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Probabilidad y Estadistica AEC-
Instituto Tecnológico de Ciudad Madero (ITCM) Ingeniería Industrial
5 ejemplos donde se aplica la probabilidad
1.- FRECUENCIAL.
La probabilidad frecuencial o empírica es la que se fundamenta en los datos obtenidos por encuestas, preguntas o por una serie larga de realizaciones de un experimento. El cálculo de la probabilidad de un evento y la frecuencia relativa del mismo es lo que se conoce como probabilidad frecuencial. Para determinar la probabilidad frecuencial, se repite el experimento aleatorio un número determinado de veces, se registran los datos y se divide el número de veces que se obtiene el resultado que nos interesa, entre el número de veces que se realizó el experimento. Ejemplo 1: Lanzar una moneda al aire y la probabilidad de que caiga sol Resultados obtenidos al realizar el experimento son los siguientes: Entre más aumentan las repeticiones, la probabilidad de que caiga sol aumenta
Fórmula: Ejemplo 2: Probabilidad de sacar una bola roja de una caja que tiene 3 bolas rojas, 5 amarillas y 4 verdes Hay que dividir el número de casos favorables del evento (frecuencia absoluta) para cada número de repeticiones entre el total de éstas:
Entonces, podemos decir que la probabilidad de vender un cierto número de periódicos en un lunes cualquiera es la frecuencia relativa con la que ocurre tal evento en un número total de posibles resultados. Se aclara que se habla de lunes puesto que la venta de periódicos en otro día de la semana puede tener un comportamiento muy diferente para el vendedor de periódicos. Un ejemplo del método clásico consiste en determinar de manera lógica las probabilidades de los eventos de interés. Por ejemplo, sabemos que: La probabilidad de que el resultado sea cara al arrojar una moneda al aire es 0.5. La mitad de las veces se tendrá cara como resultado y la otra mitad de las ocasiones se tendrá cruz. La probabilidad de que cualquiera de las 6 caras de un dado sea el resultado después de lanzarlo es un sexto. Si lanzamos el dado 600 veces esperamos que cada cara sea el resultado 100 veces. La probabilidad de sacar una carta del palo de espadas en una baraja de 52 cartas es 0.25, esto quiere decir que esperamos obtener una carta de espadas por cada 4 cartas que sacamos. Los resultados anteriores los podemos calcular sin necesidad de realizar el experimento, no hemos lanzado moneda ni dado alguno, tampoco hemos sacado cartas de una baraja.
Sabemos que cuando una moneda se detenga después de haber sido arrojada al aire existen dos posibles resultados: cara o cruz. Entonces, conocemos el denominador de la fórmula para calcular la probabilidad: Si el evento o resultado de interés es que caiga cara, entonces, el numerador de la fórmula lo podemos determinar contestando la pregunta: ¿cuántas caras hay en una moneda? Hay una cara en una moneda. Es decir, hay una sola cara considerando ambos lados de la moneda. Del mismo modo, podemos calcular la probabilidad de obtener un 4 después de lanzar un dado. Solo existen 6 posibles resultados y, entre ellos, solamente uno corresponde al resultado que nos interesa P(4). Para obtener el numerador y denominador nos podemos preguntar: Finalmente, si en una baraja hay 52 cartas divididas en 4 palos —espadas, corazones, rombos y tréboles— y, cada palo tiene el mismo número de cartas — trece—, entonces, la probabilidad de sacar una carta del palo de espadas es:
3.- SUBJETIVA
La hipergeométrica es especialmente útil en todos aquellos casos en los que se extraigan muestras o se realicen experiencias repetidas sin devolución del elemento extraído o sin retornar a la situación experimental inicial. Es una distribución fundamental en el estudio de muestras pequeñas de poblaciones pequeñas y en el cálculo de probabilidades de juegos de azar. Tiene grandes aplicaciones en el control de calidad para procesos experimentales en los que no es posible retornar a la situación de partida. Las consideraciones a tener en cuenta en una distribución hipergeométrica: El proceso consta de "n" pruebas, separadas o separables de entre un conjunto de "N" pruebas posibles. Cada una de las pruebas puede dar únicamente dos resultados mutuamente excluyentes. El número de individuos que presentan la característica A (éxito) es "k". En la primera prueba las probabilidades son: P(A)= p y P(A)= q; con p+q=1. En estas condiciones, se define la variable aleatoria X = “nº de éxitos obtenidos”. La función de probabilidad de esta variable sería: La media, varianza y desviación típica de esta distribución vienen dadas por:
EJEMPLO 1:
Supongamos la extracción aleatoria de 8 elementos de un conjunto formado por 40 elementos totales (cartas baraja española) de los cuales 10 son del tipo A (salir oro) y 30 son del tipo complementario (no salir oro). Si realizamos las extracciones sin devolver los elementos extraídos y llamamos X al número de elementos del tipo A (oros obtenidos) que extraemos en las 8 cartas; X seguirá una distribución hipergeométrica de parámetros 40 , 8 , 10/40.H(40,8,0,25). Para calcular la probabilidad de obtener 4 oros: EJEMPLO 2: De cada 20 piezas fabricadas por una máquina, hay 2 que son defectuosas. Para realizar un control de calidad, se observan 15 elementos y se rechaza el lote si hay alguna que sea defectuoso. Vamos a calcular la probabilidad de que el lote sea rechazado.
