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5.1 Introducción a las transformaciones lineales.
Las transformaciones lineales intervienen en muchas situaciones en Matemáticas y son algunas de las funciones más importantes. En Geometría modelan las simetrías de un objeto, en Algebra se pueden usar para representar ecuaciones, en Análisis sirven para aproximar localmente funciones.
Es T: V → W tal que para todos los vectores u y v de V y cualquier escalar C :
1.- T(u+v)=T(u)+T(v)
2.-T(CU)=CT(u) Para todo vector u y todo escalar C
Ejemplos.
Demuestre que la transformación T: R2 →R2 definida por
T =
Es lineal.
Solución.
Sea u= y v=
Entonces:
T(u + v)= T = T
= +
= T
Por otro lado, para todo escalar c, T(cu) =
= = c
=cT = cT (u)
Como se cumplen las dos condiciones:
T( u + v) = T(u) + T(v) T(cu) = cT(u)
T es lineal.
Una transformación lineal preserva combinaciones lineales. Veremos que, debido a esto, una transformación lineal queda unívoca-mente determinada por los valores que toma en los elementos de una base cualquiera de su dominio.
5. 2 Núcleo e imagen de una transformación lineal.
Teorema 1. Sea T: V S W una transformación lineal. Entonces para todos los vectores u , v , v (^) 1 , v (^) 2 ,.. ., v (^) n en V y todos los escalares a 1 , a 2 ,.. ., a n :
i. T ( 0 ) = 0
ii. T ( u - v ) = T u - T v
iii. T (a 1 v (^) 1 + a 2 v (^) 2 +.. .+ a n v n ) = a 1 T v (^) 1 + a 2 T v 2 +.. .+ a (^) nT v (^) n
Nota. En la parte ( i ) el 0 de la izquierda es el vector cero en V ; mientras que el 0 de la derecha es el vector cero en W.
Teorema 2. Sea V un espacio vectorial de dimensión infinita con base B = { v 1 , v (^) 2 ,.. ., v (^) n }. Sean w 1 , w 2 ,.. ., w n vectores en W. Suponga que T 1 y T (^) 2 son dos transformaciones lineales de V en W tales que T 1 v (^) i = T 2 v i = w i para i = 1, 2,.. ., n. Entonces para cualquier vector v ∈ V , T 1 v = T 2 v ; es decir T (^) 1 = T (^) 2.
i. El núcleo de T, denotado por un, está dado por:
nu T = { v V: Tv = 0}
ii. Denotado por Im T, está dado por
Im T = {w W: w = Tv para alguna v V}
Observación 1. Observe que un T es no vacío porque, de acuerdo al teorema 1, T (0) = 0 de manera que 0 ϵ un T para cualquier
Si T
Entonces x = y = 0. Así, nu T = {(x,y,z):x = y = 0, zϵR}, es decir, el eje z, e Im T = {(x,y,z): z = 0}, es decir el plano xy. Observe que dim un T = 1 y dim Im T = 2. Ejemplo 2.
Dada la siguiente transformación lineal
F: R^3 →R 2×2^ F((x,y,z))=
Buscar el núcleo, la imagen, y determinar sus dimensiones. Resolución.
Para determinar el núcleo planteamos: (x,y,z) está en el núcleo ⇔
F(x,y,z)=
F(x,y,z)= =⇒ ⇒x = z = -y
Se trata de un sistema compatible indeterminado. El núcleo queda
definido entonces por vectores con la forma:
(–y, y, –y) = y. (–1,1, –1)
Entonces:
Nu (F)= {(x, y, z) ∈ R^3 | x = z = –y} = gen{(–1,1,–1)}
BNu = {(1, –1,1)}
La imagen la podemos obtener aplicando propiedades sobre la expresión que define la transformación lineal:
= x. + y. + z.
Luego, estas tres matrices generan la imagen, porque cualquier vector de la imagen es combinación lineal de ellas.
Im (T)= gen {,, } La generan, pero ¿son una base de la imagen? Observamos que las dos primeras son linealmente independientes. Pero la tercera es combinación lineal de las anteriores:
Entonces una base de la imagen es:
BIm= {,
Ahora podemos responder sobre las dimensiones:
dim(Nu)= dim(Im)=
Notemos que la suma de las dimensiones de núcleo e imagen es igual a la dimensión del dominio de la transformación lineal:
dim (R 3 ) = 3
5.3 La matriz de una transformación lineal.
Si A es una matriz de m x n y T: R n-^ Rm^ está definida por Tx = Ax, entonces, T es una transformación lineal. Ahora se verá que para toda transformación lineal de R n^ en Rm^ existe una matriz A de m x n tal que Tx = Ax para todo x ϵ Rn. Este hecho es de gran utilidad. Si Tx = Ax.
Entonces un T = N (^) A e Im T = R (^) A. Más aun, v(T) = dim un T = v(A) y p(T) = dim Im T = p(A). Así se puede determinar el núcleo, la imagen, la nulidad y el rango de una transformación lineal de R n-^ R m^ determinando el espacio nulo y la imagen de la matriz correspondiente. Adicionalmente, una vez que se sabe que Tx = Ax.
Se puede evaluar Tx para cualquier x en R n^ mediante una simple multiplicación de matrices. Pero esto no es todo. Como se verá, cualquier transformación lineal entre espacios vectoriales de dimensión infinita se puede representar mediante una matriz.
Teorema 1. Sea T: R n -R m^ una transformación lineal. Existe entonces una matriz única de m x n, A (^) T tal que
Tx = A 1 x para toda x Rn Definición 1. Matriz de transformación
La matriz A (^) T en el teorema 1 se denomina matriz de transformación correspondiente a T o representación matricial de T.
escribir como una sucesión de una o más transformaciones especiales, denominadas expansiones, compresiones, reflexiones y cortes.
5.4 Aplicación de las transformaciones lineales: reflexión, expansión, contracción y rotación. Reflexión sobre el eje x.
En este caso, queremos averiguar cómo está definida la transformación T de R 2 en R 2 que cada vector lo refleja sobre el eje x, para obtener un vector.
u= (u 1 , u 2 )
T(u)=(v 1 , v 2 )
En una gráfica, vemos la situación como sigue:
En este caso, la situación es más sencilla ya que claramente tenemos dos triángulos rectángulos que son congruentes, de donde T queda definida como sigue: T (u 1 , u 2 ) = (u 1 , -u 2 )
Esta transformación se llama la reflexión sobre el eje x , y es lineal, ya que:
T [( u 1. U 2 ) + λ( v 1 , v 2 )] = T (u 1 + λv 1 ,u 2 + λv 2 )
= (u 1 + λv 1 , -u 2 – λv 2 )
=(u 1 , -u 2 ) + λ(v 1 , -v 2 )
=T(u 1 ,u 2 ) + λT(v 1 ,v 2 )
Ejemplo dilatación o expansión
Una dilatación es una transformación que incrementa distancias.
Sea V= (2 4) encontrara la expansión vertical cuando K=
Expansión horizontal (k71) o contracción (0<k<1)
Expansión vertical (k71) o contracción (0<k<1)
Ejemplo contracción
Una contracción es una transformación que decrece distancias. Bajo una contracción, cualquier par de puntos es enviado a otro par a distancia estrictamente menor que la original.
Sea V= (2 4) encontrara la contracción horizontal cuando K=1/
Haciendo la gráfica el punto disminuye en el eje horizontal.
Rotación por un ángulo
