ECUACIONES DIFERENCIALES APLICADAS A LA INGENIERÍA- GRUPO N°8, Apuntes de Cálculo

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GRUPO 8

ECUACIONES

DIFERENCIALES

APLICADAS A LA

INGENIERÍA

EAP. INGENIERÍA

DE SEGURIDAD Y

SALUD EN EL

TRABAJO

A P L I C A D A A L A I N G E N I E R Í A – G R U P O 8 ]

CÁLCULO III

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE

SAN MARCOS

(Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA)

FACULTAD DE INGENIERIA INDUSTRIAL

T R A B A J O D E I N V E S T I G A C I Ó N

E C U A C I O N E S

D I F E R E N C I A L E S

A P L I C A D A A L A

I N G E N I E R Í A

Curso:

CÁLCULO 3

Docente:

Gálvez Pérez, Humberto

Integrantes:

Guerreros Jáuregui, Mariluz 18170320

Palacios Celestino, Katherine Isabel 18170326

Trujillo Amaya, Brandom Luis 18170333

A P L I C A D A A L A I N G E N I E R Í A – G R U P O 8 ]

CÁLCULO III

1. I N T R O D U C C I Ó N

El propósito del presente trabajo es para tener en cuenta con mayor profundidad las

ecuaciones diferenciales, en ejercicios aplicados esencialmente a los temas que conciernen en

el campo de las ingenierías.

Las ecuaciones diferenciales son una parte muy importante del análisis matemático y

modelan innumerables procesos de la vida real. Una ecuación diferencial es una relación

válida en cierto intervalo, entre una variable y sus derivadas sucesivas. Su resolución permite

estudiar las características de los sistemas que modelan y una misma ecuación puede

describir procesos correspondientes a diversas disciplinas.

Las ecuaciones diferenciales tienen numerosas aplicaciones a la ciencia y a la ingeniería,

de modo que los esfuerzos de los científicos se dirigieron en un principio, a la búsqueda de

métodos de resolución y de expresión de las soluciones en forma adecuada; de este modo, los

primeros métodos de resolución fueron los algebraicos y los numéricos. Los primeros

permiten expresar la solución en forma exacta, como y = f (x), una función de la variable

independiente, y los segundos tienen como objetivo calcular valores que toma la solución en

una serie de puntos. Al conjunto de estos valores se lo denomina cálculos numéricos.

La gran mayoría de las ecuaciones diferenciales no puede ser resuelta satisfactoriamente

en forma exacta. Por otra parte, la implementación de técnicas numéricas eficientes requiere

previamente el estudio cualitativo de las soluciones. Asimismo, los métodos numéricos, si

bien son eficaces para aportar una solución aproximada de algún problema específico, no

resultan adecuados para la discusión global del conjunto de todas las soluciones. Las

ecuaciones diferenciales constituyen una mínima parte de los programas de cálculo en

carreras de ingeniería, y su enseñanza se limita, en muchos casos, al marco algebraico.

Este trabajo logrará demostrar la aplicamos las ecuaciones diferenciales en solucionar

problemas en la ingeniería, los profesionales de las carreras de ingeniería por conocimientos

básicos deben saber en qué instantes usarlos y resolver las ecuaciones diferenciales dando

resultados exactos y precisos.

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CÁLCULO III

2. O B J E T I V O S

2. 1. O B J E T I V O G E N E R A L

 Analizar la importancia de las ecuaciones diferenciales en la aplicación de las

ingenierías.

2. 2. O B J E T I V O S E S P E C Í F I C O S

 Conocer la trascendencia histórica de las ecuaciones diferenciales.

 Analizar los tipos de ecuaciones diferenciales, así como su método numérico de

resolución.

 Demostrar cómo las ecuaciones diferenciales pueden ser útiles en la solución de

varios tipos de problemas en la ingeniería.

 Identificar las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales en la ingeniería.

3. M A R C O T E Ó R I C O

3. 1. D E F I N I C I Ó N D E T É R M I N O S

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CÁLCULO III

vida profesional a este menester se conocen con el nombre de ingenieros.

3. 2. B R E V E R E S E Ñ A H I S T Ó R I C A D E L A S E C U A C I O N E S

D I F E R E N C I A L E S

Las ecuaciones diferenciales ordinarias comienzan con el nacimiento del cálculo de Isaac

Newton (1643-1727) y Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), quienes iniciaron el estudio

del problema inverso de la diferenciación: dada una relación entre dos cantidades y sus

diferenciales (o fluxiones), cómo encontrar una relación entre las cantidades (o fluentes). Sin

embargo, este problema analítico de la integración de ecuaciones diferenciales de orden

corresponde a un problema geométrico formulado con anterioridad: el método inverso de

tangentes; esto es, cómo encontrar una curva caracterizada por una propiedad dada de sus

tangentes.

Utilizando expansiones de expresiones en series de potencias, Newton mostró que el

problema inverso de las tangentes era totalmente soluble. Leibniz, sin embargo, expresando

su deseo de lograr soluciones dando la naturaleza de las curvas, no estaba satisfecho con el

sistemático uso de series y pensaba que, hablando de forma general, no había suficiente

conocimiento todavía acerca del método inverso de las tangentes. Su procedimiento fue

esencialmente cambiar variables para intentar transformar la ecuación diferencial dada en una

ecuación con variables separables: f ( x ) dx = g ( y ) dy f pues su solución se obtenía

inmediatamente por cuadraturas.

1

Incluso, antes de comenzar el siglo XVIII, los trabajos de,

especialmente, Gottfried Wilhlm Leibniz, Jacob Bernoulli (1654-1705) y Johann

Bernoulli (1667-1748) llevaron hacia la integración (reducción a cuadraturas) de ecuaciones

diferenciales homogéneas y de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.

Varios problemas geométricos y mecánicos, provocaron que los matemáticos

comenzaran a pensar acerca de las ecuaciones diferenciales de orden mayor que uno. Este es

el caso de Jacopo Riccati (1676-1754) quien presentó en 1723 la ecuación que lleva su

nombre: x

m

d

2

x = d

2

y + d y

2

resuelta por Daniel Bernoulli (1700-1782) y Leonhard Euler.

Las bases de la teoría general de la ecuación diferencial lineal de orden n con coeficientes

variables fueron desarrolladas en 1765 por Joseph Louis Lagrange (1736-1813) y Jean le

Rond D'Alembert (1717-1783). Usando dos métodos diferentes, mostraron que n integrales

particulares de la ecuación homogénea determinan la integral completa de la ecuación no

homogénea a través de n cuadraturas. En 1776, Lagrange nota que este resultado puede

también ser demostrado usando el método de variación de la constante, que se convirtió en el

método general más utilizado.

El estudio y resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales tuvo un gran impulso con

las ideas de Lagrange a quien se le debe la aplicación del método de variación de parámetro a

un sistema de tres ecuaciones de segundo orden en 1808.

3. 3. T I P O S D E E C U A C I O N E S D I F E R E N C I A L E S

A P L I C A D A A L A I N G E N I E R Í A – G R U P O 8 ]

CÁLCULO III

 Ecuaciones diferenciales ordinarias

Son aquellas que contienen derivadas con respecto a una sola variable independiente.

 Ecuaciones en derivadas parciales

Aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables.

 Ecuaciones diferenciales lineales

Cuando sus soluciones pueden obtenerse a partir de combinaciones lineales de otras

soluciones. Si es lineal, la ecuación diferencial tiene sus derivadas con máxima potencia de 1

y no existen términos en donde haya productos entre la función desconocida y/o sus

derivadas.

 Ecuaciones diferenciales no lineales

Las ecuaciones diferenciales no lineales suelen aparecer por medio de aproximaciones a

ecuaciones lineales. Estas aproximaciones son válidas únicamente bajo condiciones

restringidas. Por ejemplo, la ecuación del oscilador armónico es una aproximación de la

ecuación no lineal de un péndulo que es válida para pequeñas amplitudes de oscilación.

 Ecuaciones semilineales y cuasilineales

Una ecuación diferencial ordinaria de orden n se llama cuasilineal si es "lineal" en la derivada

de orden n.

3. 4. M É T O D O S N Ú M E R I C O S P A R A L A R E S O L U C I Ó N D E

E C U A C I O N E S D I F E R E N C I A L E S

Estos métodos surgen a partir de la dificultad de hallar las soluciones en las ecuaciones

diferenciales de manera analítica.

Por ello hay ciertos métodos numéricos que permiten calcular, con el grado de exactitud que

se desee la solución numérica de todas las ecuaciones diferenciales de primer orden con una

condición dada. Dichos métodos se pueden aplicar independientemente de que la ecuación

sea o no integrable analíticamente.

Los métodos numéricos más usados son el método de Euler, el método de Euler modificado y

el método de Runge-Kutta.

3.4.1. Método de Euler

Gracia (2008) define que método de Euler consiste en encontrar iterativamente la solución de

una ecuación diferencial de primer orden y valores iniciales conocidos por un rango de

valores. Partiendo de un valor inicial

x

0

y avanzando con un paso h , se pueden obtener los

valores de la solución de la siguiente manera:

Y k + 1

= Y

k

• h ∙ f ( x

k

, Y

k

)

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CÁLCULO III

mueve (se deforma) en forma continua al transcurrir el tiempo, t , y forma un todo continuo

en el espacio

x =

(

x

1

, x

2

, x

3

). Cuando nos referimos a ellos, estaremos haciendo aludiendo a

los gases y líquidos.

Las soluciones de las ecuaciones de Navier-Stokes nos dicen cómo varía el fluido con el

tiempo, la densidad, la velocidad y la presión en cada punto del espacio en el que yace. Su

complejidad es tal, que hasta ahora, se tiene muy poca información sobre su comportamiento

y su comprensión forma parte de uno de los siete problemas del milenio.

“La complejidad que entraña interpretar la información codificada en estas soluciones, y la

utilidad que tendría el conseguirlo, hacen que se lleve a cabo una intensa investigación en

matemáticas en el campo de las ecuaciones de los fluidos.” (Narváez, 2013).

Para resolver estas ecuaciones se suele plantear a través de modelos matemáticos. Existe un

sinfín del campo de estudio para la mecánica y dinámica del fluido que engloba esta ecuación

y no se limita solo a fenómenos hidrológicos, meteorológicos u oceanográficos, también se

involucra en procesos de industrias como la de hidrocarburos, sanitaria, hidráulica,

hidroeléctrica, química entre otras.

4.1.1.2. Descripción

La ecuación de Navier-Stokes se deriva de dos principios fundamentales: El de Conservación

de la masa y Conservación de la Cantidad de Movimiento en un Volumen de Control

infinitesimal que se expresarán a continuación.

Ecuación de Continuidad de la masa

∇ ∙

⃗

V = 0

Ecuación del Momentum lineal (2da Ley de Newton)

ρ

D

⃗

V

Dt

=− ∇ P +

⃗

F + μ ∇

2

⃗

V

Siendo:

ρ : densidad

μ : viscosidad

P : campo escalar de presión

Gradiente :

∇ =

∂

∂ x

1

e ^

1

∂

∂ x

2

e ^

2

∂

∂ x

3

e ^

3

e ^ : expresión correspondiente enla direcciónindicada

Campo vectorial de la velocidad :

⃗

V = U ^ e

x 1

• V ^ e

x 2

• W e ^

x 3

e ^ : expresión correspondiente enla direcciónindicada

A P L I C A D A A L A I N G E N I E R Í A – G R U P O 8 ]

CÁLCULO III

Campo vectorial de la velocidad :

⃗

V = F

x

1

e ^

x

1

• F

x

1

e ^

x

2

• F

x

1

e ^

x

3

e ^ : expresión correspondiente enla direcciónindicada

Debido a la complejidad en la obtención de resultados (recordando que estos varían acorde al

tiempo constantemente) se suele utilizar el método de elementos finitos (FEM) que suele

aplicarse a las ecuaciones diferenciales.

El proceso obtiene un sistema de ecuaciones simultáneas, independientemente de que sean

lineales o no líneas y de cualquier fenómeno físico que se trate.

{

ρ

d

⃗

V

dt

− μ ∇

2

⃗

V + ∇ P =

⃗

F

∇ ∙

⃗ V = 0

4.1.1.3. Enunciado

La ecuación de Navier-Stokes expresada vectorialmente se representa de la siguiente manera:

ρ

D

⃗

V

Dt

=− ∇ P + μ ∇

2

⃗

V + ρ ⃗ g

Que se puede extender de la siguiente forma

ρ

Du

Dt

=

− ∂ p

∂ x

• μ ∇

2

u + ρ ⃗ g

x

ρ

Dv

Dt

=

− ∂ p

∂ y

• μ ∇

2

v + ρ ⃗ g

y

ρ

Dw

Dt

=

− ∂ p

∂ z

• μ ∇

2

w + ρ ⃗ g

z

Recordando que esta ecuación solo aplica para fluidos con viscosidad constante , hay

expresiones aún más generales que involucran un análisis más complejo. Sus soluciones son

variadas en relación a la gran diversidad de problemas que implican los fluidos viscosos.

4.1.1.4. Aplicación

Se mostrará la solución general de la ecuación de Navier-Stokes para describir la dinámica de

un fluido viscoso homogéneo en una tubería abierta en la industria petrolera.

Rubio et al. (2013) mostraron un modelo matemático para el transporte de un gas amargo a

través de distancias muy largas, donde eso implica tener estaciones de compresión a cierta

distancia; lo más interesante de este ejemplo es que la tubería que debe ser subterránea y no

se extiende de manera uniforme, es decir, debido a muchos factores ya sea del subsuelo o por

motivo de cruzamiento de la ruta por otras líneas de tuberías, por ríos o carreteras provoca

A P L I C A D A A L A I N G E N I E R Í A – G R U P O 8 ]

CÁLCULO III

En síntesis, este modelo matemático sirve para la descripción del comportamiento de un gas

de hidrocarburos a través de un contenedor tubular, que en primera instancia puede dar una

visión del comportamiento y la descripción del mismo.

4. 2. A P L I C A C I Ó N E N L A I N G E N I E R Í A D E A L I M E N T O S

4.2.1. Ecuación del Decaimiento Radiactivo

4.2.1.1 Alcance

Según Acón (2015), el decaimiento radioactivo es un proceso en el que un núcleo inestable se

transforma en uno más estable, emitiendo partículas y/o fotones y liberando energía durante

el proceso. Una sustancia que experimenta este fenómeno espontáneamente se denomina

sustancia radioactiva.

Existen diversas radiaciones, por lo que se han clasificado en ionizantes y no ionizantes, entre

las primeras están los rayos X, rayos alfa, beta y gama, estas radiaciones son capaces de

ionizar la materia por donde pasan, esto significa que provocan desprendimiento de

electrones de los átomos.

La radiación, a través de la irradiación o irradiancia, es un fenómeno que siempre está

presente en nuestro medio, la Tierra es radiactiva por naturaleza, por lo que asociarlo solo a

efectos negativos es una concepción errónea, de hecho, la radiación que más recibimos es de

fuentes naturales. De esta manera, las posibilidades alcanzan muchos ámbitos, desde el sector

industrias, eléctrico, salud, mecánico, entre otros ejemplos.

4.2.1.2. Descripción

Para expresar este fenómeno, es necesario aclarar que la radiactividad es aleatoria, por

lo que la cantidad M = M ( t ) de átomos radioactivos cambia a un ritmo proporcional a la

cantidad de átomos radioactivos que aún quedan, expresado matemáticamente:

dN

dt

=− kN

Donde

k > 0 (constante de desintegración) es un indicador de la frecuencia con que el

fenómeno se produce en un momento dado.

Al resolver esta ecuación tendremos la expresión:

N ( t )= N

0

e

− kt

Donde

N

0

es la cantidad de sustancia en el instante t = 0

A P L I C A D A A L A I N G E N I E R Í A – G R U P O 8 ]

CÁLCULO III

Sea T tal que

N ( T )= N

0

/ 2 , es decir, transcurrido el tiempo T de la cantidad de sustancia

N

0

,

queda

N

0

/ 2

. Entonces tenemos que

N

0

2

= N

0

e

− kt

Por lo que despejaremos para obtener

k =

1

T

∙ ln ( 2 )

Destacando la importancia de lo que viene a continuación

2

− t 0

• T

T

=

1

2

∙ 2

− t

0

T

Que expresa si en el instante

t

0

tenemos cierta cantidad de sustancia, en el instante

t

0

• T se habrá reducido a la mitad. Por esto se define la vida media de una sustancia

radiactiva como el tiempo requerido para que determinada cantidad de material se reduzca a

la mitad. Los cálculos previos sirven para demostrar que la vida media está bien definida, y

además, si T es la vida media

N

( t

) = N

0

∙ 2

− 1 / T

4.2.1.3. Enunciado

Como vimos previamente, la ecuación diferencial de desintegración radiactiva viene

expresado matemáticamente:

dM

dt

=− kM

Para resolver la ecuación

M ’ + kM = 0 , como

M > 0 la escribimos en la forma a continuación:

dM

M

=− kdt

Calculando las primitivas, obtendríamos la siguiente expresión:

ln M =− kt + c

Donde

c es la constante arbitraria, es decir, la ecuación se representaría de la siguiente forma:

M = e

c

⋅ e

− kt

Haciendo C = e

c

, resulta:

M = Ce

− kt

Esta vez la constante

C > 0 es estrictamente positiva, haciendo

t = 0 vemos que

C = M ( 0 ) .Por

tanto, el modelo matemático es

M ( t )= M ( 0 ) e

− kt

4.2.1.4. Aplicación

Enfocaremos la aplicación del decaimiento radiactivo en la ingeniería alimentaria, como

A P L I C A D A A L A I N G E N I E R Í A – G R U P O 8 ]

CÁLCULO III

productivo del control de los alimentos.

Diversos estudios respaldan el avance en el

crecimiento de la cantidad de alimentos que se

irradian en el mundo, principalmente en la

región de Asia y en América, el Perú no es

exento de ello, apreciándose a través de

los servicios del Instituto Peruano de Energía

Nuclear.

4. 3. A P L I C A C I Ó N E N L A I N G E N I E R Í A C I V I L

Las ecuaciones diferenciales son muy interesantes en cuanto a la posibilidad que

presentan para indagar sobre variedad de problemas de las ciencias físicas, biológicas y

sociales. A partir de la formulación matemática de distintas situaciones se describen procesos

reales aproximados.

Dentro de los diversos campos de acción de la ingeniería civil, una de las múltiples

aplicaciones de ecuaciones diferenciales está relacionada con el estudio de las flexiones, un

ejemplo es:

4.3.1. Estudio de la Flexión de una Viga en Voladizo

Consideremos una barra delgada de longitud L en posición horizontal, empotrada por

un extremo y sometida a una fuera vertical F en el extremo libre. Determinaremos la forma de

la barra y las coordenadas (xf, yf) del extremo libre para grandes flexiones de la barra.

Figura N° 3: Flexión de una Viga en Voladizo

A P L I C A D A A L A I N G E N I E R Í A – G R U P O 8 ]

CÁLCULO III

Supongamos que:

 La barra tiene una longitud L mucho mayor que las dimensiones de su sección trasversal, y

que la deformación debida a su propio peso es despreciable.

 Que la sección de la barra no cambia cuando se dobla. Cuando el espesor de la barra es

pequeño comparado con el radio de curvatura, la sección trasversal cambia muy poco. En

estas condiciones es aplicable la ecuación de Euler Bernoulli que relaciona el momento

flector M de la fuerza aplicada y el radio de curvatura ρ de la barra deformada

M =

Y .l

ρ

Donde Y es el módulo de Young del material e I es el momento de inercia de la sección

trasversal respecto del eje neutro. El radio de curvatura:

ρ =

ds

d φ

;

dφ

ds

=

M

Y. l

El momento flector M de la fuerza F

aplicada en el extremo libre de la

barra respecto del punto P (x, y) es

M=F(xf-x)

dφ

ds

=

F

Y. l

( X

f

− X )

Derivando con respecto a s, y teniendo en cuanta que cosφ=dx/ds

Figura N° 4: Flexión de una Viga en Voladizo con

ángulos de inclinación

A P L I C A D A A L A I N G E N I E R Í A – G R U P O 8 ]

CÁLCULO III

cálculo de la ordenada y es más complicado, ya que para cada valor del ángulo φ hay que

hallar una integral definida en el intervalo (0, φ) empleando procedimientos numéricos.

4. 4 A P L I C A C I Ó N E N L A I N G E N I E R Í A E L É C T R I C A

4.4.1 Función de transferencia

4.4.1.1 Alcance

La teoría de control es un intermediario entre las matemáticas y la ingeniería, puesto que

observa y analiza el comportamiento de sistemas dinámicos, los cuales son aquellos sistemas

que varían a lo largo del tiempo.

Según Coulson, J. M., & Richardson, J. F. (1979) en todos los procesos se presenta la

necesidad de tener dentro de ciertos límites flujos, presiones, temperaturas, composiciones,

etc., por razones de seguridad o bien por estar especificados. Lo más frecuente es que este

tipo de control se realice midiendo la variable que se necesita controlar (variable controlada),

se compara esta medida con el valor al que se desea mantener la variable controlada (calor

deseado, de consigna o posición) y se ajustó alguna variable adicional (variable manipulada),

que tiene un efecto directo sobre al a variable controlada, hasta que se obtiene el valor

deseado.

Este método operacional exige que las ecuaciones diferenciales que describen el

comportamiento de las partes han de ser lineales en la forma, lo cual no ocurre con

frecuencia.

Las relaciones no lineales, afortunadamente, puede representarse a menudo mediante

aproximaciones lineales, con un error pequeño, sujetas a ciertas limitaciones.

Una vez que cada parte o sistema se ha descrito de esta forma resulta posible obtener su

función de transferencia apropiada, siendo:

Funcion de transferencia =

Transformada de Laplacede la salida

Transformada de Laplacede la entrada

4.4.1.2 Descripción

La función de transferencia, es básicamente una relación matemática de entrada-salida que se

usa preferiblemente en sistemas lineales e invariantes en el tiempo.

Para ello, se usan los modelos de la transformada de Laplace viene a ser dado por:

H ( s )=

Y ( s )

X ( s )

H ( s ) viene a ser la función de transferencia, Y ( s ) la transformada de Laplace de la respuesta

y X ( s ) es la transformada de Laplace de la señal de entrada.

Se puede considerar esa función como la respuesta inicialmente inerte a un impulso como

señal de entrada:

A P L I C A D A A L A I N G E N I E R Í A – G R U P O 8 ]

CÁLCULO III

H ( s )= L { h ( t ) }= ∫

0

∞

e

− st

h ( t ) dt

Así, en funciones que dependen del tiempo:

La salida o respuesta en frecuencia del sistema se halla entonces de

Y ( s )= H ( s )∗ X ( s )

4.4.1.3 Enunciado

En el caso para sistemas eléctricos, se tiene que:

X ( t )= R ∗ i ( t ) +

L ∗ di

dt

1

C

∗

∫

i ( t )∗ dt

X ( s )= R ∗ I ( s )+ s ∗ L ∗ I ( s ) +

I ( s )

C

s

Y ( s )=

I ( s )

C

s

Y ( s )

X

( s

)

=

I ( s )

C

s

R ∗ I ( s ) + s ∗ L ∗ I ( s )+

I

( s

)

C ∗ s

H ( s )=

1

C ∗ s

R + s ∗ L +

1

C ∗ s

∗

(

C ∗ s

C ∗ s

)

H ( s )=

1

R ∗ C ∗ s + L ∗ c ∗ s

2

• 1

Valores en los cuales el valor del numerador se nulifica conocidos como ceros.

Valores en los cuales el valor del denominador se nulifica se les conoce como polos.