Ejercicio de tanques, Ejercicios de Química Aplicada

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202 Capítulo 4 Sistemas dinámicos de orden superior PROBLEMAS 4-1. Considérese el proceso que se muestra en la figura P4-1. El flujo másico del líquido que pasa por los tanques es constante a 250 lbm/min. La temperatura de entrada del líquido en el primer tanque es 75*F; la densidad del líquido se puede suponer constante en 50 Ibm/fé; la capacidad calorífica también se puede suponer constante en 1.3 Btu/lbm-*EF, y el volumen de cada tanque es 10 fé. Las pérdidas de calor en el ambiente son des- preciables. Se desea conocer la forma en que la temperatura de entrada, 7,(0), y la transferencia de calor, q(t), afectan a la temperatura de salida, 7,(1). Desarrollar el modelo matemático, determinar las funciones de transferencia que relacionan 7,(t) con T.(1) y con (0), y trazar —=> m-250 Mn» TL, >F T40, 9 —»> a TA0, %F ) Tale), E M Figura P4-1 Tanques para el problema 4-1. 42. 4-3. Problemas 203 el diagrama de bloques para este proceso. Dar los valores numéricos y las unidades de cada parámetro en todas las funciones de transferencia. Considérese el proceso descrito en la sección 3-6. En ese problema, la relación entre el flujo debido al ventilador y la señal al ventilador es algebraica. Esto significa que el ven- tilador no tiene dinámica, es decir, que el ventilador es instantáneo. En la realidad no ocurre esto. Supóngase que el ventilador tiene una dinámica tal que el flujo responde a un cambio en la señal como una respuesta de primer orden con una constante de tiempo de 10 s. Obtener la misma información que en la sección 3-5. En el proceso que se muestra en la figura P4-2 se mezclan varios caudales. Los caudales 5, 2 y 7 son soluciones de agua con el componente A; el caudal 1 es de agua pura. En la tabla P4-1 se da el valor de estado estacionario para cada caudal. Determinar las si- guientes funciones de transferencia, con el valor numérico de cada término. Xols) Xols) X(s) Xs(s)” X,(s) * Hs) y xelt) Fale) Fale) x3le) 110) xa(0) xd0) l mM eso! LO A 0 110) 10) ¡Agua pura Figura P4-2 Tanques de mezclado para el problema 4-3. 4-4. La siguiente reacción elemental irreversible ocurre en el reactor que se muestra en la figura P4-3: A+B > Producto La tasa de consumo del reactivo A está dada por r 0 = ke (Oc) donde r,(1) es la tasa de reacción, lbmo!l/gal-=min. 4-6. Problemas 205 lleno en todo momento. Los valores de estado estacionario y otra información del proceso son los siguientes: J,=25 gpm;T, =60*F; m,= 3.09 Dm, T, =80%F;m = 50% min Ibm AP, EDS = € = 0.8 Volumen del tanque = 5 gal El flujo a través de la válvula está dado por 10, (4) =1.954up(1) JAP La caída de la presión a través de la válvula es constante a 10 psi. La posición de la válvula, up(t), está relacionada linealmente con la señal, m(t). Cuando la señal está entre 0% y 100%, la posición de la válvula está entre O y 1. La dinámica de la válvula se puede expresar con una constante de tiempo de primer orden de 4 s. Desarrollar el modelo matemático y obtener las funciones de transferencia que relacionan la temperatura 7,(0) conf, (0, 7,(0 y m(0). Asegurarse de indicar los valores numéricos y las unidades de cada ganancia, así como de las constantes de tiempo. f,(t), gm TA0), T¡(t), E e] fa, epm + - Líquido O Líquido Eu, bm mb, % Figura P4-4 Tanque de mezclado para el Caudal saturado problema 4-5. En la figura P4-5 se muestra un tanque que se utiliza para la extracción continua de un soluto de una solución líquida por medio de un solvente. Una manera de modelar el extractor es, como se muestra en el diagrama de la derecha, suponiendo que hay dos fases perfectamente mezcladas: el extracto y el refino, separadas por una interfase a través de la cual el soluto se difunde a una tasa dada por no =K Ve (9-ec(0] 206 Capítulo 4 Sistemas dinámicos de orden superior 47. Extracto 0400 y f 0 A c(0 10) 0) ve Y vI2 Alimentación ==» £ a Solvente 20d nt) f, co E UNO) Refino Figura P4-5 Unidad de extracción para el problema 4-6. donde n(1), kmol/s, es la tasa de transferencia de masa del soluto a través de la interfase; Ko s”!, es el coeficiente de transferencia de masa; Y, mi, es el volumen de contacto; c (0, kmol/mi, es la concentración del soluto en la fase de refino; y cito, kmol/m?, es la concentración del refino que estaría en equilibrio con la fase del extracto. La relación de equilibrio se puede expresar como una línea recta 0) =mc,(t) donde m es la pendiente de la recta de equilibrio, y c,(*) es la concentración del soluto en la fase del extracto. Para simplificar, se puede suponer que el volumen de cada fase es la mitad del volumen de contacto total y que el flujo de alimentación, f,, es constante. Las dos variables de entrada son la concentración de alimentación, c,(1), y el flujo de solvente puro, /,(1). También se puede suponer que la variación de las densidades de los caudales con la concentración es despreciable. Desarrollar las funciones de transferencia del extractor, trazar el diagrama de bloques y obtener las funciones de transferencia globales para la composición de cada fase en términos de las variables de entrada. Factorizar el denominador de las funciones de transferencia globales del extractor y expresar las raíces en términos de los parámetros del proceso. ¿La respuesta de las concentraciones puede ser oscilatoria? ¿Puede ser ines- table? Justificar las respuestas analizando las expresiones para las raices. En la figura P4-6 se muestra un tanque de agitación en el que el caudal de un proceso se enfría haciendo circular agua de enfriamiento por la camisa. Las variables de entrada por considerar en este proceso son el flujo del agua de enfriamiento, (0), mó/min, y la temperatura de entrada del caudal del proceso, 7,(1), ?C. Las variables de salida de interés son las temperaturas de salida del proceso y del agua, 7(1) y T,(0), *C, respectivamente. 208 O) a O) ——> 4-9, Capítulo 4 Sistemas dinámicos de orden superior 10) Figura P4-7 Tanque de mezclado para el problema 4-8. donde c.(1) y c(1) son las concentraciones del soluto en cada una de las dos secciones. Para simplificar, supóngase que los flujos de entrada y el de recirculación /z, los volúmenes y la densidad son constantes. Establecer que la función de transferencia que relaciona la concentración de salida con cualquiera de las concentraciones de entrada (usar el caudal 1 como ejemplo) está dada por C(s) _ K; C(s) (ms + Drs +1) Kg donde: J Y, Y Un K,= Ty = 1) == Ko=> E TEA Calcular los parámetros de la función de transferencia usando los valores numéricos dados en el problema 3-18 y suponiendo que los dos volúmenes son iguales entre sí y que el flujo de recirculación es: a) cero, b) f, c) 5f. Para cada uno de estos casos, calcular la ganancia y las constantes de tiempo efectivas de la función de transferencia (los recíprocos negativos de las raíces del denominador). ¿A qué valores tienden las cons- tantes de tiempo efectivas cuando el flujo de recirculación se hace muy grande? ¿Cómo se compara este resultado con el resultado del problema 3-18? Considérense los dos reactores de tanque en serie con agitación y reciclado de la figura P4-8. Se puede suponer lo siguiente: + Cada reactor está perfectamente mezclado y la temperatura es constante. =. Los volúmenes de los reactores, Y, y V,, son constantes, al igual que la densidad de la mezcla de reacción. Problemas 209 e Cay (0), Prol €4, (6), mol Lo A 18 42 16 Ego (4), Pol An E E 'n Figura P4-8 Reactores en serie para el problema 4-9. > El flujo que entra al primer reactor, /,, y el flujo de reciclado, f, son constantes. > La reacción química es elemental de primer orden, por lo que la tasa de reacción está dada por la expresión: 7, = ke (2), lbmol/fé-min donde: concentración del reactivo A, Ibmol/fB. coeficiente de la tasa de reacción constante, min”!. O) k + Los reactores inicialmente están en estado estacionario y con una concentración de en- trada Cy. + El retardo de transporte entre los reactores y en la tubería de reciclado es despreciable. a) Determinar las funciones de transferencia del proceso. b) Trazar el diagrama de bloques para los dos reactores. c) Usar el álgebra de los diagramas de bloques para determinar la función de transfe- MO) 2 ES) d) Determinar la ganancia y las constantes de tiempo efectivas de esta función de transferencia, en términos de los parámetros del sistema: Vo Va Lo hy Ke e) Responder las siguientes preguntas: rencia para los dos reactores. 1) ¿El sistema puede ser inestable (constantes de tiempo efectivas negativas)? ii) ¿La respuesta de la composición puede ser subamortiguada (constantes de tiem- po efectivas complejas conjugadas)? Problemas 211 b) Flujos subcriticos a través de las válvulas. Si los flujos a través de las válvulas son subcríticos, están dados por W(0=k Ja lr (Op, (0] w¿(0)=ky2/P2 (Lo, (0) = pa] donde los coeficientes de las válvulas Ko, y ko, no son numéricamente los mismos que para el flujo crítico, y la presión de descarga p, se puede suponer constante. Obtener la función de transferencia que relaciona la presión en cada tanque con el flujo de entrada al primer tanque. Trazar el diagrama de bloques para los tanques donde se indique la función de transferencia de cada bloque. Escribir la función de transferencia global, P,(s)//W(s), y las fórmulas para las constantes de tiempo efec- tivas y para las ganancias de estado estacionario de las funciones de transferencia en términos de los parámetros del proceso. Nota: las constantes de tiempo efectivas se definen como los recíprocos negativos de las raíces del denominador de la función de transferencia global. 4.11. Considérese el proceso que se muestra en la figura P4-10. Se sabe lo siguiente acerca del proceso: + La densidad de todos los caudales es aproximadamente la misma. » El flujo a través de la bomba de velocidad constante está dada por FO = A[I+B1p,(0)- p,(07 1, m/s donde A y B son constantes. Fe, me UN P,, kPa y eE a pao, e e A puro e = y, KPa (£), ft ¡A 1 ¡ORESO) + 0, cajt, pia em Reactor ¡OINO) Figura P4-10 Proceso para el problema 4-11. Tanque de Le tim tar mezclado y 212 Capítulo 4 Sistemas dinámicos de orden superior >» La tubería entre los puntos 2 y 3 es bastante larga, con una longitud de £, m. El flujo a través de esta tubería es altamente turbulento (flujo pistón). El diámetro de la tubería es D, m. La caída de presión entre los puntos 2 y 3 es constante con un valor de AP, kPa. + Se puede suponer que los efectos de energía asociados con la reacción (A —= B) son despreciables y, en consecuencia, la reacción ocurre a una temperatura constante. La tasa de reacción está dada por r¿(0) = ke, (0), kg/m0-s > El flujo a través de la válvula de salida está dado por FO=C, JH 10) —»| 10) | 10) | 10) | o) DS 10) Poo. (00) WR Ñ ; t 1 H , H (a) 0) (e) 10) | 10) 10 — 010) 110) ot) : , t / 4 H y , (0) 0) 0) Figura P4-11 Respuestas del proceso para el problema 4-12.