Análisis de combinaciones lineales de vectores en álgebra lineal, Ejercicios de Álgebra Lineal

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Matricula: ES

Lic.: matemáticas

Algebra lineal ll

Maricruz Ortiz Ocampo

Unidad 1

Actividad 2 : independencia lineal

Concepto Ejemplos Teoremas relacionados Combinación lineal Dados dos vectores 𝑢 y 𝑣 denotamos combinación lineal de 𝑢 y 𝑣 a cualquier expresión de la forma: λ𝑢+μ𝑣 donde λ y μ son números reales. Un vector 𝑤 es combinación lineal de 𝑢 y 𝑣 si existen números reales (escalares) λ y μ que permitan expresar 𝑤 de la forma: 𝑤=λ𝑢+μ𝑣. ¿El vector 𝑤 = (− 1 , 3 ) se puede expresar como combinación lineal de 𝑢 = 1 , 2 𝑦 𝑣 = ( 0 , 3 )? Queremos encontrar λ y μ de manera que 𝑤 = λ𝑢 + 𝜇𝑣. Tenemos: (− 1 , 3 ) = 𝜆( 1 , 2 ) + 𝜇( 0 , 3 ) = (𝜆, 2 𝜆) + ( 0 , 3 𝜇) = (𝜆, 2 𝜆 + 3 𝜇) De manera que: − 1 = 𝜆 3 = 2 𝜆 + 3 𝜇

Acabamos de encontrar unos valores para λ y μ para los que se cumple 𝑤=λ𝑢+μ𝑣. Así pues, sí que podemos expresar 𝑤=(− 1 , 3 ) como combinación lineal de 𝑢 = ( 1 , 2 ) 𝑦 𝑣 = ( 0 , 3 ). Teorema fundamental Conjunto generador (^) Sea {𝑣 1 , 𝑣 2 , … 𝑣𝑟} un conjunto de vectores de un espacio vectorial V. Si todo vector de V puede expresarse como combinación lineal de 𝑣 1 , 𝑣 2 , … , 𝑣𝑟, entonces se dice que {𝑣 1 , 𝑣 2 , … , 𝑣𝑟} es un conjunto generador de V o también que 𝑣 1 , 𝑣 2 , … , 𝑣𝑟 generan V. ¿Es el conjunto {( 1 , 1 ), ( 1 , – 1 )} generador de 𝑅^2? Siguiendo la definición, debemos ver si cualquier vector de 𝑅^2 puede expresarse como combinación lineal de ( 1 , 1 ),( 1 ,– 1 ): (𝑥, 𝑦) = 𝛼( 1 , 1 ) + 𝛽( 1 , – 1 ) ⇒ x = α + β y = α– β

Hemos llegado a un sistema compatible determinado. Para cada x e y se obtendrá un valor para α y para β. Entonces, como cualquier vector (x,y) de 𝑅^2 puede expresarse como combinación lineal de ( 1 , 1 ),( 1 ,– 1 ) decimos que {( 1 , 1 ),( 1 ,– 1 )} es un conjunto generador de 𝑅^2 Sistema o espacio generador Dependencia e independencia lineal Un conjunto de vectores {𝑣 1 , 𝑣 2 , … , 𝑣𝑟} de un espacio vectorial V es linealmente dependiente si y sólo si al menos ¿Es el conjunto {( 1 , 1 ) ( 1 ,– 1 )} linealmente independiente (LI) o linealmente dependiente (LD)? Planteamos la ecuación: Cuando se tienen dos vectores en un espacio vectorial EV serán linealmente dependientes, si y solo si uno es múltiplo

Referencias:

 Sangaku S.L. (2020) Combinación lineal entre vectores. sangakoo.com. Recuperado de https://www.sangakoo.com/es/temas/combinacion-lineal-entre-vectores  ISABEL PUSTILNIK Y FEDERICO GÓMEZ. (22 junio 2019). Conjunto generador. LI y LD. Base. Dimensión.. 12 de julio 2020, de Digital Pro On Genesis Framework Sitio web: https://aga.frba.utn.edu.ar/conjunto-generador-li-y-ld-base- dimension/#:~:text=Conjunto%20generador%20Sea%20%7Bv1,v2%2C%E2%80%A6%2Cvr  Juan Gonz´alez-Meneses L´opez.. (2009). álgebra lineal. 12 de julio, de universidad de sevilla Sitio web: http://matematicas.unex.es/~navarro/algebralineal/meneses.pdf