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ANALISIS MATEMATICO I
Ciclo Lectivo 2009
Guía de Estudio y Práctica 11
SUCESIONES Y SERIES
Ing. Jorge J. L. Ferrante
I CONSOLIDACIÓN DE CONCEPTOS
Se inicia esta Guía de Estudio y Práctica con una mención especial a Leonardo de Pisa, llamado Fibonacci, autor de una de las más célebres sucesiones –si no la más célebre- de múltiples aplicaciones e invalorable aplicación para la interpretación de distintas manifestaciones de la naturaleza. La búsqueda de la información que se agrega se hizo a través de Internet, en especial, la página El ubicuo Fibonacci, sección zapping de Axon N° 231
Siglo XII. En 1170, los normandos atacan a los irlandeses en Baginbun y los destrozan, mientras Gervasio de Canterbury y los astrónomos chinos documentan un tránsito de Marte frente a Júpiter. El judío sefaradí Benjamín de Tudela viaja por todo el mundo conocido para censar a los judíos existentes, y llega a la conclusión de que 8 millones de ellos están repartidos por el planeta. El Valle del Bekaá es devastado por un espantoso terremoto de más de grado 7 en la Escala de Mercalli. Ricardo Corazón de León, mientras tanto, reina en Inglaterra.
Entre tantos eventos importantes, un tal Bonaccio, residente en Pisa (donde, según Benjamín, vivían 20 judíos) celebra el nacimiento de su hijo Leonardo. Como era vástago de Bonaccio, casi nunca nadie conoció al niño como Leonardo de Pisa, sino como "el hijo de Bonaccio", esto es, Fibonacci.
Bonaccio, por entonces director de una aduana italiana en Argelia, necesita que su hijo sepa de números, por lo que obliga al chiquillo a estudiar aritmética posicional hindú. Milagrosamente, Fibonacci descubrió en las matemáticas el amor de su vida. Nunca más las abandonó.
El aporte de Fibonacci a la matemática es tan grande y tan profundo que prácticamente no puede ser medido. Por la época en la que vivió, el sistema de numeración arábigo era poco menos que una curiosidad: todo el
mundo usaba los números romanos. Y ya se sabe lo difícil que es multiplicar por no hablar de dividir con números romanos.
Fibonacci, recordando el curso de aritmética hindú aprendido de niño,
escribe, en 1202, su tratado Liber abaci ("El Libro del Ábaco") que es, ni
más ni menos, un tratado sobre el sistema numeral indoarábigo. En él presenta al público y a los científicos europeos los signos hindúes (1, 2, 3...)
y el 0 árabe, donde dice que se llama "cero" (quod arabice zephirum
appellatur). Además, expone el método de regula falsi para ecuaciones de
primer grado. Nada menos que eso, algo insólito para un libro del siglo XIII en una sociedad que no usaba el cero.
Nota del autor : resultaría injusto olvidar la mención de Alexandre de Villedieu, Franciscano Francés y John de Hallifax, llamado Sacrobosco quienes, junto a Fibonacci merecen el crédito de haber popularizado el
“algorism” de la numeración indoarábiga.Carmen de Algorismo es un poema
de Alexandre de Villedieu donde las operaciones con enteros están descriptas junto al uso del cero como número. Sacrobosco hace lo propio en
un tratado de astronomía llamado Algorismus Vulgaris utilizado
profusamente en la edad media.
Otro libro de Fibonacci,De quadratis numeris (1225) es tan avanzado
que hubo que esperar a Fermat (en el siglo XVII) para superarlo
Las sucesiones de Fibonacci fueron bautizadas en honor del italiano por el teórico francés Edouard Lucas.
Una sucesión de Fibonacci es aquella donde cada número es el resultado de sumar los dos que lo preceden. Así, la primera y más básica sucesión de Fibonacci es
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233...
respondiendo a la fórmula
an = an-1 + an-
Según la historia esta sucesión surge al estudiar la … propagación de conejos.
Las aplicaciones de los números de Fibonacci son también, al parecer, infinitas: se utilizan en generación de números al azar, en la búsqueda de valores máximos y mínimos de funciones complejas de las que se ignora la derivada, en trabajos de clasificación de datos, en recuperación de información en computadoras, y mil etcéteras más.
Los fractales son sucesiones de Fibonacci
Entre las muchas curiosidades de las sucesiones de Fibonacci, una de las más extrañas propiedades de las mismas es que la razón entre cada par de números consecutivos va oscilando por encima y por debajo de la razón áurea, y que a medida que avanzamos en la serie, la diferencia de la razón de Fibonacci con la razón áurea se va haciendo cada vez menor. En teoría, cuando llegásemos al último par de números, resultaría
1,61803...
que es, precisamente, la llamada “razón áurea”.
La afirmación anterior se demuestra fácilmente. En el ejemplo,
3 / 2 = 1,
bastante por debajo de la razón áurea. Pero
5 / 3 = 1,
algo por encima, pero menos que antes. Siguiendo resulta
8 / 5 = 1,6 ; 13 / 8 = 1,625 ; 21 / 13 = 1,6153 y 34 / 21 = 1,
lo cual ya se acerca bastante.
Las extrañas apariciones de las sucesiones de Fibonacci y de la razón áurea han dado lugar a interminables especulaciones y análisis y, por supuesto, a una abundante bibliografía. Se sabe que los caparazones espirales de muchos caracoles se rigen por ella, como ciertas proporciones de la anatomía humana, animal y vegetal. También se han hallado manifestaciones de estas entidades en las artes plásticas, la arquitectura y la poesía. Varios bardos romanos, especialmente Virgilio en la Eneida, parecen haber utilizado las series de Fibonacci en la estructura de sus obras poéticas.
En las ciencias naturales, es bien conocida la estructura de Fibonacci en la disposición de las semillas en los girasoles. Las semillas, ubicadas en la gran parte central de las flores, tienen una implantación en espiral: hay dos grupos de espirales, gobernadas por dos funciones logarítmicas. Un grupo gira en sentido horario y otro en el antihorario. La cantidad de espirales logarítmicas en cada grupo sigue números de Fibonacci consecutivos.
La mano humana es, también, una sucesión de Fibonacci. La longitud del metacarpo es la suma de las dos falanges proximales; la longitud de la primera falange es la suma de las dos falanges distales
Si se toma un grupo de fichas de dominó, de tamaño 2 x 1, la cantidad de maneras de construir rectángulos de tamaño 2 x n será, por supuesto, una sucesión de Fibonacci. Hay una sola forma de armar un rectángulo de 2 x 1; dos de construir el de 2 x 2; tres de hacer el de 2 x 3, cinco para el de 2 x 4; ocho para el de 2 x 5, etc.
Desde siempre, los matemáticos se vieron perturbados por la relación entre los números de Fibonacci y los números primos. La pregunta era: ¿puede una sucesión de Fibonacci contener series infinitas de números primos? La respuesta es sí.
Para finalizar esta introducción se construyen dos cuadrados de lado uno, con lado dos se construye un nuevo cuadrado, con lado tres, otro y asi sucesivamente. Rápidamente se puede apreciar una espiral y esta espiral se corresponde a la caparazón de un molusco.
Fibonacci en un cactus y en verduras (también está en las piñas)
Así se lo recuerda, en mármol
Sucesiones numéricas
Una sucesión de números reales es una aplicación del conjunto N (o, a veces, N 0 ) en R, de tal forma que, a cada número natural n le corresponde uno y sólo un número real denominado an en lugar de usar la notación a = f(n)
{ a n } ={ a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ,..., an ,...}
Por último se pueden definir de manera completamente arbitraria siempre y cuando medie una ley de formación, por ejemplo:
Término de la sucesión Ley de formación
1 Uno 11 Un uno 21 Dos unos 1211 Un dos, un uno 111221 Un uno, un dos, dos unos 21112211 Dos unos, un uno, dos dos, un uno 1221112221 Un dos, dos unos, un uno, dos dos, dos unos. 11222111221211 Un uno, dos dos, dos unos, un uno, dos dos, un dos un uno. …………………………………………………. ……………………………………………………
Monotonía de una sucesión
Una sucesión {an } es monótona creciente si
a (^) n ≤ an + 1 ∀ n
y es estrictamente creciente si
a (^) n < an + 1 ∀ n
Obsérvese que la única diferencia entre sucesión creciente y estrictamente creciente es que en la segunda la desigualdad debe cumplirse necesariamente mientras que en las crecientes puede haber igualdad entre términos sucesivos
Una sucesión es monótona decreciente si
a (^) n ≥ an + 1 ∀ n
y es estrictamente decreciente si
a (^) n > an + 1 ∀ n
Vale en este caso la misma observación anterior.
Demostrar en crecimiento o decrecimiento de una sucesión suele requerir el uso de inducción completa o de reducción al absurdo. Sin embargo, en ocasiones puede tomarse una función de variable real f tal que f(n) = an y estudiar el signo de la derivada primera de esta función para determinar crecimiento o decrecimiento. Si f es monótona creciente (decreciente) la sucesión {an } también lo será.
Acotación
La sucesión {an } está acotada superiormente si existe un número M tal que an ≤ M para todo n.
La sucesión {an } está acotada inferiormente si existe un número M tal que M ≤ an para todo n.
La sucesión {an } está acotada si está acotada superior e inferiormente es decir si
a (^) n ≤ M ∀ n
Subsucesiones
Una sucesión {an } es una subsucesión de {an } si existe una aplicación f(n) de N en N estrictamente creciente tal que an = af(n)
Por ejemplo, dada la sucesión
{ a n } ={ a 1 , a 3 , a 3 , a 4 ,..., an ,...}
Las siguientes son subsucesiones posibles
1 2 3 5 7 11 13
2 1 1 3 5 7 2 1
2 2 4 6 8 2
a a a a a a a a
a a a a a a
a a a a a a
nprimo
n n
n n
− −
{an } = n 2
(^0) 00:00:05 00:00:10 00:00:15 00:00:
100
200
300
400
En la primera y en forma absolutamente intuitiva puede inferirse que, al crecer n, los términos de la sucesión (los puntitos) tienden a 0; en la segunda, tienden a uno (1); en la tercera tienden a +1 o a -1 y, en la cuarta parece que crecen más allá de todo límite.
Estudiar la convergencia de una sucesión consiste precisamente en investigar a qué valor tiende el término genérico de la misma cuando n →∞.
Si tiende a un número finito l la sucesión se dice convergente, si tiende a ∞ o no existe el número l, la sucesión se dice divergente.
Los gráficos anteriores parecen indicar que las dos primeras son convergentes mientras que las restantes son divergentes.
Antes de definir límite de una sucesión (hecho que el lector debe estar sospechando hace un rato) se da un criterio general de convergencia llamado de Bolzano-Cauchy (cuando no ¡Cauchy!).
Condición necesaria y suficiente para que la sucesión
{ a n } ={ a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 , a 7 ,..., an ,... a υ,..., a υ+ p ,...}
de números reales sea convergente, es que para cada número positivo ε corresponda un valor υ de n, tal que todas las diferencias a (^) n – an+p, n > υ, p > 0 entre términos posteriores a aυ se conserva en valor absoluto menor que ε.
a n − an + p <ε, ε> 0 , n > υ, p > 0
Obsérvese que este criterio permite asegurar la convergencia de una sucesión sin conocer el valor del límite.
Límite de una sucesión
El número l es el límite de la sucesión {an } si se cumple que
ε
n N
a (^) n l ∀ >
es decir, si desde un término en adelante la diferencia entre este y el límite se puede hacer tan chica como se quiera con tal de tomar n suficientemente grande (mayor que Nε).
Por ejemplo, la sucesión {an }={(-1)n^ /n} tiene límite cero (0) porque fijado un ε > 0 basta con tomar Nε > 1/ε para que la diferencia entre el término genérico y el límite sea menor que ε.
Obsérvese detenidamente que, en el intervalo [l+ε, l-ε] después de Nε hay infinitos elementos de la sucesión, mientras que, antes de Nε solo hay un número finito de ellos.
00:00:00 00:00:30 00:01:00 00:01:
Monotonía y convergencia
Se relacionan a continuación condiciones de monotonía y de convergencia:
- Toda sucesión convergente es acotada.
- Toda sucesión creciente y acotada superiormente es convergente.
- Toda sucesión decreciente y acotada inferiormente es convergente.
- Toda sucesión decreciente y no acotada inferiormente es divergente.
n n n
n n
n n
a c b
b l
a l
→∞
→∞ lim
lim
Entonces la sucesión {cn } es convergente y su límite vale l
n^ lim→∞ cn^ =^ l
Por ejemplo, la sucesión
cn = (^) ⎨⎧ n (^2) + + n (^2) + + n (^2) + + + n (^2) + n ...^1 3
Es convergente pues está “comprimida” entre las dos sucesiones convergentes
n^2
b n
a
n
n
Como ambas convergen a 0, {cn } → 0
Criterio de Stöltz Césaro
Sea {b (^) n } una sucesión creciente y divergente y {a (^) n } otra sucesión. Si el límite
n n
n n n (^) b b
a a −
→ ∞ 1 lim^1
existe, entonces el n
n n (^) b
a lim→ ∞ también existe y coincide con el anterior.
Por ejemplo la sucesión { }
= ⎧^ + + + + +
2
n
c n n cuyo^ término
genérico puede interpretarse como el cociente entre la suma de los primeros n números naturales y n 2. La sucesión n^2 es creciente y divergente, entonces
lim^1 1
lim lim^1 1 2 2
→ ∞ n
n n n
n b b
a a n n n n
n n n
Entonces, la sucesión dada converge a 1/2. Por si queda alguna duda, se agrega el gráfico correspondiente a los cien primeros términos de {c (^) n }
00:00:00 00:00:30 00:01:00 00:01:
Subsucesiones y convergencia
Una sucesión {an } converge a l si toda subsucesión {a*n } converge a l.
Sean {an } y {a*n } dos subsucesiones de {an }. Si
a l
a l
n n
n n
→∞
→∞
lim
lim
entonces
n^ lim→∞ a^ n^ =^ l
Esta propiedad puede utilizarse para demostrar la divergencia de algunas sucesiones. En efecto, si de una dada sucesión, se consideran dos subsucesiones con distinto límite, la sucesión dada es divergente.
Por ejemplo, de la sucesión {an } = {(-1)n^ } = {-1, 1, -1, 1, -1, 1, …} se pueden tomar las subsucesiones de índice impar y de índice par. La primera tiene límite menos uno (-1); la segunda uno (1), en consecuencia la sucesión dada es divergente.
Series numéricas
Dada una sucesión numérica {an } se plantea el siguiente algoritmo
a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 + a 7 +...+ ak + ...
Serie Armónica
La serie ...^1 ... 6
k
se denomina serie armónica y
es divergente. En efecto
⎟→^ ∞
= ⎛^ +
⎟+^ +⎛
⎟^ +⎛
⎟^ +⎛
⎟+ +⎛^ + +
⎟+⎛^ + + +
⎟+⎛^ +
⎟+⎛^ + + +
⎟+⎛^ +
→∞ →∞
−
lim lim 1 1
...^1
...^1
...^1
...^1
...^1
2
2 1
S n
n
S
n n
n n
n n
n
n
Todos los términos de la serie armónica son mayores o iguales a los de una serie divergente (minorante divergente), entonces la serie armónica diverge.
Según Sadosky (Sadosky - Guber, edición 1958, pág 523) Bernouilli y otros conocían esta característica de la serie armónica y agrega que, S 1000 < 8; S (^) 1.000.000 < 15; S (^) 1.000.000.000.000 < 30 y S 10100 < 232. Sin embargo esta suma puede hacerse tan grande como se quiera, superando a cualquier número por grande que este sea, tomando un número suficientemente grande de términos.
Serie geométrica
Se denomina serie geométrica a una serie donde cada término se obtiene multiplicando al anterior por un factor constante q llamado razón de la serie
a + aq + aq^2 + aq^3 + aq^4 + aq^5 +... + aqn −^1 + ...
Se forma la suma parcial de orden n y se le resta la misma multiplicada por la razón q
2 3 4 5 6
2 3 4 5 1
q
S aq
qS S aq a
qS aq aq aq aq aq aq aq
S a aq aq aq aq aq aq
n n
n n n
n n
n n
Si ⏐q⏐> 1 la serie es divergente, si ⏐q⏐< 1 la serie es convergente y su suma vale
q
S a −
si q = 1 o q = -1 la serie es divergente.
No era tonto aquel que la historia nombra como el inventor del juego de ajedrez. El Sultán, agradecido le ofreció lo que quisiese. El inventor pidió un grano de trigo en la primera casilla del tablero, dos en la segunda, cuatro en la tercera y así sucesivamente. El Sultán, poco avispado con series divergentes, accedió de inmediato. La sorpresa fue enorme cuando los contables del reino dijeron “Majestad, debemos entregarle 18.446.744.073.709.551.615 granos de trigo. (Aprox. 1.019.180.000.000 tn) Tendremos hambre este año, el que viene y muchos otros más.” Como a menudo ocurre, el inventor fue preso, condenado a cultivar trigo por haber osado intentar burlarse de la majestad del Sultán.
Condición necesaria de convergencia
Si una serie numérica {S (^) n } asociada a la sucesión {an } es convergente, entonces lim n → ∞ an = 0
En efecto, dada la sucesión {an } es
− − =
=
1 (^11)
1 n n k k
n n k k
S a
S a
la diferencia entre ambos elementos de {S (^) n }, Sn (^) -1 -S (^) n = an , es igual al término genérico de la serie. Pasando al límite cuando n →∞ se tiene.
lim n → ∞ ( Sn − Sn − 1 ) =lim n →∞ an = 0
