x) _= ClY, + czy(x) + * * * + c,y,(x) + y,(x)._*
n
Función complementaria En el teorema 4.6 vemos, que la solución general de una
ecuación lineal no homogénea consiste en la suma de dos funciones:
y = GY&) + C2Y2(4 + * -
* + cnyn(x) + y,(x) = ydx) + yp(x).
La combinación lineal yC = c~yt(x) + czyz(x) +... + cnyn(x), que es la solución general de
(6), se llama función complementaria para la ecuación (7). En otras palabras,.para resolver
una ecuación diferencial lineal no homogénea primero se resuelve la ecuación homogénea
asociada y luego se determina cualquier solución particular de la ecuación no homogénea. La
solución general de la ecuación no homogénea es, entonces,
y = función complementaria + cualquier solución particular.
Solución general de una ecuación diferencial no homogénea
Se demuestra fácilmente por sustitución que la función yp = - { - $x es una solución
particular de la ecuación no homogénea
d3y
d;j-6~+II$6y=3x.
(11)
Para llegar a la solución general de (1 l), también debemos resolver la ecuación homogénea
asociada
Sección 4.1 Teoría preliminar: ecuaciones lineales 125
Pero en el ejemplo 9 vimos, que la solución general de esta última ecuación era yc = cre’ +
czf? + cse3’ en el intervalo ( -00, -); por lo tanto, la solución general de (ll) en el intervalo es
ll 1
y = y, + y, = clex + c2ez’ + c3e+- - - -x.
Otro principio de superposición El último teorema en esta discusión nos será útil en
la sección 4.4, cuando estudiemos un método para determinar soluciones particulares de
ecuaciones no homogéneas.
Principio de sqetpsici6n, ecuackmes M) hamogkWaS
Sean k soluciones particulares, ypz ypll,.. ., ym de la ecuacion (7), diferencial lineal no
homogénea de orden n, en el interwlo I que, a su vez, corresponden a k funciones dWitas,
gt,gz, * ’ *,
gk. Esto es, supongamos queyp, representa una sohrción particuk de la ecuati6n
diferencial correspondiente
u,(x)y@’ + u,. *(x)y@- ‘f +. - *+ al (x)y’ + uo(x)y = gdx),
en donde i = 1,2,.. ., k. Entonces
Yp = Yp,W + Yp&9 f ’ **+ Y&)
es una soluci6n particular de
u,(x)y@’ + u, - ,(x)y@ - l) +.. *+ ar(x)y’ + u&)y
= gdx) + gzw + *. *+ gkm.
DEMOSTRACIÓN Probaremos el caso en que k = 2. Sea L el operador diferencial definido en
(8) y sean y&) y y,,,(x) soluciones particulares de las ecuaciones no homogéneas L(y) = g](x)
y L(y) = gz(x), respectivamente. Si definimos y, = y&) + yp,(x), demostraremos que y,, es una
solución particular de L(y) = gr(x) + gz(x). De nuevo, el resultado, es consecuencia de la
linealidad del operador L:
Superposición, ecuaciones diferenciales no homogéneas
El lector debe comprobar que
y,,, = -42 es una solución particular dey” - 3y’ + 4y = -16x2 + 24x - 8,
yp2 = e
2x
es una solución particular dey” - 3y’ + 4y = 2e”
Yp, = xf?
es una solución particular de y” - 3y’ + 4y = 2x8 - e’
Sección 4.1 Teoría preliminar: ecuaciones lineales 1 2 7
Para que un sistema dinámico sea sistema lineal, se necesita que el principio de superpo-
sición, teorema 4.7, sea válido en él; o sea, que la respuesta del sistema a una superposición
de entradas sea una superposición de salidas. Ya examinamos algunos sistemas lineales
sencillos en la sección 3.1 (ecuaciones lineales de primer orden); en la sección 5.1 examinare-
mos los sistemas lineales para los cuales los modelos matemáticos son ecuaciones diferenciales
de segundo orden.
- 4.1‘
- Dado que y = cle’ + cze-* es una familia a dos parhmetros de soluciones de y” - y = 0 en
el intervalo (-00, -), determine un miembro de la familia que satisfaga las condiciones
iniciales y(O) = 0, y’(O) = 1.
- Determine una solución de la ecuación diferencial del problema 1 que satisfaga las
condiciones en la fkontera y(O) = 0, y(l) = 1.
- Dado que y = cI eAr + czeTX es una familia a dos parámetros de soluciones dey” - 3y’ - 4y = 0
en el intervalo (-OD, -), determine un miembro de la familia que satisfaga las condiciones
iniciales y(O) = 1, y’(O) = 2.
- Dado que y = CI + c2 cos x + c3 sen x es una familia a tres parhetros de soluciones de
y”’ + y’ = 0 en el intervalo ( -00, -), defina un miembro de la familia que cumpla las
condiciones iniciales y(7r) = 0, y’(n) = 2, y”(7r) = -1.
- Como y = CIX + czx ln x es una familia a dos parámetros de soluciones de x2y” - xy’ + y = 0
en el intervalo (-, -), determine un miembro de la familia que satisfaga las condiciones
inicialesy(1) = 3,y’(l) = -1.
- Puesto que y = CI + ~2x2 es una familia a dos parámetros de soluciones de xY” - y’ = 0 en
el intervalo (-, -), demuestre que las constantes cl y CL no pueden ser tales que un
miembro de la familia cumpla las condiciones iniciales y(O) = 0, y’(O) = 1. Explique por
qué lo anterior no contradice al teorema 4.1.
- Determine dos miembros de la familia de soluciones de xy” - y’ = 0, del problema 6, que
satisfagan las condiciones iniciales y(O) = 0, y’(O) = 0.
- Halle un miembro de la familia de soluciones a xy” - y’ = 0 del problema 6, que satisfaga
las condiciones a la ffonteray(0) = 1, y’(l) = 6. ¿El teorema 4.1 garantiza que esta solución
sea única?
- Puesto que y = cle” cos x + C# sen x es una familia a dos parámetros de soluciones de
y” -
2y’ + 2y = 0 en el intervalo (--, -), determine si es posible que un miembro de la
familia pueda satisfacer las siguientes condiciones en la contera:
a) y(O) = 1, y’(O) = 0 b) y(O) = 1, Y(T) = -
d)y(O)= 0, Y(T)= 0.
10. En virtud de iue; = c,x2 + c2x4 + 3 es una familia a dos parámetros de soluciones de
x2y” - 5xy’ + 8y = 24, en el intervalo (-=, -), determine si es posible que un miembro de la
familia satisfaga estas condiciones en la frontera:
a) y(-1) = 0, y(l) = 4
b)y(O) = 1, YU) = 2
c)y(O)=3, y(l)=
d)y(l) = 3, ~(2) = 15.
1 2 8 CAPíTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
En los problemas 11 y 12, defina un intervalo que abarque x = 0 para el cual el problema de
valor inicial correspondiente tenga solución única.
ll. (x - 2)y”+ 3y =x, y(O)= 0, y’(O)= 1
12.y”+(tanx)y= e’, y(O)= 1, y’(O)= 0
- En vista de que x = cr cos wt + c2 sen wt es una familia a dos parámetros de soluciones de
x” + Jx = 0 en el intervalo (--, -), demuestre que una solución que cumple las
condiciones iniciales x(O) = XO, x’(O) = xr es
X ( t ) = x0 COS wt + z s e n w t.
- Use la familia a dos parámetros x = cl cos wt + c2 sen wt para probar que una solución de
la ecuación diferencial que satisface x(h) = XO, x’(h) = x1 es la solución del problema
de valor inicial en el “problema 13”, desplazada o recorrida la cantidad to:
x(t) = x. cos w(t - to) + z sen w(t - ro).
- 4.1.
En los problemas 15 a 22 compruebe si las funciones respectivas son linealmente inde-
pendientes o dependientes en (-, w).
15. fi(X) = x, f(x) = x2, fj(X) = 4x - 3xy*
- h(x) = 0, h(x) = x, h(x) = ex 17. fi(x) = 5, f(x) = cos2x, f3(x) =senx
- J(x) = cos 2x, h(x) =** 1, h(x) = cosx 19. fi(x) = x, f(x) = x - 1, f3(x) = x + 3 20. fi(x) = 2 + x, fi(x) = 2 + 1x 21. fi(X) = 1 + x,
fz(x) = x, ji(x) = ir
- fi(x) = ex, f*(x) = emx, f3(x) = senh x
En los problemas 23 a 30 compruebe que las funciones dadas forman un conjunto fundamental
de soluciones de la ecuación diferencial en el intervalo indicado. Forme la solución general.
- y” - y’ - 12y = 0; em3*, e4x, (-m, m)
- y” - 4y = 0; cosh 2x, senh 2x, (- m, m)
- y” - 2y’ + 5y = 0; ex cos 2x. e”sen2x, (-m, m)
- 4~” - 4y’ + y = 0; ex’, xex’, (- m, m)
- x*y” - 6xy’ + 12~ = 0; x3, x4, (0, m)
- x2y” + xy’ + y = 0; cos(ln x),sen(ln x), (0, m)
- x3y”’ + 6xy” + 4xy’ - 4y = 0; x, x-, xm2 In x, (0, m)
- yc4) + y” = 0; l,x,cosx,senx, (-03, m)
Problemas paro discusión
- a) Compruebe que yl = x3 y y2 = lxl3 son soluciones linealmente independientes de la
ecuación diferencial x’y” - 4xy’ + 6y = 0 en el intervalo (-, -).
b) Demuestre que W(y,, y2) = 0 para todo numero real x. LEste resultado contradice el
teorema 4.3? Explique su respuesta.
130 CAPíTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
REDUCCbN DE ORDEN
n Reducción de una ecuación diferencial de segundo orden a una de primer orden
W Forma reducida de una ecuación dijèrencial lineal homogénea de segundo orden
Uno de los hechos matemáticos más interesantes al estudiar ecuaciones diferenciales lineales
de segundo orden es que podemos formar una segunda solución, yz, de
al(x + q(x)y’ + a()(x)y = 0 (1)
en un intervalo Z a partir de una solución yr no trivial. Buscamos una segunda solución, y&),
de la ecuación (1) tal que yr y y2 sean lineahnente independientes en Z. Recordemos que si y
y y2 son lineahnente independientes, su relacióny2/yr es no constante en r; esto es, yz/y~= u(x)
o yz = u(x)yl(x). La idea es determinar la función u(x) sustituyendo yz(x) = u(x)yr(x) en la
ecuación diferencial dada. Este método se llama reducción de orden porque debemos resolver
una ecuación lineal de primer orden para hallar ü.
Segunda solución por reducción de orden
Si yt = e” es una solución dey” -y = 0 en el intervalo (-00, -), aplique la reducción de orden
para determinar una segunda solución, ~2.
S O L U C I Ó N Si y = u(x)yr(x) = u(x) según la regla del producto
y’ = uex + exu’, y’ = ue” + 2e*u’ + e”u”,
\
y así
y” - y = ex(u” + 2~‘) = 0.
Puesto que e” # 0, para esta ultima ecuación se requiere que u” + 2~’ = 0. Al efectuar la
sustitución w = u’, esta ecuacrón lineal de segundo orden en ZJ se transforma en w’ + 2w = 0,
una ecuación lineal de primer orden en w. Usamos el factor integrante eti y así podemos
escribir
-$ [e*Xw] = 0.
Despues de integrar se obtiene w = creT2’, o sea que u’ = cte-&. Integramos de nuevo y
llegamos a
U=--e c1 -2x+C2.
2
Por consiguiente, y = u(x)@ =
2 e X + c2eX.
(2)
Al elegir c2 = 0 y cl = -2 obtenemos la segunda solución que buscábamos, yz = e-‘. Dado
que W(eX, e”) # 0 para toda x, las soluciones son lineahnente independientes en (--, -). W
L.
Sección 4.2 Reducción de orden 131
Como hemos demostrado que yt = e” y y2 = e
-’ son soluciones linealmente independientes
de una ecuación lineal de segundo orden, la ecuación (2) es la solución general de y” - y = 0
en (--, -).
Caso general Si dividimos por uz(x) para llevar la ecuación (1) a la forma estándar
y” + P(x)y’ + Q(x)y = 0, (3)
en donde P(x) y Q(x) son continuas en algún intervalo 1. Supóngase, ademas, que yl(x) es una
solución conocida de (3) en I y que JJ~(X) # 0 para toda x en el intervalo. Si definimos que y =
u(x)yt(x), entonces
y’ = uy; + y,u’,
y” = uy; + 2y;zd + y&
y” + Py’ + Qy = u[y; + Py; + Qyl] + yg” + (2~; + Pyl)u’ = 0.
\
Y
/
cero
Para lo anterior se debe cumplir
yd + (2yi + zJy,)u’ = 0 0 sea y~w’ + (2yi + Pyl)w = 0, (4)
en donde hemos igualado w = u’. Observese que la última de las ecuaciones (4) es lineal y
separable, a la vez. Al separar las variables e integrar obtenemos
~+2~dx+mx=o
W
lnlwylq = - pdx + c 0 sea
wy? = qe-‘Pd’.
De la última ecuación despejamos w, regresamos a w = u’ e integramos de nuevo:
f
e-SPdx
u = Cl -d.x+ c2.
Y
Si elegimos ct = 1 y c2 = 0, vemos en y = u(x)yr(x) que una segunda solución de la ecuación
(3) es
(5)
Un buen repaso de la derivación sera comprobar que la furici6n y&) definida en la ecuación
(5) satisface la ecuación (3) y que yt y yz son lineahnente independientes en cualquier intervalo
en que yt no sea cero. Vease el problema 29, de los ejercicios 4.2.
Segunda solución con la fórmula (5)
La función yt = xz es una solución de gy” - 3xy’ + 4y = 0. Determine la solución general
en el intervalo (0, -).
