¡Descarga ecuaciones diferenciales con la tranformada y inversa de laplace y más Ejercicios en PDF de Cálculo para Ingenierios solo en Docsity!
ECUACIONES DIFERENCIALES
UNIDAD UNO
ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN.
Presentado a:
Yenifer Elizabeth Galindo
Tutor(a)
Entregado por:
Miguel Leonardo Ortiz Novoa
Código: xxxxx
Diana Marcela Gaitan Niño
Código: 1.020.779.
Edwin Lenadro Delgado Caro
Código: 1053335863
Michael Yesid Rodriguez Murillo
Código: 1.022.430.
Holman Rincon Parada
Código: 1052313715
Grupo:100412_
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD
ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, INGENIERÍAS Y TECNOLOGÍAS
CURSO DE ECUACIONES DIFERENCIALES
FECHA
10 de marzo
INTRODUCCIÓN
El presente trabajo tiene como fin conocer y desarrollar ecuaciones diferenciales de primer
orden, las cuales pueden ser divididas por su estructura y solucionadas por diferentes métodos
usando como base la integración y la derivación con procesos algebraicos buscando una única
solución, y así poder aplicarlas dentro de problemas que se presentan en nuestro entorno para dar
respuesta a preguntas de manera cuantificable.
PASO 2
ELECCIÓN DE EJERCICIOS A DESARROLLAR PARTE
INDIVIDUAL
Tabla de elección de ejercicios:
Nombre del estudiante Rol a
desarrollar
Grupo de ejercicios a desarrollar paso 1.
Miguel Leonardo Ortiz Entregas El estudiante desarrolla los ejercicios a en
todos los tres tipos propuestos.
Diana Marcela Gaitán Niño Evaluador El estudiante desarrolla los ejercicios b en
todos los tres tipos propuestos.
Michael Yesid Rodriguez
Murillo
Compilador El estudiante desarrolla los ejercicios c en
todos los tres tipos propuestos.
Edwin leandro Delgado Caro Alertas El estudiante desarrolla los ejercicios d en
todos los tres tipos propuestos.
Ejemplo:
El estudiante desarrolla los ejercicios a en
todos los tres tipos propuestos.
DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD COLABORATIVA
PASO 3
EJERCICIOS INDIVIDUALES
A continuación, se definen los 3 Tipos de ejercicios para presentar en el Paso 3.
Recuerde consultar en el entorno de conocimiento el siguiente recurso:
García, A. (2014). Ecuaciones diferenciales. Larousse - Grupo Editorial Patria. (pp. 32-45).
EJERCICIOS 1. VARIABLES SEPARABLES
Dar solución a las siguientes ecuaciones diferenciales de primer orden empleando el método de
variables separables (Cada estudiante debe desarrollar el ejercicio seleccionada en la tabla del
paso, debe indicando la razón o argumento de cada paso en el procedimiento efectuado)
ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Miguel Leonardo Ortiz
a. y
'
= xy
3
( 1 + x
2
− 1
2
; y ( 0 )= 1
y
− 2
2
∫
u
− 1
2
y
2
2
∫
u
− 1
2
2 y
2
2
∫
u
− 1
2
2 y
2
2
[
u
− 1
2
]
2 y
2
2
[
( 1 + x
2
− 1
2
]
2 y
2
2
[
( 1 + x
2
1
2
]
2 y
2
2
[
( 1 + x
2
1
2
]
2 y
2
2
[
( 1 + x
2
1
2
]
2 y
2
2
[
2 ( 1 + x
2
1
2
]
2 y
2
2
= 1 ∗( 1 + x
2
1
2
2 y
2
√
1 + x
2
1
2
√
2
1
1 + c
1
1 + c
1
1 + c
1
c
1
2 y
2
√
1 + x
2
2 y
2
∗( 2 y
2
√
1 + x
2
∗( 2 y
2
∗( 2 y
2
2 y
2
∗( 2 y
2
√
1 + x
2
∗( 2 y
2
∗( 2 y
2
2 y
2
√
1 + x
2
− 3 y
2
y
2
√
x
2
En el termino al lado izquierdo de la igualdad aplicamos la regla de la potencia
∫
x
a
dx =
x
a + 1
a + 1
, a≠ 0
Al lado derecho de la igualdad, sacamos la constante y desarrollamos por sustitución
Luego al lado izquierdo de la expresión realizamos las operaciones y aplicamos propiedades de
las fracciones
Al lado derecho aplicamos propiedad de las fracciones
a
b
= a
− b
Al lado izquierdo le sumamos la constante a la solución
c
2
y dejamos asi la expresion
Al lado derecho aplicamos regla de potencia
Al lado derecho de la igualdad simplificamos y operamos
Al lado derecho de la igualdad, simplificamos el 2 que multiplica y el dos que divide
Operamos y aplicamos leyes de los exponentes
a
1
n
n
a
y agregamos la constante a la ecuación y cambiamos la constante
Sustituimos
x = 0 Aplicamos las condiciones
y ( 0 )= 1 , intercambiamos de lados y operamos
Restamos 1 a lado y lado de la igualdad
Reemplazamos
c
1
en la ecuación
Para solucionar en el sigunte paso buscamos el minimo común multiplo y lo multiplicamos en la
operación
Simplificamos organizamos e intercambiamos lados
Factorizamos por termino común
Dividimos ambos lados en 2 √ 1 + x
2
y simplificamos
Al lado derecho de la igualdad multiplicamos por el conjugado
2 √ 1 + x
2
2 √ 1 + x
2
y operamos
dy
1 + y
2
= 2 ( 1 + x ) dx
organizamos dy a un lado y dx al otro
∫
dy
1 + y
2
∫
1 dx +
∫
xdx
aplicamos la integral
Tan
− 1
y = 2
(
x +
x
2
)
Resolvemos la integral de cada función
Tan
− 1
y = 2 x + x
2
Realizamos el producto
Tan
− 1
2
0 = 0 + 0 + c
Sustituimoslos valores de y x iniciales
c = 0
Obtenemos el valor de C
Tan
− 1
y = 2 x + x
2
Sustituimosel valor de la constante
y =tan ( 2 x + x
2
Obtenemos el resultado de la ecuación
ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Michael Yesid Rodriguez Murillo
C. y
'
1 + 3 x
2
3 y
2
− 6 y
; y
PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA
RAZÓN O EXPLICACIÓN
dy
dx
1 + 3 x
2
3 y
2
− 6 y
Sustituimos y’ por su derivada
dy
dx
3 y
2
− 6 y dy = 1 + 3 x
2
dx
Aquí dejamos en los diferentes lados de la igualdad las y Y las x
∫
3 y
2
− 6 y dy =
∫
1 + 3 x
2
dx
Aquí empezamos a integrar
∫
3 y
2
dy −
∫
6 y dy =
∫
1 dx +
∫
3 x
2
dx
Aplicamos la regla de la suma
∫
3 y
2
dy
∫
3 y
2
dx
∫
y
2
dx
¿ 3 ×
x
2 + 1
aplicamos la regla de la potencia
¿ 3 ×
x
3
¿ x
3
y
3
− 3 y
2
= x + x
3
Resolvemos las integrales una por una por el lado de las x
y
3
− 3 y
2
= x + x
3
x = 0 ; y = 1
Ahora toca darles vales a X y ah Y
Para hallar en el numero de la C
1 − 3 = 0 + c
Remplazamos valores
− 2 = c
Numero que pertenece a la C
y
3
− 3 y
2
= x + x
3
Como queda final mente la ecuación con su numero C
ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:
Edwin Leandro Delgado Caro
D. xdx + y e
− x
dy = 0 ; y ( 0 )= 1
PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA
RAZÓN O EXPLICACIÓN
xdx + y e
− x
dy = 0 ; y ( 0 )= 1
Debemos identificar la ecuación diferencial para saber si lo podemos hacer por el método de
variables separables
y e
− x
dy =− xdx
Transposición de términos
ydy =
− xdx
e
− x
Separamos variables, dejando a un lado de la ecuación todo lo relacionado con la variable y , y
en el otro todo lo relacionado con la variable x
ydy =− e
− x
xdx
Aplicamos la regla de los exponentes
e
− x
e
x
, se realiza la operación y se organiza
∫
ydy =
∫
− e
− x
xdx
Se integra en ambos términos la ecuación diferencial
y =√− 2 e
x
. x + 2 e
x
Obtenemos el resultado y como es raíz cuadrada obtenemos solución ±
ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Holman Rincon Parada
e.
y
'
2 x
y + x
2
y
y ( 0 ) =− 2
PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN
MATEMÁTICA
RAZÓN O EXPLICACIÓN
y
'
2 x
y + x
2
y
y ( 0 ) =− 2
dy
dx
2 x
y + x
2
y
Rescribimos la ecuación como
dx
dy
2 x
y
x
2
Factorizamos el denominador para que de
esta forma quede solo la multiplicación de
las variables
dy =
2 x
y ( x
2
dx
y dy =
2 x
x
2
dx
Separamos las variables
∫
y dy =
∫
2 x
x
2
dx
y
2
=ln ln ( 1 + x )+ c
Integramos
2
=ln ln ( 1 + 0 )+ c
2 = c
Reemplazamos los valores dados al
comienzo para X y para Y en la ecuación
que encontramos anteriormente para así
hallar el valor de c
y
2
x
5
y
2
x
5
y
2
x
5
√
y
2
√
x
5
y =
√
x
5
Reemplazamos el valor de la constante o c
en la ecuación y despejamos Y
EJERCICIOS 2 – ECUACIONES DIFERENCIALES
HOMOGÉNEAS
Solucionar las siguientes Ecuaciones diferenciales de primer orden empleando el método de
Homogéneas (Cada estudiante debe desarrollar el ejercicio seleccionada en la tabla del paso,
debe indicando la razón o argumento de cada paso en el procedimiento efectuado)
ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Miguel Leonardo Ortiz
a.
dy
dx
x + 3 y
x − y
