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como resolver ecuaciones diferenciales
Tipo: Ejercicios
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Uno de los problemas del que se ocuparon los matemáticos del siglo XVIII es el que se conoce con el nombre del “problema de la cuerda vibrante”. Este problema fue estudiado por d’Alembert y Euler (usando el método de propagación de las ondas) y un poco más tarde, concretamente en 1.753, por Daniel Bernoulli. La solución dada por ´este difería de la proporcionada por los anteriores y consistió básicamente en expresar la solución del problema como superposición (en general infinita) de ondas sencillas. Las ideas de Bernoulli fueron aplicadas y perfeccionadas por Fourier, en 1.807, en el estudio de problemas relacionados con la conducción del calor. Quedaron plasmadas por escrito en el libro clásico “Théorie analytique de la Chaleur”, publicado en 1.822. Los razonamientos realizados por Fourier en este libro plantearon de manera inmediata numerosas controversias y cuestiones que han tenido una influencia significativa en la historia de la Matemática. En esta pequeña investigación se dará a conocer 3 temas, primero está la teoría preliminar en la cual se da una breve descripción sobre si funcionamiento, más adelante se encuentra las “Series de Fourier”, en esta parte se describe la definición, función de las Series de Fourier, por ultimo se encuentra el último tema el cual es las series de Fourier en cosenos, senos y de medio intervalo, dentro de este tema se encuentran otros subtemas entre los cuales está la extensión a un periodo, la extensión al eje real, y la demostración de las series de Fourier en senos y cosenos. Luego están las conclusiones en la que explicamos para que nos sirven las series de Fourier, y por último están las referencias en las que nos basamos para hacer la investigación.
Son aquellas derivadas que se realizan a una función que contiene varias variables considerando únicamente a una literal como variable y el resto se considera constantes. Sea una función de dos variables z = f (x, y), se definen las derivadas parciales: (Una definición obvia si la comparamos con la derivada de una función de una variable) Para la derivada de z "respecto de x" consideramos a la variable "y" como si fuera una constante, mientras que al hacer la derivada de z "respecto de y" consideramos a la variable "x" como si fuera constante. Veamos, como ejemplo, las dos derivadas parciales de la función: : Para ello recordemos que la derivada de la función z = eu es: z’ = u’. eu , siendo u en nuestro caso: x2 + y2 , entonces la derivada de u respecto x es 2x (con la y constante), mientras que la derivada de u respecto y es 2y (con la x constante). Así tenemos: Otras formas de expresar la derivada de la función z = f(x,y) con respecto a x son:
Por ejemplo, las derivadas y la diferencial en el punto P(1, 2) se calculan sustituyendo x=1, y=2. Para la función las derivadas en el punto P(1, 2) son: y la diferencial en ese punto: Derivadas parciales de segundo orden Sea una función de dos variables z = f (x, y). En principio tenemos cuatro derivadas de segundo orden: (se debe leer “derivada segunda de z respecto de x dos veces", "derivada segunda de z respecto de x-y", etc.) Estas derivadas vienen definidas de la siguiente manera: Se trata de derivar respecto de x la derivada. Se trata de derivar respecto a x la derivada. Se trata de derivar respecto a y la derivada. Se trata de derivar respecto a y la derivada.
Siguiendo con nuestro ejemplo, calculemos estas derivadas para la función : Las derivadas son llamadas "derivadas mixtas", obsérvese en el ejemplo cómo estas derivadas son iguales, lo cual no es una coincidencia sino el resultado de un teorema que vamos a pasar a ver.
Sea una función de una variable real. Supongamos que dicha función es integrable en un determinado intervalo de longitud T. Se define la serie de Fourier de como: donde: es la frecuencia fundamental. Se llaman Coeficientes de Fourier a:. Hay que tener en cuenta que tanto como hacen referencia a infinitos términos ya que como se ve en la expresión de la Serie de Fourier el sumatorio va desde 1 hasta n. Parece obvio que una vez conozcamos los coeficientes de Fourier ya estaremos en disposición de poder construir la serie de Fourier de la función.
Dada una función en el intervalo [0, p], los desarrollos de Fourier de senos o de cosenos permiten extender a todo el eje real la función como una función 2p- periódica, con simetría impar o par en un periodo. Extensión a un periodo Dada una función acotada en [0,p], podemos definir su extensión par a [−p,p] fp(x)={f(−x)f(x)sisix∈[−p,0]x∈[0,p] su extensión impar a [−p,p] fi(x)={−f(−x)f(x)sisix∈[−p,0]x∈[0,p] Extensión a todo el eje real Si ahora las funciones fp(x) y fi(x) definidas antes se extienden a todo el eje real como funciones 2p-periódicas, sus desarrollos son: Desarrollo de f(x) en serie de Fourier de cosenos fp(x)=a02+∑n=1∞ancosnwx , w=πp
an=2p∫p0f(x)cosnwxdx , n=0,1,… Desarrollo de f(x) en serie de Fourier de senos fi(x)=∑n=1∞bnsennwx , w=πp bn=2p∫p0f(x)sennwxdx , n=1,2,…
Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una función periódica y continua a trozos (o por partes). Las series de Fourier constituyen la herramienta matemática básica del análisis de Fourier empleado para analizar funciones periódicas a través de la descomposición de dicha función en una suma infinita de funciones sinusoidales mucho más simples (como combinación de senos y cosenos con frecuencias enteras). El nombre se debe al matemático francés Jean- Baptiste Joseph Fourier, que desarrolló la teoría cuando estudiaba la ecuación del calor. Fue el primero que estudió tales series sistemáticamente, y publicó sus resultados iniciales en 1807 y 1811. Esta área de investigación se llama algunas veces análisis armónico. Es una aplicación usada en muchas ramas de la ingeniería, además de ser una herramienta sumamente útil en la teoría matemática abstracta. Sus áreas de aplicación incluyen análisis vibratorio, acústica, óptica, procesamiento de imágenes y señales, y compresión de datos. En ingeniería, para el caso de los sistemas de telecomunicaciones, y a través del uso de los componentes espectrales de frecuencia de una señal dada, se puede optimizar el diseño de un sistema para la señal portadora del mismo.
Es de gran importancia considerar la aplicación de las series de Fourier, ya que estas sirven mucho en el procesamiento digital de señales, la cual es un área de las ciencias e ingeniería que se ha desarrollado rápidamente en lo ultimo 30 años. Este
