U2. Evidencia de aprendizaje. Matrices de Gauss-Jordán
Javier Aguilar Brindis
Universidad Abierta y a Distancia de México
TSU Energías Renovables
Algebra Lineal
ER-ECSM-2002-B1-005
Mtro. Ernesto Anaya Higareda
7 de Agosto del 2020
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Resolución de sistemas de ecuaciones mediante el método de Gauss-Jordan, Apuntes de Álgebra Lineal
Documento que explica paso a paso cómo resolver sistemas de ecuaciones lineales usando el método de Gauss-Jordan. Contiene instrucciones detalladas para reducir la matriz de coeficientes a echelon form y obtener la solución final.
Qué aprenderás
- ¿Cómo se obtiene la solución de un sistema de ecuaciones lineales usando el método de Gauss-Jordan?
- ¿Qué operaciones se realizan en cada paso del método de Gauss-Jordan para reducir la matriz a echelon form?
- ¿Cómo se reduce una matriz a echelon form usando el método de Gauss-Jordan?
Tipo: Apuntes
2020/2021
1 / 12
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U2. Evidencia de aprendizaje. Matrices de Gauss-Jordán
Javier Aguilar Brindis
Universidad Abierta y a Distancia de México
TSU Energías Renovables
Algebra Lineal
ER-ECSM- 2002 - B1- 005
Mtro. Ernesto Anaya Higareda
7 de Agosto del 2020
Evidencia de aprendizaje. Matrices de Gauss-Jordan
Introducción
El método de reducción de Gauss se limita a matrices cuadradas. Para otro tipo
de dimensiones se utiliza el método de Gauss-Jordan porque se van eliminando
renglones hasta lograr una ecuación lineal.
Desarrollo
I nstrucciones
Realiza los siguientes ejercicios de matrices
x − 4y − 7z = − 7 5x − 7y − 3z = − 7 −8x + y + 6z = 1
1. Escribe el sistema de ecuaciones en forma de matriz.
[
]
2. Realiza la reducción de filas
Realiza la operación de filas 𝑅 2 = − 5 ∗ 𝑅 1 + 𝑅 2 𝑒𝑛 𝑅 2 (ahora 2) para
convertir a 0 algunos elementos de la fila.
Remplaza 𝑅 2 (𝑓𝑖𝑙𝑎 2 ) 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑎 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑅 2 = − 5 ∗ 𝑅 1 + 𝑅 2 para
poder convertir algunos elementos en la fila al valor deseado 0.
Simplifica 𝑅 3 (fila 3)
[
]
Realiza la operación de filas 𝑅 2 =
1 13
𝑅 2 𝑒𝑛 𝑅 2 (ahora 2) para convertir a 1 algunos elementos
de la fila
Remplaza 𝑅 2 (𝑓𝑖𝑙𝑎 2 ) con la operación 𝑅 2 =
1 13
𝑅 2 para poder convertir algunos elementos
en la fila al valor deseado 1.
[
1 13
1 13
1 13
1 13
]
1 13
Remplaza 𝑅 2 (𝑓𝑖𝑙𝑎 2 ) 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 de
filas 𝑅 2 =
1 13
[
1 13 )
1 13
1 13
1 13
]
13 𝑅^2
Simplifica 𝑅 2 (fila 2)
Realiza las operaciones de las filas 𝑅 1 = 4 ∗ 𝑅 2 + 𝑅 1 𝑒𝑛 𝑅 1 (Ahora 1) para convertir a 0
algunos elementos de la fila
Remplazar 𝑅 1 (Fila 1) con la operación 𝑅 1 = 4 ∗ 𝑅 2 + 𝑅 1 para poder convertir algunos
elementos en la fila al valor deseado 0.
[
32 13
28 13
]
Remplaza 𝑅 1 fila 1 con los valores actuales de los elementos de la operación de filas
[
32 13
32 13
28 13
28 13
]
Simplifica R1 (fila 1)
[
− 55 ]
Realiza la operación de filas 𝑅 3 𝐹𝑖𝑙𝑎 3 con la operación 𝑅 3 = 31 ∗ 𝑅 2 + 𝑅 3 en R3 (ahora 3)
para poder convertir en 0 algunos elementos en la fila.
Reemplaza 𝑅 3 (fila 3) con la operación 𝑅 3 = 31 ∗ 𝑅 2 + 𝑅 3 para poder convertir algunos
elementos en la fila del valor deseado 0.
[
37 13 32 13
31 ∗ (𝑅 2 )^ − 𝑅 1
21 13 28 13
]
Reemplaza 𝑅 3 (fila 3) con los valores actuales de los elementos de la operación de filas 𝑅 3 =
[
37 13 32 13
32 13
21 13 28 13
28 13
) − 55 ]
Simplifica 𝑅 3 (fila 3)
[
37 13
32 13
342 13 21 13 28 13 153
13 ]
Realiza las operaciones de las filas 𝑅 3 =
13 342
𝑅 3 𝑒𝑛 𝑅 3 (Ahora 3) para convertir a 1 algunos
elementos de la fila
Reemplaza 𝑅 3 (fila 3) con la operación 𝑅 3 =
13 342
𝑅 3 para convertir algunos elementos de la
fila al valor deseado 1
Reemplaza 𝑅 1 (fila 1) con los valores actuales de los elementos de la operación de filas 𝑅 1 =
37 13
[
38 ]
Simplifica 𝑅 1 (fila 1)
[
32 13
13 38 28 13 17
38 ]
Realiza las operaciones de las filas 𝑅 2 = −
32 13
𝑅 3 + 𝑅 2 𝑒𝑛 𝑅 2 (Ahora 2) para convertir a 0
algunos elementos de la fila
Reemplaza 𝑅 2 (fila 2) con la operación 𝑅 2 = −
32 13
𝑅 3 + 𝑅 2 para convertir algunos elementos
de la fila al valor deseado 0
[
38 ]
Reemplaza 𝑅 2 (fila 2) con los valores actuales de los elementos de la operación de filas 𝑅 2 =
32 13
[
38 ]
Simplifica 𝑅 2 (fila 2)
[
13 38 20 19 17
38 ]
Resultado de la Matriz
13 38
20 19
17 38
Comprobación
x − 4y − 7z = − 7 5x − 7y − 3z = − 7 −8x + y + 6z = 1 13 38
20 19
17 38
13 38
20 19
17 38
13 38
20 19
17 38
13 38
80 19
119 38
65 38
140 19
51 38
− 104 38
20 19
102 38
13 − 160 − 119 38 =^ − 266 38 65 − 280 − 51 38 =^ − 266 38 − 104 + 40 + 102 38 =^ 38 38 =^1 − 7 = − 7 − 7 = − 7 1 = 1
Realiza la operación de filas 𝑅 2 = 2 17 𝑅^2 𝑒𝑛^ 𝑅^2 (ahora^2 ) para convertir^1 algunos elementos en la fila. Remplazar 𝑅 2 en la fila 2 con la operación 𝑅 2 = 2 17 𝑅 2 para poder convertir algunos elementos en la fila del valor deseado 1. [
]
Remplazar 𝑅 2 (fila 2 ) con los valores actuales de los elementos de la operación de filas 𝑅 2 = 2 17
[
]
Simplificar 𝑅 2 (fila 2) [
]
Realiza la operación de filas 𝑅 1 =− 7 4 𝑅 2 + 𝑅 1 𝑒𝑛 𝑅 1 (ahora 1 ) para convertir a 0 algunos elementos en la fila. Remplazar 𝑅 1 en la fila 1 con la operación 𝑅 1 =− 7 4 𝑅^2 +^ 𝑅^1 para poder convertir algunos elementos en la fila del valor deseado 0. [
] 𝑅 1 =^ −^
Remplazar 𝑅 1 (fila 1 ) con los valores actuales de los elementos de la operación de filas 𝑅 1 = − 7 4 𝑅^2 +^ 𝑅^1
[
] 𝑅 1
Simplificar 𝑅 1 (fila 1 ) [
]
Usa la matriz resultado para declarar las soluciones finales al sistema de ecuaciones. 𝑤 −
Mover todos los términos que no contengan w al lado derecho de la ecuación Sumar 13 𝑦 34 a ambos lados de la^ ecuación 𝑤 +
Restar 𝑧 17 a ambos lados de la ecuación 𝑤 =
Mover todos los términos que no contengan x al lado derecho de la ecuación Sumar 6 𝑦 17 a ambos lados de la^ ecuación 𝑤 =
Sumar 3 𝑧 17 a ambos lados de la ecuación