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FIRMAS
TRINIDAD CRUZ SÁNCHEZ
ALUMNO FACILITADOR
INVESTIGACIÓN
ING. EN MECANICA AUTOMOTRIZ
DATOS GENERALES DEL PROCESO DE EVALUACIÓN
Subsistema de Universidades Politécnicas
Nombre del Alumno. Fecha de Entrega:
Facilitador
TRINIDAD CRUZ SÁNCHEZ
Periodo de Evaluación.
Mayo - agosto 2021
Asignatura: Ecuaciones diferenciales
Tipo de Instrumento:
INV- 02 - 05
Unidad de Aprendizaje:
3 - 4
Objetivo de la unidad 3 : Identificará y resolverá EDO de segundo orden y orden superior para obtener una solución
analítica.
Objetivo de la unidad 4 : Identificará y resolverá EDO de segundo orden y orden superior para obtener una solución
analítica
OBJETIVO DE APRENDIZAJE DEL EJERCICIO
Investigará las diferentes expresiones lineales para ecuaciones de orden superior en ecuaciones diferenciales.
ACTIVIDADES A REALIZAR
Investigar sobre las aplicaciones de la EDO en las áreas de
No.
Ítems
PONDERACION
OBSERVACIONES
Cumple
S / N
RUBRICA
(Porcentaje
Escriba la expresión de una EDO de 2º orden 2
Escriba las posibles soluciones de las EDO de 2º orden, 2
Escriba la expresión de una EDO de orden “n” 2
- Escriba las posibles soluciones de las EDO de orden “n” 2
Muestre un ejemplo de una EDO de 2º orden y su posible
solución
2
Menciones 2 aplicaciones de las EDO de 2º orden. 2
Fuente de la información 2
CALIFICACION
Escriba la expresión de una EDO de 2º orden
En los capítulos anteriores, se estudiaron las ecuaciones diferenciales de primer orden.
En este apartado se revisarán las ecuaciones de orden superior 𝑛 ≥ 2 , comenzando con
las ecuaciones lineales. Asimismo, abordaremos la teoría general de las ecuaciones
diferenciales lineales de la misma forma que analizamos las de segundo orden (𝑛 = 2 ).
Recuérdese que una ecuación diferencial de segundo orden de la función 𝑦
(desconocida) es de la forma
′
′′
Se dice que la ecuación diferencial es lineal si G es lineal en la variable dependiente y 𝑦
en sus derivadas 𝑦
′
y 𝑦
′′
. Así, una ecuación lineal de segundo orden toma la forma (o
puede escribirse como)
𝐴
( 𝑥
) 𝑦
′′
( 𝑥
) 𝑦
′
( 𝑥
) 𝑦 = 𝐹
( 𝑥
) .
Salvo que se diga lo contrario, siempre se asume que las funciones que representan los
coeficientes 𝐴(𝑥), 𝐵(𝑥), 𝐶(𝑥) y 𝐹(𝑥) (conocidas) son continuas en algún intervalo abierto
I (no necesariamente acotado), en el cual se desea resolver la ecuación diferencial, pero
no se requiere que estas funciones de x sean lineales. Así, la ecuación diferencial
′′
cos 𝑥
′
𝑥)𝑦 = tan
− 1
es lineal porque la variable dependiente y 𝑦 sus derivadas 𝑦’ y 𝑦’’ pueden escribirse de
manera lineal. En contraste, las ecuaciones
′
′′
′
2
3
son no lineales porque aparecen los productos y potencias de y 𝑦 sus derivadas.
Si la función F ( x ) en el lado derecho de la ecuación (2) se anula en I , entonces ésta se
llama ecuación lineal homogénea ; en el caso contrario se denomina no homogénea.
Por ejemplo, la ecuación de segundo orden
2
𝑦′′ + 2 𝑥𝑦′ + 3 𝑦 = cos 𝑥
es no homogénea; su ecuación homogénea asociada es
2
En general, la ecuación diferencial homogénea asociada con la ecuación (2) es
Es decir, la sustitución de y por f en la E. D. O. reduce la ecuación a una identidad en I.
Se dice que una relación 𝑔(𝑥, 𝑦) = 0 es una solución implícita de la E. D. O. en el
intervalo I si esta relación define, al menos, una función real f de la variable x en I de
manera que esta función sea una solución explícita de la EDO. en dicho intervalo I.
Escriba las posibles soluciones de las EDO de orden “n”
Llamamos ecuación diferencial lineal de orden n a:
Donde a n
( x ), a n- 1
( x ),... a 1 ( x ), a 0 ( x ), f ( x ) son funciones reales y continuas en un cierto
intervalo ( a, b )
Para que la ecuación diferencial sea de orden n , a n
( x )≠0, dividiendo toda la ecuación
por este término la podemos poner de la siguiente forma:
Si g ( x )≠0, la ecuación se denomina completa y si g ( x )=0, homogénea
Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de orden n
Sea
y(n+bn−1y(n−1+...+b2y''+b1y'+b0y=0y(n+bn-1 y(n-1+...+b2 y''+b1y'+b0 y=
Decimos que y 1
( x ) es solución de la ecuación si:
y1(n+bn−1y1(n−1+...+b2y1''+b1y1'+b0y1=0y1(n+bn-1 y1(n-1+...+b2 y1''+b1y1'+b0 y1=0,
Sistema fundamental de soluciones
Llamamos sistema fundamental de soluciones a n soluciones de la ecuación (*)
linealmente independientes.
Teorema I.- La ecuación (*) admite un sistema fundamental de soluciones.
Teorema II.- Si { y 1
, y 2
... y n
} es un sistema fundamental de soluciones, cualquier solución
de la ecuación (*) se puede expresar de la forma:
y=C1y1+C2y2+...+Cnyn,C1,C2...Cn∈R
Ejemplo de una EDO de 2º orden y su posible solución
Ejemplo 1
Consideremos la ED lineal homogénea de segundo orden 𝑥
2
′′
′
- Verificar que 𝑦
1
2
es una solución de la ED.
- Encontrar una segunda solución 𝑦
2
de la ecuación.
- Escribir la solución general de la ecuación
- En primer lugar calculamos la primera y segunda derivada de 𝑦
1
1
2
1
′
1
′′
Si sustituimos en la ecuación diferencial:
2
𝑦
1
′′
𝑦
1
′
2
𝑦 1
2
2
concluimos que 𝑦 1
es una solución de la ecuación diferencial
- Usamos ahora el resultado anterior. Determinamos 𝑢.
Primero necesitamos normalizar la ecuación para lo cual dividimos entre 𝑥
2
Obtenemos
′′
′
2
Usamos la formula del resultado anterior con 𝑃 =
2
𝑥
1
2
; encontramos:
− ∫
2
𝑥
𝑑𝑥
2
)
2
− 2 ln 𝑥
4
ln(𝑥
− 2
)
4
− 2
4
− 6
− 5
Por lo tanto, 𝑦
2
1
1
5
− 5
2
1
5
− 3
- La solución general es
𝑡
𝑅𝐶
= − ln(𝑉𝐶 − 𝑄) + ln(𝑉𝐶) = ln(
𝑉𝐶
𝑉𝐶 − 𝑞)
Aplicando la función exponencial a ambos miembros,
𝑒
1
𝑅𝐶
𝑡
=
𝑉𝐶
𝑉𝐶 − 𝑞
Despejando Q
𝑉𝐶 − 𝑄 = 𝑉𝐶𝑒
−
1
𝑅𝐶
𝑡
⇒ 𝑄 = 𝑉𝐶 − 𝑉𝐶𝑒
−
1
𝑅𝐶
𝑡
= 𝑉𝐶 ( 1 − 𝑒
−
1
𝑅𝐶
𝑡
)
Entonces:
𝑄(𝑡) = 𝑉𝐶 ( 1 − 𝑒
−
1
𝑅𝐶
𝑡
)
Y derivando esta última expresión, obtenemos la corriente que circula:
𝐼
( 𝑡
)
𝑉
𝑅
𝑒
−
1
𝑅𝐶
𝑡
A la constante 𝑟𝑐=𝑅𝐶 se le conoce como constante capacitiva del circuito y su efecto es
ampliar o reducir el tiempo de carga del capacitor. Observe que en el tiempo 𝑡=0, la carga
almacenada en el capacitor es 𝑄=0; en consecuencia no hay caída de potencial sobre el
capacitor en ese momento. Con el tiempo el capacitor se carga totalmente con una carga
𝑄=𝑉𝐶 y la diferencia de potencial es la proporcionada por la fuente de voltaje. Ocurre
exactamente lo contrario en la resistencia, en el tiempo 𝑡= 0 la corriente es 𝐼=𝑉𝑅 y la
diferencia de potencial entre los extremos de la resistencia es exactamente la que
proporciona la fuente de potencial. Cuando t crece, la corriente decrece hasta
desaparecer; entonces no hay diferencia de potencial en la resistencia.
Circuito RL de corriente alterna
El circuito de la figura anterior está formado por una malla simple con una fuente de
voltaje V(t) de tipo sinusoidal, un resistor R y un inductor L y se le conoce como circuito
RL de corriente alterna. De acuerdo con la ley de Kirchhoff de voltaje, tenemos que
0
sin 𝜔𝑡 = 𝑅𝐼 + 𝐿
0
sin 𝜔𝑡 ⟹
0
sin 𝜔𝑡
Observe que esta ecuación (5.1) es similar a la ecuación (??) página ??, si hacemos las relaciones:
Así obtenemos, de la solución (??), que la corriente que circula sobre el circuito está dada por
0
2
2
[
sin 𝜔𝑡 − 𝜔 cos 𝜔𝑡 + 𝜔𝑒
−
𝑅
𝐿
𝑡
] =
0
2
2
[
sin 𝜔𝑡 − 𝜔 cos 𝜔𝑡 + 𝜔𝑒
−
𝑅
𝐿
𝑡
]
Que se puede reescribir
0
−
𝑅
𝐿
𝑡
2
2
2
0
2
2
sin(𝜔𝑡 + ∅
Donde el ángulo de fase 𝜙 satisface
cos 𝜙 =
2
2
, sin 𝜙 = −
2
2
, & tan 𝜙 = −
Observe que, para tiempos grandes, la corriente que circula por el circuito tiene la misma
frecuencia que el voltaje de entrada.
